Das bestimmte Riemannsche Integral

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1 Ds bestimmte Riemsche Itegrl Im Folgede sei f stets eie uf dem kompkte Itervll [, b] defiierte, beschräkte Fuktio. Defiitio 1 (Riem- ud Drbouxsumme) 1. Seie N ud x i [, b], i =, 1,..., gegebe. Flls = x < x 1 <... < x = b, d ee wir die Mege Z := {x, x 1,, x } eie Zerlegug des Itervlles [, b]. Die Feiheit der Zerlegug Z wird mit Z := mx 1 i {(x i x i 1 )} bezeichet. Mit Z wird die Mege ller Zerleguge des Itervlles [, b] bezeichet. 2. Wir wähle i jedem Teilitervll [x i, x i+1 ] eie Zwischestelle ξ i mit x i ξ i x i+1, i =, 1,..., 1, us ud ee jede Summe der Form R(Z, ξ) R(f; Z, ξ) := f(ξ i )(x i+1 x i ), ξ i [x i, x i+1 ] (1) i= eie Riemsche 1 Summe zur Zerlegug Z. Mit de (wege der Beschräktheit vo f) edliche Zhle m i := if {f(x)}, M i := sup {f(x)} x [x i,x i+1 ] x [x i,x i+1 ] bilde wir Drbouxsche 2 Summe: Drbouxsche Utersumme : s(z) s(f; Z) := 1 m i (x i+1 x i ), i= Drbouxsche Obersumme : S(Z) S(f; Z) := 1 M i (x i+1 x i ). Die Drbouxsche Summe sid spezielle Riem-Summe. Die Abb. 1 ) mcht de Zusmmehg mit dem Problem des Flächeihltes deutlich. Ist f ud bezeichet M := {(x, y) R 2 x b, y f(x)} die Orditemege vo f, so ist s(z) bzw. S(Z) gerde der elemetrgeometrische Ihlt eies gz i M gelegee bzw. M überdeckede, us Rechtecke zusmmegesetztes Polygo. Es möge Z, Z, Z Zerleguge vo [, b] bezeiche (siehe Abb. 1, b)). Die Zerlegug Z wird Verfeierug vo Z get, we Z lle Teilpukte vo Z (ud weitere) ethält. Schreibweise: Z Z. Die Zerlegug Z, die geu die Teilpukte vo Z ud Z ethält, ee wir Überlgerug vo Z ud Z ud schreibe Z = Z Z. Diese Zerlegug ist lso eie gemeisme Verfeierug sowohl vo Z ls uch vo Z. Ferer k m jede 1 Berhrd Riem, ; fudmetle Beiträge zur Differetilgeometrie (Riemsche Geometrie), Zhletheorie (Riemsche Vermutug), Topologie (Riemsche Fläche) 2 Gsto Drboux, i= 1

2 y Z f(x) Z Z Z =x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 =b x ) b) Abbildug 1: ) Uter- ud Obersumme, b) Überlgerug zweier Zerleguge Verfeierug vo Z i der Form Z Z schreibe. Wie verhlte sich u Ober- ud Utersumme bei eier Verfeierug der Zerleguge? Der Leser möge sich überlege, dss folgede umittelbr eisichtige Beziehug gilt. Für jede Zerlegug Z gilt stets s(z) R(Z, ξ) S(Z) ud s(z) s(z Z ) S(Z Z ) S(Z ). (2) D Z ud Z beliebige Zerleguge vo [, b] sid, ht m ds wichtige Korollr 2 Jede Obersumme ist größer oder gleich jeder Utersumme. Aus der Abschätzug (2) folgt u weiter, dss wege der Beschräktheit vo f die Uterud Obersumme beschräkte Zhlemege sid. Somit existiere Zhle J := sup{s(z)} bzw. J := if {S(Z)}. Z Z Z Z Sie heiße uteres bzw. oberes Drbouxsches Itegrl. Wege (2) gilt uch stets J J. Defiitio 3 (Riemsches Itegrl) Die Fuktio f : [, b] R heißt im Riemsche Si itegrierbr (uch R-itegrierbr), flls J = J. Der gemeisme Wert J := J = J wird durch ds Symbol J J(f) := f(x) dx = f(x) dx [,b] gekezeichet ud ds Riem-Itegrl oder eifch Itegrl vo f über [, b] get. Die Zhle ud b heiße die utere ud obere Itegrtiosgreze, f der Itegrd, [, b] ds Itegrtiositervll ud x die Itegrtiosvrible, für die uch ei derer Buchstbe gewählt werde k, etw f(t) dt. Die Mege ller über [, b] itegrierbre (lso isbesodere beschräkte) Fuktioe wird mit R[, b] bezeichet. 2

