Becker I Brugger. Erfolg in Mathe Realschulabschluss Baden-Württemberg Wahlteil. Übungsbuch mit Tipps und Lösungen

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1 Becker I Brugger Erfolg in Mathe 0 Realschulabschluss Baden-Württemberg Wahlteil Übungsbuch mit Tipps und Lösungen

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort Aufgaben 5 Algebra Lineare und quadratische Funktionen Trigonometrie Stereometrie Daten und Zufall Tipps Algebra Lineare und quadratische Funktionen Trigonometrie Stereometrie Daten und Zufall Lösungen 6 Algebra Lineare und quadratische Funktionen Trigonometrie Stereometrie Daten und Zufall Original-Prüfungsaufgaben 07 Allgemeine Hinweise Wahlteil Wahlteil Wahlteil

3 Vorwort Erfolg von Anfang an... ist das Geheimnis einer erfolgreichen Mathe-Prüfung. Mit diesem Übungsbuch erhältst du eine optimale Vorbereitung für deine Abschlussprüfung zur Mittleren Reife. Die Inhalte sind speziell auf die grundlegenden Anforderungen im Wahlteil der Abschlussprüfung an Realschulen in Baden-Württemberg abgestimmt. Du findest zu jedem der sechs Themenschwerpunkte Algebra, Lineare und quadratische Funktionen, Trigonometrie, Stereometrie, Sachrechnen sowie Daten und Zufall passende Aufgaben seit 998, hilfreiche Tipps und ausführliche Lösungen und das alles in einem Buch! Zum Aufbau dieses Übungsbuches Dieses Übungsbuch untergliedert sich in vier Teile: Im ersten Teil des Buches findest du zu allen prüfungsrelevanten Themenbereichen (Algebra, Funktionen, Trigonometrie, Stereometrie, Daten und Zufall) Aufgaben auf Niveau des Wahlteiles. Der zweite Teil ist der blau hervorgehobene Tippteil, den du aufschlägst, wenn du mit einer der Aufgaben nicht zurechtkommst. Hier findest du Vorschläge, wie du zur Lösung kommen kannst, ohne dass die eigentliche Lösung vorweggenommen wird. Im dritten Teil, dem Lösungsteil, findest du ausführliche Lösungen aller Aufgaben. Bei den Lösungen der Aufgaben wurden Zwischenergebnisse und Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen gerundet. Wenn du mit genaueren Werten und ohne Verwendung von Zwischenergebnissen rechnest, weichen deine Endergebnisse eventuell etwas von den hier angegebenen ab. Schließlich erwarten dich im letzten Teil des Buches die Original-Wahlteile der letzten drei Jahre mit Tipps und ausführlichen Lösungen. Wie arbeitest du mit diesem Buch? Bei den Aufgaben sind jeweils fünf Aufgaben mit einem Quadrat markiert. Beginne jeweils mit diesen markierten Aufgaben und hake sie ab, wenn du sie erledigt hast. Diese Aufgaben sind so ausgewählt, dass sie die tpischen Fragestellungen zu dem jeweiligen Themengebiet abdecken. Die restlichen Aufgaben bieten dir weitere Möglichkeiten zum Üben.

4 Vorwort Aufbau der schriftlichen Realschul-Abschlussprüfung in Mathematik Arbeitszeit Die Arbeitszeit beträgt 80 Minuten ( Zeitstunden). Hilfsmittel Die Benutzung einer in der Schule eingeführten Formelsammlung, eines nicht programmierbaren elektronischen Taschenrechners sowie die Verwendung von Parabelschablone und Zeichengeräten sind erlaubt. Themen Die Aufgaben werden in den Bereichen Algebra, Funktionen, Trigonometrie, Stereometrie, Sachrechnen sowie Daten und Zufall gestellt. Pflichtteil Der Pflichtteil umfasst sechs bis acht Aufgaben. Es sind alle Aufgaben zu bearbeiten. Im Pflichtbereich werden Grundkenntnisse und Grundfertigkeiten sowie grundlegende Lösungsstrategien geprüft. Wahlteil Die Lehrperson erhält vier Aufgaben und wählt drei davon aus, welche die Schülerinnen und Schüler zur Bearbeitung erhalten. Jede Schülerin und jeder Schüler bearbeitet zwei der drei bereitgestellten Aufgaben. Bearbeiten die Schülerinnen und Schüler mehr als zwei Aufgaben, werden die beiden besten gewertet. Die Aufgaben des Wahlteils stellen erhöhte Ansprüche bezüglich der Lösungsstrategien und Begründungen. Punktzahl Insgesamt können 50 Punkte erreicht werden; dabei entfallen 0 Punkte auf den Pflichtteil und 0 Punkte auf den Wahlteil. Wir möchten uns an dieser Stelle bei den vielen Schülerinnen und Schülern, welche uns bei der Erstellung der Lösungen tatkräftig unterstützt haben, ganz herzlich bedanken und wünschen allen, die sich auf die Abschlussprüfung vorbereiten, viel Erfolg. Wolfgang Becker und Katharina Brucker

5 . LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN Aufgaben Lineare und quadratische Funktionen Tipps im blauen Tippteil ab Seite ; Lösungen im Lösungsteil ab Seite 50 Bei Original-Prüfungsaufgaben ist hinter der Aufgabenstellung das Jahr der Prüfung angegeben. a) Eine Parabel p hat die Gleichung = x. Eine Gerade g hat die Gleichung = x +. Zeichnen Sie die Parabel p und die Gerade g in ein Koordinatensstem. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von p und g. Diese Schnittpunkte liegen auf einer nach oben geöffneten Normalparabel p. Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel p. (999 Wa) b) Eine nach oben geöffnete Normalparabel p hat den Scheitel S(,5). Eine weitere Parabel p hat die Gleichung = x +,5. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von p und p. Diese Schnittpunkte liegen auf der Geraden g. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden g mit der x Achse. (000 W) c) Eine Parabel p hat die Gleichung = x + px + 6 und geht durch den Punkt P( 6). Eine Parabel p hat die Gleichung = x + c und geht durch den Punkt Q( ). Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Parabeln. Zeichnen Sie die Parabeln in ein Koordinatensstem. (00 Wa) d) Eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel wird von der Geraden g in den Punkten P ( ) und P (6 8) geschnitten. Eine zur Geraden g parallele Gerade h geht durch den Punkt B(,5 0,75). Weisen Sie rechnerisch nach, dass B der einzige gemeinsame Punkt der Parabel und der Geraden h ist. (00 Wb) e) Eine Parabel p hat die Gleichung = x + x +. Eine nach oben geöffnete Normalparabel p hat den Scheitelpunkt S( ). Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Geraden g, die durch die Scheitelpunkte der beiden Parabeln geht. Eine Gerade g ist parallel zu g und geht durch den Schnittpunkt der beiden Parabeln. Berechnen Sie die Gleichung der Geraden g. Zeichnen Sie die beiden Parabeln und die beiden Geraden in ein gemeinsames Koordinatensstem. (00 Wa) 6

