Primzahlen von Euklid bis heute
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- Alke Tiedeman
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1 Mathematisches Institut Universität zu Köln 5. November 2004
2 Pythagoras von Samos (ca v. Chr.)
3 Euklid von Alexandria (ca v. Chr.)
4 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung
5 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Teilbarkeit Natürliche Zahlen: N = {1, 2, 3,... }. Ganze Zahlen: Z = {0, ±1, ±2, ±3,... }.
6 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Teilbarkeit Natürliche Zahlen: N = {1, 2, 3,... }. Ganze Zahlen: Z = {0, ±1, ±2, ±3,... }. Definition Eine natürliche Zahl a N teilt b Z, falls es ein c Z gibt mit ac = b. Mann sagt dann a ist ein Teiler von b und schreibt a b.
7 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Teilbarkeit Natürliche Zahlen: N = {1, 2, 3,... }. Ganze Zahlen: Z = {0, ±1, ±2, ±3,... }. Definition Eine natürliche Zahl a N teilt b Z, falls es ein c Z gibt mit ac = b. Mann sagt dann a ist ein Teiler von b und schreibt a b. Beispiel 3 teilt 15, denn 3 5 = 15.
8 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Grundlegende Eigenschaften 1. 1 b und b b für alle b N.
9 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Grundlegende Eigenschaften 1. 1 b und b b für alle b N. 2. a b = 1 a b. 3. a 1 = a = 1.
10 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Grundlegende Eigenschaften 1. 1 b und b b für alle b N. 2. a b = 1 a b. 3. a 1 = a = a b und a b = a (b ± b ). 5. a b und b c = a c.
11 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Grundlegende Eigenschaften 1. 1 b und b b für alle b N. 2. a b = 1 a b. 3. a 1 = a = a b und a b = a (b ± b ). 5. a b und b c = a c. Folgerung (aus 1.) Jede natürliche Zahl n > 1 besitzt mindestens 2 Teiler.
12 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Definition Eine natürliche Zahl n > 1 heißt Primzahl, falls n genau 2 Teiler besitzt.
13 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Definition Eine natürliche Zahl n > 1 heißt Primzahl, falls n genau 2 Teiler besitzt. Beispiel Die ersten sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,....
14 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Mehr
15 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Der Satz von Euklid Frage Gibt es unendlich viele?
16 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Der Satz von Euklid Frage Gibt es unendlich viele? Lemma Sei n > 1 eine natürliche Zahl und t(n) = min{a N; a > 1 und a n} der kleinste nichttriviale Teiler von n. Dann ist t(n) eine Primzahl.
17 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Der Satz von Euklid Frage Gibt es unendlich viele? Lemma Sei n > 1 eine natürliche Zahl und t(n) = min{a N; a > 1 und a n} der kleinste nichttriviale Teiler von n. Dann ist t(n) eine Primzahl. Folgerung Jede natürliche Zahl n > 1 ist durch eine Primzahl teilbar.
18 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Der Satz von Euklid II Satz (Euklid, ca. 300 v. Chr.) Es gibt unendlich viele.
19 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Der Satz von Euklid II Satz (Euklid, ca. 300 v. Chr.) Es gibt unendlich viele. Beweis. Angenommen es gibt nur endlich viele.
20 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Der Satz von Euklid II Satz (Euklid, ca. 300 v. Chr.) Es gibt unendlich viele. Beweis. Angenommen es gibt nur endlich viele. Sei N ihr Produkt. Es gilt N + 1 > 1.
21 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Der Satz von Euklid II Satz (Euklid, ca. 300 v. Chr.) Es gibt unendlich viele. Beweis. Angenommen es gibt nur endlich viele. Sei N ihr Produkt. Es gilt N + 1 > 1. Sei p eine Primzahl, die N + 1 teilt, z.b. p = t(n + 1).
22 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Der Satz von Euklid II Satz (Euklid, ca. 300 v. Chr.) Es gibt unendlich viele. Beweis. Angenommen es gibt nur endlich viele. Sei N ihr Produkt. Es gilt N + 1 > 1. Sei p eine Primzahl, die N + 1 teilt, z.b. p = t(n + 1). Weil p auch N teilt, folgt p 1, also ein Widerspruch.
23 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Warum interessiert man sich für? sind die Atome der natürlichen Zahlen.
24 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Warum interessiert man sich für? sind die Atome der natürlichen Zahlen. Satz (Euklid) Jede natürliche Zahl n > 1 kann in eindeutiger Weise als Produkt von geschrieben werden.