3 Zur Berechug des Itegrls mittels der Defiitio 3 müsste m sämtliche Ober- ud Utersumme i Betrcht ziehe. Diese Aufgbe wird jedoch ddurch erleichtert, dss m sich uf eie eizige, soste gz beliebige Folge vo immer feier werdede Zerleguge beschräke k. M et solche Folge kurz Zerlegugsullfolge. Sie sid durch lim Z = gekezeichet. Sei u f uf [, b] beschräkt. D gilt wege des Mootoieprizips für eie Zerlegugsullfolge (Z ) mit Z Z +1 für lle N lim s(z ) = J ud lim S(Z ) = J. (3) Für f R[, b] strebt lso jede der Folge (s(z )) ud (S(Z )) gege J = f(x) dx. Diese Überlegug ermöglicht die Berechug vo bestimmte Itegrle. Beispiel 4 1. Für f(x) = c, x [, b], ist c dx = c(b ). Offebr hbe lle Oberud Utersumme diese Wert. 2. Sei f : [, ] R, f(x) = x 3, >. Wir wähle äquidistte Zerleguge Z = {x k = kh k =, 1,..., } mit h := ud erhlte s(z ) = h (kh) 3, S(Z ) = h (kh) 3. k=1 Mit h = folgt für die Obersumme [ ] S(Z ) = 4 4 ( ) = Wege S(Z ) s(z ) = h 4 3 = 4 x 3 dx = 4 4. ht s(z ) deselbe Grezwert, ud es ist 3. Sei f : [, b] R, f(x) := x p, p = 1, 2,..., < < b. Es ist ds Itegrl xp dx zu bereche. Wir wähle jetzt eie icht äquidistte Zerlegugsfolge Z der Form Z := {, q,..., q k,..., q = b} mit q := b > 1. Die Zerlegugsfolge Z ht die Feiheit d b ) Z = mx x k = mx {x k+1 x k } = mx {q (1 k+1 1 },..., 1 k k q ( ) = b 1 1, q 1 für. Als Drbouxsche Uter- ud Obersumme ergebe sich s(z ) = (q k ) p (q k+1 q k ), S(Z ) = (q k+1 ) p (q k+1 q k ). 3

4 Wir bereche die Drbouxsche Utersumme, die Drbouxsche Obersumme möge der Leser bestimme. Es gilt s(z ) = p+1 1 q pk q k (q 1) = p+1 (q 1) 1 (q p+1 ) k = p+1 (q 1) 1 (q(p+1) ) = p+1 (q (p+1) 1) q 1 1 q p+1 q p+1 1 ( ( = p+1 b ) 1 ) (p+1) q 1 1 = q p+1 1 (bp+1 p+1 ) q 1 q p+1 1 = (b p+1 p+1 ) 1 q p +q p q+1 q 1 1 p+1 (bp+1 p+1 ). Der Grezübergg q 1 ist gleichbedeuted mit. Es ergibt sich für ds Itegrl x p dx = 1 p + 1 (bp+1 p+1 ), p N. 4. Die Dirichlet-Fuktio {, für irrtiole x, f(x) := 1, für rtiole x ist uf dem kompkte Itervll [, b] icht im Riemsche Si itegrierbr. Für eie beliebige Zerlegug Z = {x, x 1,..., x } des Itervlles [, b] ist stets m k = ud M k = 1, k =,..., 1, lso s(z) = ud S(Z) = b ud dmit J = ud J = b >. Die folgede Eigeschfte des Riemsche Itegrls lsse sich umittelbr us de etsprechede Eigeschfte vo Ober- ud Utersumme bleite. Stz 5 (Eigeschfte des Riem-Itegrls) 1. Es sei < < c < b <. Geu d ist f über [, b] itegrierbr, we f über [, c] ud über [c, b] itegrierbr ist. Es gilt d: f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. 2. Die Itegrtio ist eie liere Abbildug, d. h. sid f, g R[, b] d ist für beliebige α, β R uch αf + βg R[, b], ud es gilt (αf(x) + βg(x)) dx = α f(x) dx + β M..W.: R[, b] ist ei reeller Vektorrum. 3. x [, b] : f(x) f(x) dx. 4. Es gelte die Abschätzuge (b ) if {f(x)} x [,b] b f(x)dx g(x) dx. f(x)dx (b ) sup {f(x)}, x [,b] f(x) dx (b ) sup { f(x) }. x [,b] 4