6 Aufgaben. LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN f) Lineare und quadratische Funktionen: Ordnen Sie jedem Schaubild die richtige Funktionsgleichung zu und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. () = x () = x + 5 () = x () = (x ) + (5) = (x ) + (6) = x + (7) = x + 8x + (8) = x 8x + (9) = x + 5 (00 Wa) x (a) g) Die Normalparabel p hat die Gleichung = x x + 6. Die Normalparabel p ist nach unten geöffnet und hat den Scheitel S(0 6). Durch die Schnittpunkte beider Parabeln verläuft die Gerade g. Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Geraden. (d) Die Gerade bildet mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck. Berechnen Sie die restlichen Innenwinkel und den Umfang des Dreiecks. (00 Wa) h) Die Parabel p hat die Funktionsgleichung = x + x + 6. Verschiebt man diese Parabel um drei Einheiten nach rechts und um drei Einheiten nach unten, entsteht die Parabel p mit dem Scheitelpunkt S. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts Q der beiden Parabeln. Durch S und Q verläuft die Gerade g. Die Gerade h verläuft parallel zur Geraden g und geht durch den Scheitelpunkt S der Parabel p. Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Geraden h. (00 Wa) (b) (c) 7

7 . LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN Aufgaben i) Das Bild zeigt Parabeln und Geraden. (a) (b) x (e) - (c) - Ordnen Sie jedem Schaubild die richtige Funktionsgleichung zu. Begründen Sie ihre Entscheidungen (d) () = x + (5) = x x (9) = x + () = x + () = (x ) (6) = x + (7) = x x + 5 (0) = x + () = 0,5x + () = (x + ) (00 Wa) (8) = x () = 5 x + j) Eine Parabel p hat die Gleichung = x + x +. Durch den Scheitelpunkt der Parabel und durch den Punkt P(6 5) geht die Gerade g. Berechnen Sie die Gleichung der Geraden g. Eine zweite nach oben geöffnete Normalparabel p hat den Scheitelpunkt S ( S ). Er liegt auf der Geraden g. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes A beider Parabeln. Durch den Schnittpunkt A verläuft eine zu g parallele Gerade g. Die Gerade g schneidet die Parabel p in einem weiteren Punkt. Berechnen Sie dessen Koordinaten. (005 Wa) 8

8 Aufgaben. LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN k) Eine nach oben geöffnete Normalparabel p und eine Gerade g schneiden sich in den Punkten A( 5) und B(6 ). Berechnen Sie die Gleichungen von Parabel und Gerade. Die Gerade g ist parallel zur Geraden g und geht durch den Scheitelpunkt der Parabel. Die Koordinatenachsen bilden mit g ein Dreieck. Berechnen Sie den Umfang und die Innenwinkel dieses Dreiecks. (006 Wa) l) Bestimmen Sie die Gleichung der beiden verschobenen Normalparabeln (entnehmen Sie die erforderlichen Werte der Zeichnung). 5 S S x Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts P der beiden Parabeln. Die Gerade g geht durch die Punkte P und S. Die Gerade h verläuft parallel zu g und geht durch S. Berechnen Sie die Gleichung von h. Die Gerade h bildet mit der x Achse und der Achse ein Dreieck. Berechnen Sie seinen Flächeninhalt. (007 Wa) m) Eine Parabel p hat die Gleichung = x + 5. Eine nach oben geöffnete Normalparabel p hat den Scheitel S ( 5). Durch die gemeinsamen Punkte der beiden Parabeln verläuft eine Gerade. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Geraden rechnerisch. Berechnen Sie die Winkel, unter denen die Gerade die x Achse schneidet. (008 Wa) 9

9 . LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN Aufgaben n) Von einer nach oben geöffneten Normalparabel p sind die Schnittpunkte mit der x Achse bekannt: N ( 0) und N (5 0). Durch den Scheitelpunkt der Parabel p verläuft die Gerade g mit der Steigung m =. Auf dieser Geraden liegt der Scheitelpunkt einer zweiten nach oben geöffneten Normalparabel, die mit der x Achse nur einen gemeinsamen Punkt hat. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Parabeln. (008 Wb) o) Eine nach oben geöffnete Normalparabel p verläuft durch die Punkte A( 6) und B( ). Diese Parabel wird um 5 Einheiten nach links und um 5 Einheiten nach unten verschoben. Dadurch entsteht die Parabel p mit dem Scheitelpunkt S. Die beiden Parabeln haben einen gemeinsamen Punkt P. Berechnen Sie die Entfernung der Punkte P und S. (009 Wa) p) Der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Normalparabel hat die Koordinaten S( ). Der Punkt P( p ) liegt auf der Parabel. Er bildet mit den Punkten A( 0) und B( 0) ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABP. Der Punkt P wird auf der Parabel verschoben. Es gibt zwei Dreiecke ABP und ABP, deren Flächeninhalt jeweils 0,5 FE (Flächeneinheiten) beträgt. Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Punkte P und P. (009 Wb) q) Im Schaubild sind die Geraden g und g dargestellt. Entnehmen Sie zur Bestimmung ihrer Gleichungen geeignete Werte. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes P von g und g. Die Punkte P und Q( ) liegen auf einer nach oben geöffneten Normalparabel. Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel. (00 Wa) g g x

10 Aufgaben. LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN r) Gegeben sind die beiden Parabeln: p : = x + 5 p : = x Die beiden Parabeln schneiden sich in den Punkten P und Q. Die Punkte P und Q bilden zusammen mit den Scheitelpunkten S und S das Viereck S PS Q. Berechnen Sie seinen Flächeninhalt. Begründen Sie, weshalb das Viereck S PS Q ein Drachenviereck ist. (00 Wb) Die Original-Prüfungsaufgaben der letzten drei Jahre findest du im hinteren Teil des Buches.

