DERIVE Termumformungen & Funktionen

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1 Ausgewählte Kapitel der Didaktik: Computerunterstützer Mathematikunterricht Vortrag: Claudia Bückner Derive: Termumformungen & Funktuionen DERIVE Termumformungen & Funktionen 1. Termumformungen Mathematischer Begriff Name im Menü Derive-Befehl Vereinfachen Algebraisch Simp() Ausmultiplizieren Multiplizieren Mltp() Faktorisieren Faktorisieren, Hauptnenner Fktr() Approximieren Approximieren Approx() Substituieren Variablen-Substitution Subst() Gleichung lösen Lösen Solve() 1.1. Vereinfachen 2y3 4y 2 8y6 y 2 5 a m a n, a m a n, sin x cos x x 1 2 x 2 fässt numerische Teilausdrücke, Faktoren und Summanden zusammen wendet mathematische Gesetze wie Potenzgesetze oder trigonometrische Beziehungen an reduziert den Grad von Polynomen 1.2. Ausmultiplizieren 2x 1 4 x 5x 3 3 x 2 x 2 2x 1 ausmulitiplizieren von Polynomen nach vorher bestimmten Variablen bilden der Partialbruchzerlegung von rationalen Ausdrücken kann nach bestimmten Zahlbereichen ausmultiplizieren, soweit dies möglich ist

2 Aufgabe: Führen Sie für den Bruchterm Partialbruchzerlegung durch! 4x 2 x 2 1 eine Polynomdivision sowie eine Tipp: Nenner-Multiplikations-Typ 1.3. Faktorisieren 4a 2 2ab 1 4 b2, 6,25 a 2 3,61 b 2 50!, Hauptnenner bilden: 30 4x 2 20x x x 5 Kürzen: 9x 5 12x 4 12x 3 42x 2 3x 30 6x 2 6x 12 zerlegt Ausdrücke bezüglich einiger oder aller Variablen Einstellung des Faktorisierungs-Typs beachten!

3 2. Funktionen 2.1. Lineare Funktionen Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung (a) Eine Gerade mit Steigung m = 2 verläuft durch den Punkt P = [2,3]. Notieren Sie die Geradengleichung dieser Geraden in Normalform ( y = mx + b ). Lösung: y = (b) Lösen Sie das Problem allgemein für die Steigung m und den Punkt P = [p 1,p 2 ]. Lösung: y = (c) Definieren Sie mit DERIVE die Funktion PuStei, die aus einem Punkt P und einer Steigung m die Normalform der Geradengleichung bestimmt. PuStei(P,m):= (d) Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktion PuStei die Geradengleichungen zu folgenden Punkten und Steigungen. Plotten Sie zur Überprüfung die Punkte sowie die Geraden ( 3.9). (d1) P = [ 1, 1] m = 2 1 y = (d2) P = [ 1,2] m = 2 y = (d3) P = [ 2, 0] m = 1 y =

4 Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung (a) Eine Gerade verläuft durch die Punkte P = [1,1] und Q = [3,2]. Bestimmen Sie die Steigung sowie den Achsenabschnitt b der Geraden und notieren Sie die Geradengleichung in Normalform. Ergebnis: m = b = y = (b) Lösen Sie das Problem allgemein für die Punkte P = [p 1,p 2 ] und Q = [q 1,q 2 ]. Ergebnis: y = (c) Definieren Sie mit DERIVE die Funktion ZweiPu, die aus zwei Punkten die Normalform der Geradengleichung der Geraden durch die Punkte berechnet ( 3.9). ZweiPu(P,Q):= (d) Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktion ZweiPu die Geradengleichungen der Geraden durch folgende Punkte. (d1) P = [ 0, 1] Q = [ 2, 2] y = (d2) P = [ 1, 1] Q = [3, 1] y = (d3) P = [ 2,1] Q = [ 3, 1] y = Plotten Sie zur Überprüfung die Punkte sowie die Geraden Quadratische Funktionen Untersuchen des Einflusses der Parameter a, b und c in Begründung des Scheitelpunktes S b 2a ; 4ac bb2 4a durch Faktorisieren. f x =ax 2 bx c und

5 2.3. Trigonometrische Funktionen Aufgabe: Veranschaulichen Sie die Änderung der Frequenzen bei sin(ax) für a = 1,..., 10! Schieberegler Grafikfenster: Einfügen- Schieberegeler Einfluss der Parametern a,b und c in f x =a sin bx c Anwendung in Physik: Überlagerung von Schwingungen und Wellen: f x :=sin 3x g x :=cos 1 2 x Zeichne: h x := f x g x

6 2.4. Exponentialfunktionen Basis: Untersuchen Sie die Graphen von y=b x x R, b R, b 0 in Abhängigkeit von b. Beschreiben Sie insbesondere deren Eigenschaften und begründen Sie die Einschränkung auf positive Werte b. Symmetrien: Welche Beziehung besteht zwischen den Graphen der Funktionen mit y = b x b R, b 0 und y = b x? Streckungen 1: Wie wirkt sich das verändern von k k R auf den Graphen von y = k 2 x aus? Streckungen 2: Vergleichen Sie die beiden Funktionen f x =2 x und g x =3 c x für verschiedene reelle c- Werte. Gibt es einen c- Wert, so dass die Graphen der beiden Funktionen übereinstimmen. Parametervergleich: Vergleichen Sie die beiden Funktionen f x =a 2 x und g x =2 x d für verschiedene reelle a- und d-werte. Gibt es Werte, so dass die Graphen der beiden Funktionen übereinstimmen? 2.5. Übungen zu Funktionen

7 Quellen: [1] KOEPF, Wolfram: Derive für den Mathematikunterricht [2] KOEPF, Wolfram et al.: Mathematik mit Derive [3] (letzter Zugriff: um 8:40 Uhr) [4] (letzter Zugriff: um 8:45 Uhr) [5] Roß, Martin: Übungsheft DERIVE Klasse 11 Koordinatengeometrie und Analysis [6] Weigand, Hans-Georg; Weth, Thomas: Computer im Mathematikunterricht