5 5. Cuchy-Schwrzsche Ugleichug. Die Fuktioe f ud g seie R-itegrierbr uf [, b]. D ist ( f(x)g(x) dx ) 1/2 ( 1/2 f 2 (x) dx g 2 (x) dx). (4) 6. Mikowskische Ugleichug. Für die R-itegrierbre Fuktioe f ud g uf [, b] gilt ( 1/2 ( 1/2 ( 1/2 f(x) + g(x) dx) 2 f 2 (x) dx) + g 2 (x) dx). (5) Beweis: (Nur Behuptuge 1 4.) Die Aussge folge umittelbr us der Defiitio des Riemitegrls. Zu 4. Für die Zerlegug Z = {, b} gilt s(z) = if {f(x)} (b ) S(Z) = sup {f(x)} (b ). x [,b] x [,b] Nu beutzt m (2), womit die erste Ugleichug gezeigt ist. D ±f(x) f(x) für lle x [, b] gilt, folgt b f(x)dx f(x) dx S( f, Z), Z = {, b} = sup { f(x) }(b ). x [,b] Itegrierbrkeit eier beschräkte Fuktio f : [, b] R zum Wert J bedeutet, dss m Drbouxsche Uter- ud Obersumme fide k, dere Werte beliebig he bei J liege. Um dies zu utersuche, wird m die Differez O(f; Z) := S(f; Z) s(f; Z) = (M k m k )(x k+1 x k ) (6) betrchte müsse. Hierbei ist wieder Z = {x, x 1,, x }. Die Größe ω k := M k m k ist ichts deres ls die Schwkug vo f im Itervll [ k, b k ]. M et deshlb O(Z) = 1 ω k (x k+1 x k ) uch Oszilltios- oder Schwkugssumme. Dmit ergibt sich Stz 6 (Itegrtioskriterium vo Riem) Eie uf [, b] erklärte ud beschräkte Fuktio f ist geu d über [, b] itegrierbr, we zu jedem ε > eie Zerlegug Z mit existiert. O(Z) = S(Z) s(z) < ε Beweis: Die eifche Idee des Beweises fußt uf der Ttsche, dss für jede Zerlegug Z die Ugleichug s(z) J J S(Z) besteht. We es eie Zerlegug Z mit S(Z) s(z) < ε gibt, d ist J J < ε ud drus folgt J = J. We umgekehrt J = J = J ist, d gilt für eie beliebige Zerlegugsullfolge 5

6 O(Z ) (siehe (3)), d. h. es ist O(Z ) < ε für hireiched großes. Um im Eizelfll de lgtmige Nchweis der Itegrierbrkeit zu umgehe, ist es wüscheswert, dfür eifche hireichede Kriterie zur Hd zu hbe. I diese Richtug zielt der folgede Stz 7 Sei f : [, b] R eie beschräkte Fuktio. D gilt: (i) f mooto uf [, b] f R[, b]. (ii) f stetig uf [, b] f R[, b]. Beweis: Zu (i). Es sei f o. B. d. A. eie mooto wchsede Fuktio ud Z eie äquidistte Uterteilug vo [, b] mit x i := + i (b ), i =,...,. Wir wede Stz 6. Zuächst ist M k = f(x k+1 ), m k = f(x k ). Drus folgt S(Z) s(z) = 1 [f(x k+1 ) f(x k )](x k+1 x k ) = = b 1 [f(x k+1 ) f(x k )] = b (f(b) f(). Dies zeigt: f ist Riem-itegrierbr. Zu (ii). D f uf dem kompkte Itervll [, b] stetig ist, ist f ch Stz?? dort uch gleichmäßig stetig. Zu eiem ε > gibt es somit ei δ >, sodss f(x) f(x ) < ε für lle x, x [, b] mit x x < δ. Für eie beliebige Zerlegug Z = { = x, x 1,..., x = b} mit Z < δ ist d ω k = M k m k ε ud O(Z) = ω k (x k+1 x k ) ε (x k+1 x k ) = ε(b ). Nch Stz 6 ist f itegrierbr. Bemerkug 8 Die Aussge des Stzes 7 (ii) gilt uch d och, flls die Fuktio f i [, b] beschräkt ud bis uf edlich viele Stelle stetig ist. Diese Aussge beruht uf der Ttsche, dss m die edlich viele Ustetigkeitsstelle i edlich viele Teilitervlle I k mit eier Gesmtläge I k < ε eischließe k. Auf dem Rest des Itervlles ist f gleichmäßig stetig ud m k wieder wie uter (ii) schließe. I diesem Zusmmehg k m frge, wie viele Ustetigkeitsstelle eie Fuktio f besitze drf, dmit sie och Riem-itegrierbr ist. Die etscheidede Klärug wird us der Begriff Nullmege brige. Defiitio 9 (Nullmege) Eie Mege M R heißt Nullmege oder Mege vom Mß Null, we es zu jedem ε > höchstes bzählbr viele bgeschlossee (oder uch offee) Itervlle I 1, I 2,... gibt, die M überdecke ud dere Gesmtläge I k < ε ist. 6 k=1