11 Tipps Algebra Gleichungen Die Gleichungen a) - d) sind Bruchgleichungen. Wenn du unsicher bist, lies dir noch einmal die zur Lösung notwendigen Rechenschritte durch und beachte ihre Reihenfolge. Auch wenn die Versuchung noch so groß ist, darfst du aus den Differenzen und Summen im Zähler und Nenner niemals kürzen. Du musst erst faktorisieren. Faktorisiere in jeder Aufgabe zunächst alle Einzelnenner und bestimme wie oben beschrieben jeweils den Hauptnenner. Diese sind: a) (x + 5) b) (x )(x + ) c) (x + )(x ) d) (x + )(x ) Lineare und quadratische Funktionen a) (999 Wa) Verwende für die Parabel eine Wertetabelle. Die Schnittpunkte erhältst du durch Gleichsetzen der Funktionsterme. Verwende den Ansatz = x + px + q für die gesuchte Normalparabel. Die Punktprobe mit den beiden Schnittpunkten ergibt ein Gleichungssstem mit den Variablen p und q. b) (000 W) Du bestimmst die Funktionsgleichung p, indem du die Scheitelform verwendest und ausmultiplizierst. Die Schnittpunkte erhältst du durch Gleichsetzen der Funktionsterme von p und p. Bestimme die Funktionsgleichung g mit der -Punkte-Form. Setze anschließend gleich Null. c) (00 Wa) Die Gleichungen von p und p erhältst du jeweils mit der Punktprobe. Bestimme die Schnittpunkte durch Gleichsetzen der Funktionsterme. Für die Zeichnung bringst du p durch quadratisches Ergänzen in die Scheitelform und verwendest anschließend eine Schablone. Für p musst du eine Wertetabelle aufstellen. d) (00 Wb) Die Punkte P und P liegen sowohl auf der Geraden g als auch auf der verschobenen Normalparabel. g lässt sich daher mit der -Punkte-Form bestimmen. Die Gerade h hat dieselbe Steigung wie g. Die Funktionsgleichung der Geraden h erhältst du mit Hilfe einer Punktprobe. Um nachzuweisen, dass B der einzige gemeinsame Punkt von h und der Parabel ist, bestimmst

12 . LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN Tipps du deren Schnittpunkte. Die Gleichung hat nur eine Lösung. Also gibt es nur einen Schnittpunkt. e) (00 Wa) Bestimme zunächst die Scheitelpunkte beider Parabeln. Den Scheitelpunkt von p erhältst du, indem du die Parabelgleichung aus der Normalform in die Scheitelform umformst. Da der zweite Scheitelpunkt direkt angegeben ist, erhält man die Gleichung von g z.b. mit der - Punkte-Form. Verwende für die Gleichung der Parabel p die Scheitelform. Berechne den Schnittpunkt von p und p durch Gleichsetzen der Funktionsterme. g hat die gleiche Steigung wie g und verläuft durch den Schnittpunkt der Parabeln. Verwende eine Schablone. f) (00 Wa) (a) Hier liegt keine Normalparabel vor, die Gleichung ist also von der Form = ax +bx+c. Gehst du vom Scheitelpunkt um eine Einheit nach rechts, musst du ca. eine Drittel Einheit nach oben gehen. Also ist a =. (b) Die Gerade hat die Steigung m = und den Achsenabschnitt b = 5. (c) Hier liegt eine Normalparabel vor. Verwende die Scheitelform. (d) Verwende die Scheitelform und multipliziere dann aus. g) (00 Wa) Stelle die Gleichung für p in der Scheitelform für eine nach unten geöffnete Normalparabel auf und multipliziere diese dann aus. Die Schnittpunkte erhältst du durch Gleichsetzen der Funktionsterme. Stelle die Gerade z.b. in der -Punkte-Form auf. Setze für den Schnittpunkt mit der Achse x gleich Null; für die Schnittpunkte mit der x Achse setzt du gleich Null. Für die Innenwinkel verwendest du die Tangens-Funktion deines Taschenrechners. Fertige zur Veranschaulichung eine Skizze an. Die Länge der fehlenden Seite bestimmst du mit Hilfe der Abstandsformel. h) (00 Wa) Forme die Parabelgleichung p durch quadratisches Ergänzen in die Scheitelform um und bestimme den Scheitelpunkt. Ist der Scheitelpunkt S (x S S ) so ist der neue Scheitelpunkt S (x S + S ). Stelle die neue Parabel in der Scheitelform auf und multipliziere dann aus. Bestimme den Schnittpunkt Q durch Gleichsetzen der Funktionsterme. Die Funktionsgleichung g erhältst du am einfachsten mit der -Punkte-Form der Geradengleichung. Die Gerade h hat die gleiche Steigung wie g. Die Funktionsgleichung erhältst du mit der Punktprobe. i) (00 Wa) (a) Hier liegt eine Normalparabel vor. Verwende die Scheitelform. (b) Die Gerade hat die Steigung m = 5 und den Achsenabschnitt b =.

13 Tipps. LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN (c) Die Gerade hat die Steigung m = und den Achsenabschnitt b =. (d) Hier liegt eine Normalparabel vor. Verwende die Scheitelform und multipliziere aus. (e) Hier liegt keine Normalparabel vor. Die Parabel ist nach unten geöffnet und breiter. Die Funktionsgleichung ist also von der Form = ax + bx + c mit negativem a. Nun kannst du schon einige Funktionen ausschließen. Berechne die Nullstellen der verbleibenden Funktionen. Alternativ kannst du auch wie folgt argumentieren: Geht man vom Scheitelpunkt um eine Einheit nach rechts, so muss man eine halbe Einheit nach unten gehen. Also ist a =. j) (005 Wa) Forme die Parabelgleichung durch quadratische Ergänzung in die Scheitelform um und bestimme den Scheitelpunkt. Du stellt g am einfachsten mit der -Punkte-Form auf. Den Scheitelpunkt von p erhältst du aus der Gleichung von g mit Hilfe der Punktprobe. Stelle p in der Scheitelform auf und multipliziere aus. Bestimme den Schnittpunkt beider Parabeln durch Gleichsetzen der Funktionsterme. g hat die gleiche Steigung wie g und verläuft durch A. Hier kommst du mit einer Punktprobe weiter. Bestimme den Schnittpunkt der Geraden g und der Parabel p durch Gleichsetzen der Funktionsterme. k) (006 Wa) Bestimme die Parabelgleichung mit Hilfe der Punktprobe, die Geradengleichung kannst du mit der -Punkte-Form oder ebenfalls mit der Punktprobe bestimmen. Forme die Parabelgleichung in die Scheitelform um und bestimme den Scheitelpunkt. g hat die gleiche Steigung wie g und verläuft durch den Scheitelpunkt der Parabel. Hier kommst du mit einer Punktprobe weiter. Du bestimmst den Schnittpunkt mit der Achse, indem du x Null setzt; den Schnittpunkt mit der x Achse erhältst du, indem du Null setzt. Verwende die Tangens-Funktion für die Bestimmung der Innenwinkel. Verwende die Abstandsformel für die Bestimmung der fehlenden Seite. l) (007 Wa) Für die Parabelgleichungen verwendest du die Scheitelform und multiplizierst anschließend aus. Bestimme den Schnittpunkt der Parabeln durch Gleichsetzen der Funktionsterme. g erhältst du am einfachsten mit der -Punkte-Form. h hat die gleiche Steigung wie g. Die Funktionsgleichung erhältst du mit der Punktprobe. Du bestimmst den Schnittpunkt mit der Achse, indem du x Null setzt; den Schnittpunkt mit der x Achse erhältst du, indem du Null setzt. Für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b gilt A = a b. m) (008 Wa) Um die Schnittpunkte der beiden Parabeln zu berechnen, benötigst du die Funktionsgleichung von p. Diese kannst du in der Scheitelform aufstellen und durch Ausmultiplizieren in die Normalform umformen.