25 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Warum interessiert man sich für? sind die Atome der natürlichen Zahlen. n Zerlegung n Zerlegung n Zerlegung
26 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Warum interessiert man sich für? sind die Atome der natürlichen Zahlen. Lösung von Polynom-Gleichungen mit Koeffizienten in Z.
27 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Warum interessiert man sich für? sind die Atome der natürlichen Zahlen. Lösung von Polynom-Gleichungen mit Koeffizienten in Z. Beispiel: Elliptische Kurve E : y 2 = x 3 + ax + b. Betrachte E(F p ), die Reduktion modulo p. Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung sagt tiefliegende Zusammenhänge voraus mit E(Q).
28 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Warum interessiert man sich für? sind die Atome der natürlichen Zahlen. Lösung von Polynom-Gleichungen mit Koeffizienten in Z. Anwendungen in der Kryptographie.
29 Teilbarkeit Satz von Euklid Bedeutung von Warum interessiert man sich für? sind die Atome der natürlichen Zahlen. Lösung von Polynom-Gleichungen mit Koeffizienten in Z. Anwendungen in der Kryptographie. Multiplikation zweier ist einfach. Faktorisierung von ganzen Zahlen ist hart.
30 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Die Primzahlanzahlfunktion π(x) Frage Wie sind die in den natürlichen Zahlen verteilt?
31 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Die Primzahlanzahlfunktion π(x) Frage Wie sind die in den natürlichen Zahlen verteilt? Betrachte dazu die Primzahlanzahlfunktion π(x) = #{p N prim; p x}.
32 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Die Primzahlanzahlfunktion π(x) Frage Wie sind die in den natürlichen Zahlen verteilt? Betrachte dazu die Primzahlanzahlfunktion π(x) = #{p N prim; p x}. Tabelle: x π(x)
33 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Der Graph von π(x) x pi(x)
34 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Der Graph von π(x) x pi(x)
35 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Der Graph von π(x) x pi(x)
36 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Approximation von π(x) Frage Läßt sich π(x) durch eine einfache Funktion approximieren?
37 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Approximation von π(x) Frage Läßt sich π(x) durch eine einfache Funktion approximieren? Definition Zwei Funktionen f (x), g(x) heißen asymptotisch gleich, falls Schreibe f (x) g(x), x. f (x) lim x g(x) = 1.
38 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Approximation von π(x) Frage Läßt sich π(x) durch eine einfache Funktion approximieren? Definition Zwei Funktionen f (x), g(x) heißen asymptotisch gleich, falls Schreibe f (x) g(x), x. Beispiel x x + 1, x x + x. f (x) lim x g(x) = 1.
39 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Die Vermutung von Gauss und Legendre Vermutung (Gauss 1792, Legendre 1798) π(x) x log(x), x.
40 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Die Vermutung von Gauss und Legendre Vermutung (Gauss 1792, Legendre 1798) π(x) Gauss erkannte bereits, daß x log(x), x. π(x) Li(x), x, eine bessere Approximation sein sollte. Dabei ist Li(x) = x 2 dt log(t) der Integrallogarithmus.
41 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Die Vermutung von Gauss und Legendre Vermutung (Gauss 1792, Legendre 1798) π(x) Gauss erkannte bereits, daß x log(x), x. π(x) Li(x), x, eine bessere Approximation sein sollte. Dabei ist Li(x) = x der Integrallogarithmus. Beachte Li(x) dt log(t) 2 x log(x).
42 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Güte der Approximation x π(x) [Li(x)] [Li(x)]/π(x)
43 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Approximationen von π(x) 180 Approximationen von pi(x) x pi(x) x/log(x) Li(x)
44 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Approximationen von π(x) Approximationen von pi(x) x pi(x) x/log(x) Li(x)
45 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Der Primzahlsatz Tschebyscheff (1850): Für große x gilt x x < π(x) < log(x) log(x).
46 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Der Primzahlsatz Tschebyscheff (1850): Für große x gilt x x < π(x) < log(x) log(x). Hadamard und de la Vallée-Poussin (1896) bewiesen den Primzahlsatz: π(x) x log(x), x.
47 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Der Primzahlsatz Tschebyscheff (1850): Für große x gilt x x < π(x) < log(x) log(x). Hadamard und de la Vallée-Poussin (1896) bewiesen den Primzahlsatz: π(x) x log(x), x. Folgerungen Ungefähr 1 log(x) aller natürlichen Zahlen x sind prim.
48 Die Primzahlanzahlfunktion Der Primzahlsatz Der Primzahlsatz Tschebyscheff (1850): Für große x gilt x x < π(x) < log(x) log(x). Hadamard und de la Vallée-Poussin (1896) bewiesen den Primzahlsatz: π(x) x log(x), x. Folgerungen Ungefähr 1 log(x) aller natürlichen Zahlen x sind prim. Die k-te Primzahl hat ungefähr die Größe k log(k).