7 Beispiel 1 Die Mege der rtiole Zhle i R ist eie Nullmege. Dzu sei {r i r i rtiol, i = 1, 2,...} die Mege der rtiole Zhle ud I i := (r i ε/2 i+1, r i + ε/2 i+1 ), i = 1, 2,... offee Itervlle, die die r i ethlte. Dmit ist i=1 I i eie Überdeckug der rtiole Zhle ud dere Gesmtläge ist I i = i=1 i=1 ε 2 i = ε. Es sei usdrücklich bemerkt, dss es sehr wohl überbzählbre Nullmege gibt. Desweitere wolle wir sge, dss eie Fuktio f fst überll uf [, b] stetig ist, flls die Pukte vo [, b], i dee f ustetig ist, ur eie Nullmege bilde. Ohe Beweis gebe wir : Stz 11 (Lebesguesches Itegrbilitätskriterium) Die Fuktio f ist geu d uf [, b] Riem-itegrierbr, we sie dort beschräkt ud fst überll stetig ist. I dem folgede Stz wolle wir ebeflls ohe vollstädige Beweis festhlte, dss uch Produkte, Quotiete ud Beträge itegrierbrer Fuktioe wieder itegrierbr sid. Stz 12 Es seie f, g R[, b]. D gelte die Aussge: (i) f g R[, b]. (ii) Für lle x [, b] sei g(x) C >. D folgt f/g R[, b]. (iii) Mit f R[, b] sid uch die Fuktioe f R[, b], f + R[, b] ud f R[, b], wobei f + (x) := { f(x), flls f(x), sost, {, flls f(x) f (x) := f(x), sost sid. Wir mche druf ufmerksm, dss i (iii) die Aussge f R[, b] f R[, b] icht umkehrbr ist, wie folgedes Beispiel zeigt. Es sei f(x) = 1, flls x rtiol uf [, 1] ud f(x) = 1, flls x irrtiol uf [, 1]. D ist f(x) = 1 für lle x [, 1] ud somit R-itegrierbr, die Fuktio f jedoch icht (Beispiel 4, 4., Dirichlet-Fuktio). Im Stz 5 4. hbe wir u.. die Abschätzug (b ) if x [,b] {f(x)} f(x)dx (b ) sup {f(x)} x [,b] bewiese. Eie och geuere Itegrlbschätzug erhlte wir durch Betrchtug vo Mittelwerte. Druter versteht m die Zhl µ µ(f) := 1 b f(x) dx (Itegrlmittelwert vo f uf I). 7