14 . LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN Tipps Durch Gleichsetzen der beiden Funktionsgleichungen erhältst du die Schnittpunkte. Die gesuchte Gerade bestimmst du mit der -Punkte-Form oder mit dem Ansatz g : = mx+b und der zweifachen Punktprobe mit den Punkten, durch die die Gerade gehen soll. Für die Berechnung des Winkels brauchst du eine Skizze und einfache trigonometrische Überlegungen. n) (008 Wb) Du kennst die Schnittpunkte N und N der Parabel mit der x Achse. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt auf einer Parallelen zur Achse durch die Mitte der Strecke N N. Damit kennst du den x Wert des Scheitelpunktes und kannst die Parabel in der Scheitelform aufstellen. Die Punktprobe mit einem der Schnittpunkte liefert dir den Wert des Scheitelpunkts. Aus der Scheitelform erhältst du durch Ausmultiplizieren die Normalform. Von der gesuchten Geraden kennst du nun die Steigung und einen Punkt. Damit kannst du die Geradengleichung bestimmen. Hat eine Parabel mit der x Achse nur einen Punkt gemeinsam, so ist dieser Punkt der Scheitelpunkt. Der Scheitelpunkt ist also der Schnittpunkt der Geraden mit der x Achse. Damit hast du die Scheitelform der zweiten Parabel und durch Ausmultiplizieren erhältst du die Normalform. Gleichsetzten der Funktionsterme der beiden Parabeln liefert den Schnittpunkt. o) (009 Wa) Die Parabel hat allgemein die Gleichung p : = x + px + q. Die zweifache Punktprobe mit den angegebenen Punkten liefert ein Gleichungssstem, aus dem du p und q berechnen kannst. Durch quadratische Ergänzung bestimmst du die Scheitelform und den Scheitelpunkt der Parabel p. Den Scheitelpunkt S der verschobenen Parabel p erhältst du, wenn du den Scheitelpunkt S wie angegeben verschiebst. Stelle damit die Scheitelform der Parabel p auf und forme diese durch Ausmultiplizieren in die Normalform um. Gleichsetzen der Funktionsterme von p und p liefert den Schnittpunkt P der Parabeln. Den gesuchten Abstand berechnest du mit der Abstandsformel. p) (009 Wb) Mit dem gegebenen Scheitelpunkt kannst du die Parabel in der Scheitelform aufstellen. Durch Ausmultiplizieren erhältst du die Normalform. Da der Punkt P auf der Parabel liegt, kannst du dessen x Wert in die Parabelgleichung einsetzen, um den Wert zu bestimmen. Um die Dreiecksfläche zu berechnen, fertigst du eine Skizze an. Wenn du AB als Grundseite wählst, liegt die Höhe zwar nicht im Dreieck, du kannst die Fläche aber trotzdem problemlos berechnen. Da die Grundseite des Dreiecks gleich bleibt, musst du für die neuen Dreiecke nur die Höhe berechnen und die zugehörigen Punkte auf der Parabel bestimmen. q) (00 Wa) Um die Gleichungen der beiden Geraden aus der Zeichnung zu bestimmen, wählst du dir auf jeder der beiden Geraden jeweils zwei Punkte mit leicht ablesbaren Koordinaten oder du wählst einen Punkt und bestimmst die Steigung mit Hilfe eines Steigungsdreiecks. Daraus kannst du die Funktionsgleichungen der beiden Geraden bestimmen. Gleichsetzen der Funktionsterme liefert den Schnittpunkt P.

15 Tipps. TRIGONOMETRIE Die gesuchte Parabel hat die Form g : = x +px+q. Die Punktprobe mit den Punkten P und Q liefert p und q. Damit hast du die Normalform der gesuchten Parabel. Durch quadratische Ergänzung erhältst du die Scheitelform und den Scheitelpunkt. r) (00 Wb) Die Scheitelpunkte beider Parabeln liegen auf der Achse. Du kannst sie unmittelbar aus der Funktionsgleichung ablesen. Die Schnittpunkte erhältst du durch Gleichsetzen der Funktionsterme (eine Zeichnung hilft dir weiter!). In einem Drachenviereck stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander und eine davon teilt die andere in zwei gleiche Teile. Zur Berechnung der Fläche verwendest du entweder die Formel aus der Formelsammlung oder du teilst das Drachenviereck in zwei gleichschenklige Dreiecke ein, deren Flächen einfacher zu berechnen sind. Trigonometrie Hinweis: Bei den Trigonometrie-Aufgaben gibt es immer verschiedene Lösungswege. Im Tippteil wird jeweils ein möglicher Lösungsweg vorgeschlagen. Im Folgenden erhältst du kurze wichtige Hinweise und einen Vorschlag, womit du anfangen kannst.. Aufgaben mit konkreten Maßangaben a) (998 Wa) Hilfslinien: Senkrechte zu AB durch D. Schnittpunkt mit AB ist G; Senkrechte zu DG durch E. Schnittpunkt mit DG ist F. Nun kannst du im Dreieck BDG die Strecke DG berechnen und damit auch DF. b) (999 Wa) Da bei E und D rechte Winkel eingezeichnet sind, sind AE und CD parallel. Hilfslinien: Verlängerung von CD bis zum Schnittpunkt mit AB. Schnittpunkt mit AB ist F; Senkrechte zu AE durch F. Schnittpunkt mit AE ist G. Nun kannst du der Reihe nach BF, AG und EG berechnen. c) (000 Wa) Hilfslinien: AD; Senkrechte zu AB durch D. Schnittpunkt mit AB ist F; Senkrechte zu CB (und DF) durch C. Schnittpunkt mit DF ist G. AD teilt den Winkel α bei A in zwei Teilwinkel, die du nun berechnen kannst. Beachte noch, dass der Winkel δ bei D durch die Hilfslinien AD und DF in drei Teilwinkel aufgeteilt wird. d) (00 Wa) Hilfslinien: Senkrechte zu AB durch C. Schnittpunkt mit AB ist E; Senkrechte zu CE durch D. Schnittpunkt mit CE ist F. Nun kannst du der Reihe nach CE, CF, BE und AE = DF berechnen. 5