49 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Bernhard Riemann ( )
50 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Beweis des Primzahlsatzes benutzt die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) = n=1 1 n s (s C, Re(s) > 1).
51 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Beweis des Primzahlsatzes benutzt die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) = n=1 Hat Fortsetzung auf ganz C. 1 n s (s C, Re(s) > 1).
52 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Beweis des Primzahlsatzes benutzt die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) = n=1 Hat Fortsetzung auf ganz C. 1 n s (s C, Re(s) > 1). Pol bei s = 1 ( es gibt unendlich viele ).
53 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Beweis des Primzahlsatzes benutzt die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) = n=1 Hat Fortsetzung auf ganz C. 1 n s (s C, Re(s) > 1). Pol bei s = 1 ( es gibt unendlich viele ). Eulerproduktdarstellung ζ(s) 0 für Re(s) > 1.
54 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Zetafunktion Der Beweis des Primzahlsatzes benutzt die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) = n=1 Hat Fortsetzung auf ganz C. 1 n s (s C, Re(s) > 1). Pol bei s = 1 ( es gibt unendlich viele ). Eulerproduktdarstellung ζ(s) 0 für Re(s) > 1. Primzahlsatz ζ(s) 0 für Re(s) = 1.
55 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) = n=1 1 n s Im(s) Re(s)
56 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Güte der Approximation von π(x) Frage Was ist der Fehler der Approximation π(x) Li(x)? Tabelle
57 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Güte der Approximation von π(x) Frage Was ist der Fehler der Approximation π(x) Li(x)? Tabelle Vermutung (FV) π(x) = Li(x) + O( x log x), x.
58 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Güte der Approximation von π(x) Frage Was ist der Fehler der Approximation π(x) Li(x)? Tabelle Vermutung (FV) π(x) = Li(x) + O( x log x), x. Satz (Koch 1901) Die Vermutung (FV) ist äquivalent zur Riemannschen Vermutung.
59 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Vermutung (Riemann 1859) Für alle s C mit Re(s) > 1/2 ist ζ(s) 0.
60 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Vermutung (Riemann 1859) Für alle s C mit Re(s) > 1/2 ist ζ(s) 0. Genauer gilt sogar: Satz Für α 1/2 sind äquivalent: (i) π(x) = Li(x) + O(x α log x). (ii) ζ(s) 0 für alle s C mit Re(s) > α.
61 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Vermutung (Riemann 1859) Für alle s C mit Re(s) > 1/2 ist ζ(s) 0. Genauer gilt sogar: Satz Für α 1/2 sind äquivalent: (i) π(x) = Li(x) + O(x α log x). (ii) ζ(s) 0 für alle s C mit Re(s) > α. Diese Aussage ist gegenwärtig für kein α < 1 bekannt!
62 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Vermutung (Riemann 1859) Für alle s C mit Re(s) > 1/2 ist ζ(s) 0. Genauer gilt sogar: Satz Für α 1/2 sind äquivalent: (i) π(x) = Li(x) + O(x α log x). (ii) ζ(s) 0 für alle s C mit Re(s) > α. Diese Aussage ist gegenwärtig für kein α < 1 bekannt! Man weiß immerhin, daß π(x) = Li(x) + O(x/ log 2 x).
63 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Vermutung (Riemann 1859) Für alle s C mit Re(s) > 1/2 ist ζ(s) 0. Genauer gilt sogar: Satz Für α 1/2 sind äquivalent: (i) π(x) = Li(x) + O(x α log x). (ii) ζ(s) 0 für alle s C mit Re(s) > α. Diese Aussage ist gegenwärtig für kein α < 1 bekannt! Man weiß immerhin, daß π(x) = Li(x) + O(x/ log 2 x). Auf Re(s) = 1/2 liegen unendlich viele Nullstellen von ζ(s) (Hardy, 1914).
64 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung FAQ s Frage Warum sollte die Riemannsche Vermutung stimmen?
65 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung FAQ s Frage Warum sollte die Riemannsche Vermutung stimmen? Die ersten Nullstellen von ζ(s) liegen auf Re(s) = 1/2 (Gourdon-Demichel, 2004).
66 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung FAQ s Frage Warum sollte die Riemannsche Vermutung stimmen? Die ersten Nullstellen von ζ(s) liegen auf Re(s) = 1/2 (Gourdon-Demichel, 2004). Frage Ist die Riemannsche Vermutung ein schwieriges Problem?