8 Stz 13 (Mittelwertstz der Itegrlrechug) Der Mittelwert eier Fuktio f R[, b] geügt de Ugleichuge {f(x)} µ(f) sup {f(x)}. Ist isbesodere f if x [,b] x [,b] uf [, b] stetig, so gibt es ei ξ [, b] mit µ = f(ξ), d. h. es ist f(x)dx = (b ) f(ξ). Im geometrische Bild (siehe Abb. 2) wird die Bedeutug vo µ ls gemittelter Fuktioswert sichtbr: µ ist die Höhe eies mit der Orditemege flächegleiche Rechtecks. µ f b x Abbildug 2: Itegrlmittelwert ls Höhe eies flächegleiche Rechtecks Beispielsweise ist der Mittelwert vo f(x) = x p, p, im Itervll [, 1] gleich 1 1+p, der Mittelwert vo f(x) := si x i [, π] gleich 2/π. Der Beweis des Stzes 13 ergibt sich us folgedem llgemeiere Kotext. Stz 14 (Erweiterter Mittelwertstz) Es seie f, g R[, b] ud für f gelte m f(x) M uf [, b]. (i) Für g(x) uf [, b] folgt m g(x)dx f(x)g(x)dx M (ii) Ist f überdies stetig uf [, b] d gibt es ei ξ [, b] mit f(x)g(x)dx = f(ξ) g(x)dx. (7) g(x)dx. (8) Beweis: Zu (i). Diese Aussge ergibt sich sofort us der Itegrtio der Ugleichuge m g(x) f(x) g(x) M g(x). Zu (ii). D f stetig uf [, b], gibt es ch dem Stz vo Weierstrß Pukte x, x 1 [, b] mit m mi := f(x ) ud M mx := f(x 1 ) (jeweils bsolutes Miimum bzw. Mximum vo f). Somit gilt m mi g(x) dx f(x)g(x) dx M mx g(x) dx. Nch dem Zwischewertstz existiert u ei ξ [, b], mit dem die Beziehug (8) erfüllt ist. 8

9 Mit g(x) 1 folgt u us Stz 14 sofort die Aussge des Stzes 13. Der ächste Stz gibt Atwort uf die grudlegede Frge: Uter welche Bediguge drf m Limes ud Itegrl vertusche? Gleich bedeuted dmit ist: W ist die gliedweise Itegrtio eier uedliche Reihe gestttet? Stz 15 (Gliedweise Itegrtio) Es sei (f ) N R[, b] eie gegebee Fuktioefolge, ud es gelte lim f (x) = f(x) gleichmäßig uf [, b]. D ist f R[, b] ud f(x) dx = ( lim f (x)) dx = lim f (x) dx. Mit diesem Resultt folger wir, d edliche Summe ch Stz 5, 2. gliedweise itegriert werde dürfe, ei Resultt für uedliche Reihe. Korollr 16 Es sei (f ) R[, b] ud f(x) := f (x) gleichmäßig koverget uf [, b]. D ist f R[, b] ud ( b ) f(x) dx f (x) dx = f (x) dx. Wir formuliere dieses Ergebis speziell für Potezreihe. Wir setzte f (x) := x, N, ud erhlte ds Resultt: x dx = x dx (9) M..W.: Potezreihe lsse sich gliedweise (ierhlb ihres Kovergezkreises) itegriere. Wir wolle u hd vo usgewählte Beispiele die vielseitige Awedbrkeit des Korollrs 16 demostriere. I Verbidug mit Potezreihe ud Beispiel 4, 3. ergebe sich eie Vielzhl überrscheder Ergebisse. Beispiel Potezreihe. Es sei S(x) = x eie Potezreihe mit Kovergezrdius r >. Ist die Reihe für x = ud x = b koverget, so ist sie i [, b] gleichmäßig koverget (uch we = r ud/oder b = +r sid). Durch gliedweise Itegrtio erhlte wir S(x) dx = x dx = + 1 (b+1 +1 ). 2. Mittels Potezreihedrstellug der Expoetilfuktio ergibt e x dx = x! dx = b ( + 1)! = (e b 1) (e 1) = e b e. 9

10 3. Logrithmische Reihe. Wir ehme folgedes Resultt vorweg: dx 1 + x = l(1 + ). Adererseits k die Reihe (siehe Korollr 16) x = ( 1) x, x < 1 ierhlb ihres Kovergezrdius gliedweise itegriert werde. Es ergibt sich dx 1 + x = ( 1) x dx = Dmit hbe wir eie eue Beweis für die Reihe l(1 + x) = x x2 2 + x3 3 ±..., x < 1. ( 1) , < Weitere Reiheetwickluge lsse sich durch gliedweise Itegrtio gewie. Als Beispiel betrchte wir ei mit Hilfe der geometrische Reihe uswertbres Itegrl x dt 1 + t = x ( 1) t 2 dt = 2 ( 1) x , x < 1. We m och weiß (wir werde dies später zeige), dss x dt = rct x, x R, 1 + t2 ist, so ht m dmit die Arcustges-Reihe rct x = ( 1) x2+1, x < 1, bgeleitet. I ählicher Weise läßt sich uch die Arcussius-Reihe gewie. 1