16 . LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN Lösungen Mit der pq-formel erhält man: x, = ± 6 + = 7 6 ± = 7 6 ± 6 x = 6 =, x = 8 6 = x liegt nicht in der Definitionsmenge, wohl aber x. Also ist L = { }. Lineare und quadratische Funktionen a) (999 Wa) Zum Zeichnen von p erstellt man eine Wertetabelle: x 0 8,5 0,5 0 0,5,5 8 Die Gerade g hat die Steigung m =, ist also parallel zur ersten Winkelhalbierenden. Außerdem hat sie den Achsenabschnitt b =. Sie verläuft also durch den Punkt P ( 0 ). Zur Berechnung der Schnittpunkte von p und g setzt man die Funktionsterme gleich und stellt die Gleichung nach Null um: x = x + x = x + x x = 0 p 6 5 P S x g p - Mit der pq Formel erhält man daraus: x, = ± + = ± x = ; - x = x = liefert durch Einsetzen in die Geradengleichung = x + = + = 9 =,5 und damit den Schnittpunkt S (,5), x = liefert durch Einsetzen in die Geradengleichung = x + = + = = 0,5 und damit den Schnittpunkt S ( 0,5). Um die Funktionsgleichung der Parabel p zu bestimmen, wählt man die Normalform der Funktionsgleichung für eine nach oben geöffnete, verschobene Normalparabel: = x + px + q Da die Punkte S (,5) und S ( 0,5) auf der Parabel liegen sollen, müssen ihre Koordinaten die Funktionsgleichung der Parabel erfüllen, d.h. es muss gelten: S (),5 = + p + q () 0,5 = ( ) + p ( ) + q (a) p + q =,5 (a) p + q = 0,5 50 (a) (a) ergibt p = p = und durch Einsetzen in eine der Gleichungen (a) oder (a) erhält man q =,5. Die Gleichung der Parabel p lautet also: = x x,5

17 Lösungen. LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN Durch quadratische Ergänzung erhält man die Scheitelform und damit den Scheitelpunkt: = x x +,5 = x x + ( }{{ }}{{ },5 = x,75 }{{} ) 0 (x ),75 Damit ist S (,75 ) der Scheitelpunkt der Parabel p. b) (000 W) Mit der Scheitelform der Parabelgleichung erhält man für die Parabel p die Funktionsgleichung = (x + ),5 und durch Ausmultiplizieren = x + x,5. Zur Berechnung der Schnittpunkte von p und p setzt man die Funktionsterme gleich und stellt die Gleichung nach Null um: x + x,5 = x +,5 x + x = 0 x + x = 0 Mit der pq Formel erhält man daraus: x, = ± + = ± + 8 = ± x = ; x = x = liefert durch Einsetzen in eine der Parabelgleichungen =,5 und damit den Schnittpunkt S (,5), x = liefert wiederum =,5 und damit den Schnittpunkt S (,5). Die Gerade g durch die Punkte S (,5) und S (,5) hat allgemein die Funktionsgleichung = mx + b. Setzt man die Koordinaten von S und S in die Funktionsgleichung ein (Punktprobe), so erhält man das folgende Gleichungssstem: (),5 = m + b (),5 = m ( ) + b (a) m + b =,5 (a) m + b =,5 5 (a) (a) ergibt m = bzw. m = und durch Einsetzen in eine der Gleichungen (a) oder (a) erhält man b = 0,5. Die Gleichung der Geraden g lautet also: = x + 0,5. Für den Schnittpunkt mit der x Achse ist = 0. Es gilt also: x + 0,5 = 0 x = 0,5 Der gesuchte Schnittpunkt ist S( 0,5 0). p S x S - S g p - 5

18 . LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN Lösungen c) (00 Wa) Da der Punkt P( 6) auf der Parabel p mit der Gleichung = x +px+6 liegt, müssen seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen, d.h. es muss gelten: 6 = + p + 6 p = 9 p = Damit gilt: p : = x x + 6 Da der Punkt Q( ) auf der Parabel p mit der Gleichung = x + c liegt, müssen seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen, d.h. es muss gelten: = + c c = 6 Damit gilt: p : = x + 6 Zur Berechnung der Schnittpunkte von p und p setzt man die Funktionsterme gleich und stellt die Gleichung nach Null um: p p x x x + 6 = x + 6 x x = 0 x x = 0 Mit der pq Formel (q = 0) oder durch Faktorisieren (x Ausklammern) erhält man: x x = 0 x (x ) = 0 x = 0 oder x =. x = 0 liefert durch Einsetzen in eine der Parabelgleichungen = 6, also den Schnittpunkt S (0 6); x = liefert entsprechend = und damit den Schnittpunkt S ( ). Für die Zeichnung formt man den Funktionsterm von p in die Scheitelform um und bestimmt den Scheitelpunkt: = x x + 6 = x x +,5,5+6 = x }{{} x +,5,5 + 6 = (x,5) }{{}}{{} +,75 0 (x,5),75 Damit ist S (,5,75) der Scheitelpunkt. Für p legt man eine Wertetabelle an: x, 5 0, 5 0 0, 5, 5,5 5,5 6 5,5,5 d) (00 Wb) Zunächst bestimmt man die Funktionsgleichung der Parabel p in der Normalform = x + px + q. Da die Punkte P ( ) und P (6 8) auf der Parabel liegen sollen, müssen ihre Koordinaten die Funktionsgleichung der Parabel erfüllen, d.h. es muss gelten: 5 () = + p + q () 8 = 6 + p 6 + q (a) p + q = (a) 6p + q = 8

