Bernhard Riemann

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1 Bernhard Riemann Wendepunkte in der Auffassung der Mathematik Detlef Laugwitz 1996 B irkhäuser Verlag Basel Boston Berlin

2 Inhaltsverzeichnis Hinweise für den Leser 9 Vorwort 11 0 Einleitung BERNHARD RIEMANN in seiner Zeit Zum Verlauf des Lebens und zur Entwicklung der Persönlichkeit Zur politischen und wirtschaftlichen Situation Erziehung und Bildung Zu RIEMANNS Heimat Göttingen und Berlin als Studienorte Professor Ordinarius Die Goldenen Fünfziger Jahre in Göttingen: von GAUSS und DIRICHLET zu RIEMANN und DEDEKIND RIEMANN und DEDEKIND: Persönliche Umstände Hin zum Wandel in der Mathematik Momentaufnahmen eines englischen Beobachters Wirkungen in den letzten Jahren: RIEMANN zwischen Deutschland und Italien Konkurrierende Auffassungen der Analyis vor RIEMANN RIEMANN in der historischen Entwicklung der Analysis: Ein Überblick Algebraische Analysis Die Infinitesimalanalysis Geometrische Überlegungen: FOURIER Die Grenzwertauffassung: NEWTON Hin zur Epsilontik: CAUCHY und DIRICHLET 68 1 Komplexe Analysis Die Genese der komplexen Analysis bis zur Zeit RIEMANNS Vorbemerkungen Die komplexen Zahlen Komplexe Funktionen und ihre Ableitungen Integration 84

3 6 BERNHARD RIEMANN Potenzreihen Weitere Anwendungen Mehrwertige Funktionen und RiEMANNsche Flächen Doppeltperiodische Funktionen Die Dissertation von RIEMANNS Sicht von den Motiven für die Arbeit: Der Artikel 20 der Dissertation, Teil Der Inhalt der Dissertation, eine Kurzfassung RIEMANNS Zusammenfassung der Dissertation und das Programm: Artikel 20, zweiter Teil und Artikel Zur Vorgeschichte der Dissertation Die Wirkung der Dissertation Die Ausgestaltungen Gewöhnliche Differentialgleichungen Die Entstehung der Topologie aus der Analysis Das AßELsche Theorem Die algebraischen Kurven Minimalflächen Studenten bei RIEMANN und ihre Notizen zur Funktionentheorie Spätere Einschätzungen DEDEKIND und die Algebraisierung der Funktionentheorie Die Zetafunktion und die Primzahlverteilung Vorbemerkungen Ein Zugang Die Funktionalgleichung RIEMANNS explizite Formel für die Primzahlfunktion Die Nullstellen und die RiEMANNsche Vermutung DerNachlass Die Einschätzungen Reelle Analysis Grundlagen der reellen Analysis Der Integralbegriff Die «Strenge» in der Analysis Der neue Status der Einzelfälle: Beispiele und Gegenbeispiele Trigonometrische Reihen vor RIEMANN Vorbemerkungen Von EULER bis FOURIER Zur Entwicklung der Funktionsauffassungen Von FOURIER zu DIRICHLET 200

4 Inhaltsverzeichnis RIEMANNS Ergebnisse Anwendung des Integralbegriffs auf die FouRiER-Koeffizienten RIEMANNS assoziierte Funktion F(x) Trigonometrische Reihen nach RIEMANN Von den trigonometrischen Reihen zur Mengenlehre Zur weiteren Entwicklung der trigonometrischen Reihen: über die Arithmetisierung der Funktionen hin zu ihrer Verselbständigung in der Funktionalanalysis Ein Kapitel für sich: GAUSS, RIEMANN und die Göttinger Atmosphäre Geometrie, Physik, Philosophie Geometrie Von EUKLID ZU DESCARTES und zur «nichteuklidischen» Geometrie Die Flächentheorie von GAUSS (1827) Die «-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit Die Massbestimmungen Die Krümmung Wirkungen in Geometrie und Physik in den ersten 50 Jahren nach RIEMANN Die algorithmischen Entwicklungen Der Einfluss von FELIX KLEIN DEDEKIND: Analytische Untersuchungen zu BERNHARD RIEMANNS Abhandlung über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen Physik Das Interesse an der Physik Physik als Feldtheorie Mathematische Methoden für die Physik RIEMANNS Elektrodynamik aus der Sicht der Physiker Die RiEMANNsche Geometrie in der Physik des 20. Jahrhunderts: EINSTEIN und WEYL Zur Philosophie Vorbemerkungen Zur geistigen Atmosphäre 1853/54: Der Materialismusstreit Neue mathematische Prinzipien der Naturphilosophie Die Rolle der Philosophie HERBARTS Wendepunkte in der Auffassung der Mathematik Die Suche der Historiker nach Revolutionen in der Mathematik 285

5 8 BERNHARD RIEMANN 4.2 Der Wendepunkt in der Auffassung des Unendlichen in der Mathematik Wendepunkt der Methode: Denken statt Rechnen Der Wendepunkt in der Ontologie: Mathematik als Denken in Begriffen Allgemeine Begriffe und ihre Bestimmungsweisen Der Primat des Kontinuums gegenüber dem Diskretum in RIEMANNS Mathematik RIEMANNS Mannigfaltigkeitsbegriff in der philosophischen Tradition Denken in mathematischen Begriffen vor RIEMANN Ontologie und Methodologie der Mathematik in der Zeit nach RIEMANN Der Primat der Zahl bei DEDEKIND Von der Arithmetisierung zur Axiomatisierung: HILBERT 1897/ Die Rolle GEORG CANTORS Die Berliner Tradition Schlussbemerkungen 317 Literaturverzeichnis 329 Namenverzeichnis 335 Abbildungsverzeichnis 345