67 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung FAQ s Frage Warum sollte die Riemannsche Vermutung stimmen? Die ersten Nullstellen von ζ(s) liegen auf Re(s) = 1/2 (Gourdon-Demichel, 2004). Frage Ist die Riemannsche Vermutung ein schwieriges Problem? Ja!
68 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung FAQ s Frage Warum sollte die Riemannsche Vermutung stimmen? Die ersten Nullstellen von ζ(s) liegen auf Re(s) = 1/2 (Gourdon-Demichel, 2004). Frage Ist die Riemannsche Vermutung ein schwieriges Problem? Ja! Sie gehört zu den Millionen-Dollar-Problemen des Clay Mathematics Institute.
69 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung FAQ s Frage Warum sollte die Riemannsche Vermutung stimmen? Die ersten Nullstellen von ζ(s) liegen auf Re(s) = 1/2 (Gourdon-Demichel, 2004). Frage Ist die Riemannsche Vermutung ein schwieriges Problem? Ja! Sie gehört zu den Millionen-Dollar-Problemen des Clay Mathematics Institute. Dennoch läßt sie sich vollkommen elementar formulieren.
70 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Teilersummenvermutung Für n N sei σ(n) = d n d die Summe der Teiler von n, h(n) = n k=1 1 k die n-te harmonische Zahl.
71 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Teilersummenvermutung Für n N sei σ(n) = d n d die Summe der Teiler von n, h(n) = n k=1 1 k die n-te harmonische Zahl. Satz (Lagarias, 2000) RV ist äquivalent zur folgenden Teilersummenvermutung.
72 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Teilersummenvermutung Für n N sei σ(n) = d n d die Summe der Teiler von n, h(n) = n k=1 1 k die n-te harmonische Zahl. Satz (Lagarias, 2000) RV ist äquivalent zur folgenden Teilersummenvermutung. Vermutung (Lagarias, 2000) σ(n) h(n) + exp(h(n)) log(h(n)), für alle n N.
73 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Die Teilersummenvermutung für kleine n n σ(n) h(n) + e h(n) log(h(n))
74 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Graphische Darstellung der Ungleichung n
75 Die Riemannsche Zetafunktion Der Fehlerterm Die Teilersummenvermutung Graphische Darstellung der Ungleichung n
76 Mersenne- Zusammenfassung Mersenne- Frage Was ist die größte bekannte Primzahl?
77 Mersenne- Zusammenfassung Mersenne- Frage Was ist die größte bekannte Primzahl? Die Mersenne-Primzahl
78 Mersenne- Zusammenfassung Mersenne- Frage Was ist die größte bekannte Primzahl? Die Mersenne-Primzahl Entdeckt am durch GIMPS ( Sie hat Dezimalstellen.
79 Mersenne- Zusammenfassung Mersenne- Frage Was ist die größte bekannte Primzahl? Die Mersenne-Primzahl Entdeckt am durch GIMPS ( Sie hat Dezimalstellen. Marin Mersenne ( ) studierte der Form 2 n 1. 2 n 1 prim = n prim.
80 Mersenne- Zusammenfassung Mersenne- Frage Was ist die größte bekannte Primzahl? Die Mersenne-Primzahl Entdeckt am durch GIMPS ( Sie hat Dezimalstellen. Marin Mersenne ( ) studierte der Form 2 n 1. 2 n 1 prim = n prim. Beispiel: 3, 7, 31, 127.
81 Mersenne- Zusammenfassung Mersenne- Frage Was ist die größte bekannte Primzahl? Die Mersenne-Primzahl Entdeckt am durch GIMPS ( Sie hat Dezimalstellen. Marin Mersenne ( ) studierte der Form 2 n 1. 2 n 1 prim = n prim. Beispiel: 3, 7, 31, 127. Frage Gibt es unendlich viele Mersenne-?
82 Mersenne- Zusammenfassung Zusammenfassung werden seit den alten Griechen intensiv studiert.
83 Mersenne- Zusammenfassung Zusammenfassung werden seit den alten Griechen intensiv studiert. Sie sind die Atome der natürlichen Zahlen.
84 Mersenne- Zusammenfassung Zusammenfassung werden seit den alten Griechen intensiv studiert. Sie sind die Atome der natürlichen Zahlen. Informationen zur sind in der Riemannschen Zetafunktion codiert.
85 Mersenne- Zusammenfassung Zusammenfassung werden seit den alten Griechen intensiv studiert. Sie sind die Atome der natürlichen Zahlen. Informationen zur sind in der Riemannschen Zetafunktion codiert. Ihr Studium führt zu fundamentalen offenen Fragen der Zahlentheorie.
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