19 Lösungen. LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN (a) (a) ergibt 5p = 0 bzw. p = 6 und durch Einsetzen in eine der Gleichungen (a) oder (a) erhält man q = 8. Die Gleichung der Parabel lautet also: = x 6x + 8. Mit dem Ansatz = mx + b erhält man in entsprechender Weise die Gleichung der Geraden: () = m + b () 8 = m 6 + b (a) m + b = (a) 6m + b = 8 (a) (a) ergibt 5m = 5 bzw. m = und durch Einsetzen in eine der Gleichungen (a) oder (a) erhält man b =. Die Gleichung der Geraden lautet also: = x +. Da die Gerade h parallel zur Geraden g sein soll, ist m h = und h hat die Gleichung = x + b. Da der Punkt B(,5 0,75) auf h liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung von h erfüllen: 0,75 =,5 + b b =,5 Damit hat h die Gleichung: = x,5. Um alle gemeinsamen Punkte von p und h zu bestimmen, setzt man die Funktionsterme gleich und stellt die Gleichung nach Null um: Mit der pq Formel erhält man daraus x 6x + 8 = x,5 x 7x +,5 = 0 x, = 7 ± 9,5 = 7 ± 0 = 7. Es gibt also nur eine Lösung x = 7 =,5. Einsetzen in die Gleichung von h ergibt = = 0,75. Es gibt also nur einen gemeinsamen Punkt der Parabel und der Geraden h. Dieser ist B(, 5 0, 75). e) (00 Wa) Den Scheitelpunkt von p erhält man aus der Gleichung = x + x + durch Umformung in die Scheitelform (mittels quadratischer Ergänzung): = x + x + = x + x + }{{} + = x } + {{ x + } }{{ + } = (x + ) + 0 (x+) Damit ist S ( ) der Scheitelpunkt. Der Scheitelpunkt der Parabel p ist S ( ). Die Gerade g durch die Punkte S ( ) und S ( ) hat allgemein die Funktionsgleichung = mx + b. Setzt man die Koordinaten von S und S in die Funktionsgleichung ein (Punktprobe), so erhält man das folgende Gleichungssstem: 5

20 . LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN Lösungen () = m ( ) + b () = m + b (a) m + b = (a) m + b = (a) (a) ergibt 5m = 5 bzw. m = und durch Einsetzen in eine der Gleichungen (a) oder (a) erhält man b =. Die Gleichung der Geraden g lautet also: = x +. Um den Schnittpunkt der beiden Parabeln zu berechnen, benötigt man die Funktionsgleichung der Parabel p. Da der Scheitelpunkt S ( ) bekannt ist, kann man die Funktionsgleichung in der Scheitelform angeben und durch Ausmultiplizieren die Normalform erzeugen: S ( ) = (x ) = x 8x + Zur Berechnung der Schnittpunkte von p und p setzt man die Funktionsterme gleich und löst die Gleichung nach x auf: x 8x+ = x +x+ 0x = 0 x = Einsetzen in eine der beiden Parabelgleichungen ergibt = 6. Einziger Schnittpunkt der beiden Parabeln ist daher der Punkt P( 6). Da die Gerade g parallel zur Geraden g ist, hat sie allgemein die Gleichung = x + b. Die Punktprobe mit P( 6) ergibt 6 = + b bzw. b = 7. Also hat g die Gleichung = x p p g g x f) (00 Wa) (a) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt S(0 ). Die Parabelgleichung hat daher die Form = ax. 5 Da sie weiter geöffnet ist als eine Normalparabel, gilt 0 < a <. Damit kommt nur Funktionsgleichung () in Frage: = x. (b) ist eine Gerade mit dem Achsenabschnitt b = 5. Mit Hilfe des Steigungsdreiecks (z.b. unter Verwendung der Punkte A(0 5) und B( 6)) erhält man: m = x = = Also ist die Funktionsgleichung () die richtige: = x + 5

21 Lösungen. LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN (d) A x (b) B (a) - - (c) x (c) ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S( ). Die Funktionsgleichung lautet in der Scheitelform: = (x ) +. Es ist also die Funktionsgleichung (5). (d) ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S( ). Die Funktionsgleichung lautet in der Scheitelform: = (x + ). Durch Ausmultiplizieren erhält man daraus = x + 8x +, also Gleichung (7). g) (00 Wa) Es ist p : = x x + 6 gegeben. Die Scheitelform einer nach unten geöffneten Normalparabel mit Scheitelpunkt S(x S S ) hat die Form = (x x S ) + S. Damit erhält man p : = (x 0) + 6 bzw. p : = x + 6. Durch Gleichsetzen der Funktionsterme von p und p erhält man die Schnittpunkte: x x + 6 = x + 6 x x = 0 x (x ) = 0 x = 0; x = Einsetzen z.b. in p ergibt = 6 und =. Damit erhält man als Schnittpunkte S (0 6) und S ( ). Mit Hilfe der -Punkte-Form erhält man die Gleichung der Geraden g: 6 x 0 = x = = x

22 . LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN Lösungen Setzt man in der Geradengleichung x = 0, so erhält man als Schnittpunkt mit der Achse den Punkt S(0 6). Setzt man = 0 und löst die Gleichung nach x auf, so erhält man den Schnittpunkt mit der x Achse: 0 = x + 6 x = N( 0) Zur Bestimmung der Innenwinkel im rechtwinkligen Dreieck ONS werden trigonometrische Funktionen verwendet: Es gilt tanβ = Gegenkathete Ankathete = 6 = β = 6, und γ = α β = 90 6, = 6,57. Den Umfang U berechnet man wie folgt: S γ α β N x U = OS + NS + NO = 6 + NS + Da NS = 6 + = 5 folgt NS = 6,7LE und damit: U = ,7 = 5,7LE. h) (00 Wa) Es ist p : = x + x + 6. Durch quadratische Ergänzung erhält man die Scheitelform und damit den Scheitelpunkt: = x + x + 6 = x + x + }{{} +6 = x } + {{ x + } }{{ + 6 } = (x + ) + S ( ) 0 (x+) + Durch die Verschiebung erhält man den Scheitelpunkt S ( ). Die verschobene Parabel p hat damit die Gleichung = (x ) bzw. = x x. Durch Gleichsetzen der Funktionsterme erhält man die x Koordinate des Punktes Q: x + x + 6 = x x 6x = 6 x Q =. Durch Einsetzen z.b. in p erhält man Q = und damit Q( ). Die Gerade durch S ( ) und Q( ) hat die Steigung m = Q x Q x = ( ) = =. Die Gerade h hat ebenfalls die Steigung m = und geht durch den Punkt S ( ). Mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form erhält man: 56 = = x + h : = x x +

