Vektorrechnung im R 3 mit dem Voyage 200:

Transkript

1 Wir legen einen neuen Folder n: VAR-LINK F, 5 (CREATE FOLDER) Nme: vektor3 Wechseln in den Folder: MODE Current Folder vektor3 uswählen Vektorrechnung im R 3 mit dem Voge 00: Punkte und Vektoren werden ls 3-Mtrien gespeichert (3 Zeilen, Splte). Bsp.: Punkt A(3/5/) Einge: [ 3;5;] p Punkte mit p... Vektor 4 Einge: [;-;4] v Vektoren mit v... Länge eines Vektors: + + Einge: norm(v) ; norm([;-;4]) Bsp.: Berechne den Astnd der eiden Punkte A( 4/7/-) und B( 8/3/3) A nch p und B nch p speichern Vektor AB ls B A erechnen Länge des Vektors: norm(v) Einheitsvektor Vektor mit der Länge : 0 Einge: unitv(v) Prllelität von Vektoren: ist prllel u v, v R \{0} Bsp.: Sind die Vektoren und 3 prllel? Vektoren nch v und v speichern vv*v nch gl speichern, dnn: ) us der.zeile v erechnen gl[,] heißt:.zeile,.splte von gl in gl üerprüfen (Koopertor) 3 true prllel, sonst nicht prllel ) kürer: solve(gl,v) flse (nicht prllel), flls: v prllel c) m einfchsten: uf einen Blick sehen!! Vektorrechnung im R 3 Seite

2 5 Bsp.: Die Vektoren 6 und sind prllel. Berechne und! 3 [5;6;3] v ; [;;] v ; vv*v gl ; solve(gl[,],v) ; v*v v/3 Mittelpunkt einer Strecke: M ½ (A+B) ls Funktion gespeichert: (p+p)/ mit(p,p) und mit VAR-LINK, F, 6 (Lock) vor üerschreien geschütt Schwerpunkt eines Dreiecks: S 3 (A+B+C) ls Funktion gespeichert: (p+p+pc)/3 sp(p,p,pc) 5/3 Prmeterdrstellung von Gerden Funktionen definieren ) durch Punkte p und p: p+t*(p-p) gp(p,p) ) durch Punkt p und Richtungsvektor v: p+t*v gpv(p,v) und llgemeinen Punkt [;;] p und mit VAR-LINK, F, 6 (Lock) vor üerschreien schüten Bsp.: Gerde g durch Punkte P(/3/-3) und Q(0/7/5) pgp([;3;-3],[0;7;5]) g Bsp.: Berechne die u den Prmeterwerten t,,3,4 gehörenden Punkte P der Gerden g: X 3 + t. 5 4 Bsp.: Liegen A(0//0), B(9/8/6) und C(-3/0/-) uf einer Gerden? Idee: Gerde durch A und B, Punkt C für X einseten w.a. j / f.a. nein! pcgp(p,p) gl ; ) solve(gl[,],t) ; gl t... 3 true C uf g ) solve(gl,t) ; t /3 C uf g Bsp.: A(3/6/), B(5/0/7) und C( C / C /) liegen uf einer Gerden. ges.: fehlende Koordinten von C C( 0/3 / 5 / ) Vektorrechnung im R 3 Seite

3 Lge von Gerden Bsp.: Untersuche die Lge der eiden Gerden g: X + t 3 und h: 3 X 4 + u 6 wir erkennen: die Richtungsvektoren sind die Gerden sind entweder oder. wir üerprüfen mit dem Voge, o ein Punkt von h - um Beispiel P( / / ) - uf g liegt: [;;3] p, [-;3;] v, [;4;] gpv(p,v) gl, solve( gl[,],t) liefert t -, in gl eingesett: gl t- liefert true/flse/true P g. *** oder kürer: solve( gl,t) *** Bsp.: Untersuche die Lge der eiden Gerden g: 0 X 4 + t und h: X 6 + u 4 wir erkennen: die Richtungsvektoren sind die Gerden sind entweder oder. wir versuchen, einen Schnittpunkt u erechnen: Gerde g ls g speichern Gerde h ls g speichern, dei er mittels Koopertor den Prmeter t durch u erseten gleichseten von g und g liefert ein Gleichungssstem mit 3 Gleichungen und nur Vrilen Lösungsweg: wir wählen Gleichungen us (etw die. und die.) und erechnen drus t und u. einseten in die 3.Gleichung liefert entweder eine w.a. (Lge: ) oder eine f.a. (Lge: ). Schnittpunkt: richtigen Prmeterwert in die richtige Gerde einseten! Kontrolle : mn erhält ml den gleichen Punkt! Vektorrechnung im R 3 Seite 3

4 Vektorrechnung im R 3 Seite 4 Vektorprodukte: geg.: und ) Sklres Produkt: Ds Ergenis ist ein Sklr (Zhl) + + Anwendung: Üerprüfen, o wei Vektoren norml ueinnder sind: 0 Voge: dotp(v,v) ) Vektorielles Produkt, Kreuprodukt: Ds Ergenis ist ein Vektor ) ( Anwendung: Der Vektor steht norml uf den Vektor und norml uf den Vektor. Voge: crossp(v,v) Bsp.: Üerprüfe mit dem Voge llgemein, dss und gilt! [;;] v ; [;;] v ; crossp(v,v) v ; dotp(v,v) ; dotp(v,v) Bsp.: Berechne mit dem Voge den Vektor für v. Welche Regel folgt drus? Ds Kreuprodukt weier Vektoren ist immer der. Zur Erinnerung: c d d c heißt Determinnte.

5 Bsp.: Quder ABCDEFGH: A(/4/0), B(5/8/-), D(-3/ D / -7), E( E >0 / E / E ) AE 8 3 ges.: Koordinten der fehlenden Eckpunkte C, D, E, F, G und H Einspeichern der gegeenen Eckpunkte: [;4;0] p, [5;8;-] p, [-3,;-7] pd Die Knten AB und AD sind ufeinnder norml Gleichung für Wir lösen: p-p v, pd p vd, solve(dotp(v,vd)0,) und erhlten. Einseten liefert sowohl den Punkt D: pd 6 pd D( / / ) ls uch den Vektor A D : vd 6 vd, die wir uch gleich wieder speichern. Berechnung von C: C B +, lso: p + vd pc oder: C D +, lso C( / / ) Die Knte AE steht norml uf die Grundfläche ABCD A E ist prllel u n Berechnung des Normlvektors n : crossp(v,vd) vn E erhält mn durch Atrgen der Quderhöhe in Richtung n von A us: E A± 8 3 n, 0 us den eiden möglichen Lösungen wählen wir jene mit E >0 : p unitv(vn) pe p unitv(vn) pe E( / / ) Durch Vektordditionen erhält mn die restlichen Eckpunkte: F E + AB pe + v pf F( / / ) G( / / ) H( / / ) Üe selständig: Rechteckige Prmide ABCDS Grundfläche: A(5//), B(8/9/0), D(-8// D ) Spite S( S >0 / S / S ), Höhe h 3 4 ges.: Koordinten der Punkte C, D, S sowie Länge der Knte AS Vektorrechnung im R 3 Seite 5