23 Lösungen. LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN i) (00 Wa) (a) ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitelpunkt S( ). Das Schaubild gehört also zu Funktionsgleichung (). (b) ist eine Gerade mit dem Achsenabschnitt b = und der Steigung m = 5. Das Schaubild gehört also zu Funktionsgleichung (). (c) ist eine Gerade mit dem Achsenabschnitt b = und der Steigung m =. Das Schaubild gehört zu Funktionsgleichung (9). (d) ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitelpunkt S( ). Durch Ausmultiplizieren der Scheitelform ( = (x ) + ) erhält man = x x + 5. Das Schaubild gehört zu Funktionsgleichung (7). (e) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt S(0 ). Sie hat damit eine Funktionsgleichung der Form = ax +. Da sie weiter geöffnet ist als die Normalparabel, gilt 0 < a <. Damit kommen nur die Funktionsgleichungen () und () in Frage. Berechnet man die Nullstellen der Parabel (), so erhält man: 0 = x + x = 6 x, = ± 6 = ±,5 Das Schaubild gehört also zu Funktionsgleichung (). j) (005 Wa) Aus = x + x + erhält man durch quadratische Ergänzung die Scheitelform von p und damit den Scheitelpunkt: = x + x + = x + x + }{{} + = x } + {{ x + } }{{ + } = (x + ) S ( ) 0 (x+) Die Gerade durch S und den Punkt P erhält man mit der -Punkte-Form: S x x S = P S x P x S + x + = = + x + = g : = x Da der Scheitelpunkt S ( S ) auf der Geraden g liegt, müssen seine Koordinaten die Geradengleichung erfüllen: S = x S = = und damit ist S ( ). Mit Hilfe der Scheitelform erhält man die Funktionsgleichung der Parabel p : = (x ) + = x 6x = x 6x + p : = x 6x + Zur Berechnung des Schnittpunktes A der beiden Parabeln setzt man die Funktionsterme gleich, löst die Gleichung nach x auf und berechnet den entsprechenden Wert: x + x + = x 6x + 0x = 0 x A = Einsetzen des x Wertes z.b. in die Gleichung p ergibt A = + + = 6 und damit A( 6). Die Gerade g hat die gleiche Steigung wie g, also m = und geht durch den Punkt A. Ihre Funktionsgleichung erhält man am einfachsten mit der Punkt-Steigungs-Form: A = m 6 x x A x = g : = x

24 . LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN Lösungen Durch Gleichsetzen der Funktionsterme von p und g erhält man die x Koordinaten der Schnittpunkte: (7 x 6x + = x + 5 x 7x + 6 = 0 x, = 7 ) ± 6 = 7 ± 5 x = (Punkt A); x = 6 Durch Einsetzen in z.b. g erhält man =. Damit ist der zweite Schnittpunkt B(6 ). k) (006 Wa) Die Gleichung der Geraden g erhält man mit der -Punkte-Form: B x x B = A B x A x B + x 6 = = 8 = + x 6 = g : = x + 9 Die Parabelgleichung hat die Form = x + px + q. Einsetzen der Koordinaten der Punkte A und B (Punktprobe) ergibt: () 5 = + p + q = + p + q () = 6 + 6p + q = 6 + 6p + q () = p + q () 9 = 6p + q () () ergibt 0 = p p = 0. Einsetzen von p = 0 z.b. in () liefert q =. Damit lautet die Parabelgleichung p : = x 0x +. Durch quadratische Ergänzung erhält man die Scheitelform und den Scheitelpunkt der Parabel: = x 0x + = x 0x = (x 5) S(5 ) Die Gerade g hat die gleiche Steigung wie g, also m =. Sie verläuft durch S(5 ). Mit der Punkt-Steigungs-Form erhält man: 58 S = m + x x S x 5 = g : = x + 6

25 Lösungen. LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN Setzt man in der Geradengleichung x = 0, so erhält man als Schnittpunkt mit der Achse den Punkt B(0 6), setzt man = 0, so erhält man den Schnittpunkt mit der x Achse: 0 = x + 6 x = N( 0) Es ist α = 90. Außerdem gilt: tanβ = Gegenkathete Ankathete Mit den Winkelsummensatz gilt: = 6 = β 6, 80 = α+β+γ γ = , = 6,57 Umfang U: U = OB + BN + NO = 6 + BN +. BN = 6 + = 5 NB = 6,7LE u = ,7 = 5,7LE B γ α β N x l) (007 Wa) Die Parabel p hat den Scheitelpunkt S ( ). P p Mit Hilfe der Scheitelform der Parabelgleichung 0 erhält man: = (x + ) + p Ausmultiplizieren führt zu = x 8 + 8x + 9. g Entsprechend ergibt sich für p mit dem Scheitelpunkt S ( ) mit Hilfe der Scheitelform 6 der Parabelgleichung = (x ) und durch S Ausmultiplizieren = x 6x + 5. R x Den Schnittpunkt P von p und p erhält man durch Gleichsetzen der Funktionsterme: - S x + 8x + 9 = x 6x x = x = -8 Einsetzen des x Wertes z.b. in die Gleichung p ergibt = ( ) ( )+9 = und damit P( ). Q - - Die Gerade g durch S ( ) und P( ) bestimmt man am einfachsten mit Hilfe der -Punkte-Form der Geradengleichung: P x x P = S P x S x P x + = + x + = = x + 5 Da die Gerade h die gleiche Steigung hat wie die Gerade g, gilt für h: = x + b. Die Punktprobe mit S ( ) liefert die Gleichung = + b und damit b =. Damit hat die Gerade h die Gleichung = x. 59

26 . LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN Lösungen Aus dieser Gleichung erhält man den Schnittpunkt Q mit der Achse (x = 0) mit Q(0 ) und den Schnittpunkt R mit der x Achse ( = 0) mit R ( 0 ). Das rechtwinklige Dreieck ORQ hat damit die Kathetenlängen und. Für die Fläche gilt: A = = 69 6 = 8,7cm m) (008 Wa) Zunächst benötigt man die Funktionsgleichung der Parabel p mit dem Scheitelpunkt S ( 5). Mit Hilfe der Scheitelform erhält man = (x ) 5. Ausmultiplizieren liefert = x x. Zur Berechnung der Schnittpunkte von p und p setzt man die Funktionsterme gleich und stellt nach Null um: x x = x + 5 x x 6 = 0 x x = 0 Mit der pq Formel erhält man x = und x =. x = liefert durch Einsetzen in eine der beiden Parabelgleichungen =, also den Schnittpunkt S ( ) und x = liefert =, also den Schnittpunkt S ( ). Die Gleichung der Geraden durch die Punkte S ( ) und S ( ) hat allgemein die Form = mx + b. Einsetzen der Koordinaten von S und S ergibt das Gleichungssstem: () = m + b () = m ( ) + b (a) m + b = (a) m + b = (a) (a) ergibt m = 8 bzw. m = und durch Einsetzen in eine der Gleichungen (a) oder (a) erhält man b =. Die Gleichung der Geraden h lautet also = x +. Zur Berechnung der Winkel, unter denen die Gerade die x Achse schneidet, kann man zunächst die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen bestimmen: Für den Schnittpunkt P mit der x Achse gilt: = 0 0 = x+ x = P ( 0) h P (0 ) Für den Schnittpunkt mit der Achse gilt: x = 0 = P (0 ) Der Zeichnung entnimmt man: tanα = Gegenkathete Ankathete = = α = 6, O(0 0) α P ( 0) x - 0 β Der zweite Winkel ist dann β = 80 α = 6,57. 60

27 Lösungen. LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN n) (008 Wb) Wenn die Parabel p die Schnittpunkte N ( 0) und N (5 0) mit der x Achse besitzt, so liegt der Scheitelpunkt S (x S S ) auf der Smmetrieachse der Parabel. Diese hat die Gleichung x =, also ist x S =. Die Scheitelform der Parabelgleichung lautet damit: = (x ) + S. Durch Einsetzen der Koordinaten von z.b. N ( 0) erhält man die Gleichung 0 = ( ) + S und daraus S = und den Scheitelpunkt S ( ). Die Gleichung der Parabel ergibt sich aus der Scheitelform durch Ausmultipizieren: = (x ) = x 6x + 5 p 5 S N ( 0) N (5 0) x g S Smmetrieachse x = Die Gerade g mit der Steigung m = durch S ( ) erhält man mit der Punkt-Steigungsform: S x x S = m als + = g : = x x Hat eine Parabel p mit der x Achse nur einen Punkt gemeinsam, so ist dieser Punkt der Scheitelpunkt S. Damit ist S der Schnittpunkt von g mit der x Achse: Aus 0 = x erhält man x S = und S ( 0). Die Gleichung der Parabel p erhält man damit in der Scheitelform: = (x + ) + 0 = x + x + Die Koordinaten des Schnittpunktes S der beiden Parabeln erhält man aus dem Gleichungssstem: () = x 6x + 5 () = x + x + (Gleichsetzungsverfahren) x 6x + 5 = x + x + 8x = x = o) (009 Wa) Gegeben ist die Gleichung der Parabel p : = x + px + q. = 9 S p ( S 9 ) Die Punktprobe mit den Punkten A( 6) und B( ) führt zu folgendem Gleichungssstem: () 6 = 9 + p + q () = 6 + p + q (a) p + q = (a) p + q = 5 (a) (a) ergibt: p = p = Einsetzen z.b. in (a) ergibt ( ) + q = q = und damit p : = x x +. 6

28 . LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN Lösungen Durch quadratische Ergänzung erhält man die Scheitelform p : = x x + = x x + + = (x ) + und den Scheitelpunkt S ( ). Der neue Scheitelpunkt ist S ( 5 5) bzw. S ( ). Man erhält die Parabel p in der Scheitelform: p : = (x + ) Durch Ausmultiplizieren erhält man die Normalform p : = (x + ) = x + 8x + 6 = x + 8x +. Der Schnittpunkt P der Parabeln p und p wird durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen bestimmt. Man erhält: x x + = x + 8x + 0x = 0 x = Einsetzten des x Wertes z.b. in p ergibt den Wert: = ( ) ( ) + = 6 und damit P( 6). Die Entfernung von P und S erhält man mit der Abstandsformel: d = ( ( )) + (6 ( )) = = 90 = 9,9LE p) (009 Wb) Die Gleichung der Parabel in der Scheitelform ist: = (x ) Durch Ausmultiplizieren erhält man die Normalform: = (x ) = x 8x + 6 = x 8x + Da der Punkt P auf der Parabel liegt, muss gelten: P = 8 + = P( ) 5 P A x B h = P - S 6

29 Lösungen. LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN Für die Fläche A des Dreiecks gilt A = g h, wobei die Strecke AB die Grundseite g und P die Höhe h ist. Damit ist A = P = = FE. Wenn die Fläche des Dreiecks 0,5 FE betragen soll, dann muss gelten: A = P = 0,5. Durch Auflösen dieser Gleichung berechnet man P und erhält: P = = 0,5. Der verschobene Punkt P hat also die Koordinaten P(x P 0,5). Da P auf der Parabel liegt, gilt: x 8x + = 0,5 x 8x +,75 = 0. Mit der pq Formel erhält man x = 7,5 und x = 0,5. Dies ergibt P (7,5 0,5) und P (0,5 0,5). q) (00 Wa) Die Gerade g verläuft z.b. durch die Punkte A(0 7) und B( 9). Da A auf der Achse liegt, ist b = 7 der Achsenabschnitt. Die Gerade g hat damit die Funktionsgleichung = mx + 7. Die Punktprobe mit B( 9) ergibt: 9 = m + 7 m = m = Damit ist g : = x + 7. Die Gerade g verläuft z.b. durch die Punkte N( 0) und R(7 6). Sie hat allgemein die Gleichung = m x + b A N x g Die Punktprobe mit den Punkten N( 0) und R(7 6) führt zu dem Gleichungssstem: g () 0 = m + b () 6 = m 7 + b Subtrahiert man die erste Gleichung von der zweiten, so erhält man: Damit ist g : = x 8. 6 = m m = b = 8 Um den Schnittpunkt von g und g zu berechnen, werden die Funktionsterme gleichgesetzt: x + 7 = x 8 5 =,5x x = 0 Durch Einsetzen des x Wertes z.b. in g erhält man = =. Der Schnittpunkt ist damit P(0 ). Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat allgemein die Gleichung = x + px + q. Die Punktprobe mit den Punkten P(0 ) und Q( ) liefert das Gleichungssstem: () = 0 + 0p + q () = + p + q B (a) 88 = 0p + q (a) 8 = p + q R 6

30 . LINEARE UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN Lösungen Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, so ergibt sich: 80 = 8p p = 0 q = Die Parabel p hat die Gleichung = x 0x +. Durch quadratische Ergänzung erhält man die Scheitelform = x 0x + = x 0x = (x 5) und damit den Scheitelpunkt S(5 ). r) (00 Wb) Der Scheitelpunkt der Parabel p : = x + 5 ist S (0 5), der Scheitelpunkt der Parabel p : = x ist S (0 ), wie man unmittelbar aus den Funktionsgleichungen ablesen kann. 6 5 S Die Schnittpunkte erhält man durch Gleichsetzen der Funktionsterme: P Q x + 5 = x 6 = x x = x = ; x = Einsetzen in eine der beiden Gleichungen liefert = =. Die Schnittpunkte sind P( ) und Q( ) Die beiden Scheitelpunkte S und S liegen auf der Achse. Die Punkte P und Q haben den gleichen Wert und liegen smmetrisch zur x Achse. Das Viereck S PS Q ist also ein Drachenviereck. Das Drachenviereck wird durch die Diagonale PQ in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegt, deren Flächeninhalt einfach zu berechnen ist. Es gilt daher A S PS Q = A PQS + A PQS = + =. - S x Der Flächeninhalt des Vierecks S PS Q beträgt FE. 6