Primzahlen und die Riemannsche Zetafunktion

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1 Gerhard Strey Primzahle ud die Riemasche Zetafutio Ausarbeitug mit Mathcad 000 Peter Grobstich i Freudschaft Neubradeburg

2 Die Riemasche Zetafutio (0) Verwedete Literatur Berhard Riema "Ueber die Azahl der Primzahle uter eier gegebee Grösse." [Moatsberichte der Berlier Aademie, November 859] Prelimiary Versio: December 998 by D. R. Wilis Grudlage der Ausarbeitug. Moographie ud Lehrbücher Edmud Ladau "Hadbuch der Lehre vo der Verteilug der Primzahle." Bäde 909 Third (corrected) editio, two volumes i oe (with a appedi) 974 New Yor Umfassede Darstellug der aalytische Primzahltheorie bis 909 mit eier historische Übersicht über die Etwiclug des Primzahlproblems. Karl Prachar "Primzahlverteilug" Spriger-Verlag, Berli-Göttige-Heidelberg 957 Umfassede Moographie. "Gelbe Reihe" Bad XCI Erst Trost "Primzahle" Birhäuser-Verlag, Basel-Stuttgart Zweite Auflage 968 Reihe "Elemete der Mathemati vom höhere Stadput aus." Bietet viel auf 00 Seite. H. M. Edwards "Riema's Zeta Fuctio" Academic Press 974 [Dover editio 00] Diese Moographie ist die wichtigste Quelle für das Thema! Peter Budschuh "Eiführug i die Zahletheorie" Spriger-Lehrbuch Berli-Heidelberg. Auflage 99 Eberhard Freitag, Rolf Busam "Futioetheorie" Spriger-Lehrbuch Berli-Heidelberg 993 Darstelluge zur mathematische Ideegeschichte, zu Lösuge ud Probleme Die Auswahl bietet für mathematisch Iteressierte auf verstädlichem Niveau fasziierede Eiblice i die (Prim-) Zahletheorie ud Riemas Idee. Do Zagier "Die erste 50 Millioe Primzahle" 98 I "Mathematische Miiature : Lebedige Zahle" Birhäuser-Verlag Basel Paulo Ribeboim "Die Welt der Primzahle. Geheimisse ud Reorde" Spriger- Verlag Berli-H. 006 Julia Havil "Gamma. Eulers Kostate, Primzahlsträde ud die Riemasche Vermutug" Spriger-Verlag Berli-Heidelberg 007 Peter Grobstich "Die Nullstelle der Zeta-Futio ud die Verteilug der Primzahle" Computer-Algebra-Symposium Kostaz 007 (Mit Mathcad ) Nullstellesuchprogramm Sebastia Wedeiwsi "Results coected with the first 00 billio zeros of the Riema zeta fuctio" 00 Riema0.mcd Strey,

3 Die Riemasche Zetafutio () Die Zetafutio ζ( s) mit s σ it ist i Mathcad über de Symbolprozessor aufrufbar: Zeta( s) Beispiele: Zeta( ) 0 Zeta 6 π Zeta( i) gleit, i. Defiitio Beispiele: ζ 0 ( s) : für reelle s > s ζ 0 ( 3) Zeta( 3) gleit, 4.0 ζ 0 6 π ζ( s) ist die aalytische Fortsetzug vo ζ 0 ( s) ud auf der gesamte omplee Ebee holomorph mit Ausahme des eifache Pols s.. Weitere Darstelluge a) ζ( s) N N s lim für reelle s, 0 < s < N s s b) ζ( s) für < σ s c) ζ( s) s z floor( z) s dz für 0 < σ, s s z s d) ζ( s) m B Γ ( s ) R m für m s ( )! Γ ( s) < σ, s (Euler-MacLauri) e) ζ( s) N s N s s N s m B Γ ( s ) N s R m ( )! Γ ( s) für m < σ, s (Edwards) Beroulli-Zahle: Biomialoeffiziet bi( m, ) : Γ ( m ) Γ ( ) Γ ( m ) B 0 : j :.. 6 B j : bi( j, j) j 0 bi( j, ) B B T Riema.mcd Strey,

4 3. Näherugsformel (ach Formel Edwards) N Z( s, N, m) : s N s s N s m B ( )! 0 ( s ) N s σ > m Beispiele: N : 0 m : 5 ζ( s) : Z( s, N, m) ζ( 3) ζ(.) ζ( 0.) ζ( ) 0 ζ( 0.5 i) i Zeta( 3) gleit, Zeta(.) gleit, Zeta( 0.) gleit, Zeta( ) gleit, 8 0 Zeta( 0.5 i) gleit, i 4. Bild der reelle Zetafutio : 8, : 8, ζ ζ Riema.mcd Strey,

5 5. Betragsfläche der omplee Zetafutio a) Schittliie lägs der Gerade σ j : X j, : σ j : Y j, : t Z j σ j : 0.0j 4, : ζ σ j t i t : U j, : u j u j : 0.5 V j, : v v : j W j, : 5 t b) Schittliie lägs der Gerade t 0 j : X j, : σ j : Y j, : t Z j σ j : 0.0j 6, : ζ σ j t i t : U j, : u j u j : V j, : v σ j v : 0 W j, : 5 Riema.mcd 3 Strey,

6 Die Riemasche Zetafutio () Riema () 6. Weitere mit der Zetafutio verwae Futioe Futioalgleichug. Γ s π s s ζ( s) Γ s π ζ( s). für alle s. Eiführug der ξ - Futio ξ( s) : s( s ) Γ s π s ζ( s) Es gilt ξ( s) ξ( s) Beispiele: ξ(.5) 0.5 ξ( 0.5) 0.5 ξ ( ) aber dafür ξ( 3) 0.57 Es gilt ξ ti ξ ti ξ ti ξ ti d.h. reell!! Eiführug der reelle Ξ - Futio Ξ ( t) : ξ ti Ξ ( t) Ξ ( t) (Ladau) Abspaltug eies ullstellefreie ("dämpfede") Fators f ( t) < 0 (siehe Edwards): mit der Näherug Ξ ( t) f ( t) e θ( t) i ζ ti f ( t) Z( t) θ ( t) t l t t π : für t >. π 8 48t Eiführug der reelle Z - Futio Z( t) : e θ( t) i ζ ti (Riema-Siegel) 7. Reelle Nullstelle der Zetafutio Die (triviale) reelle Nullstelle sid s, 4, 6,... I der Futioalgleichug ist die rechte Seite für σ > ugleich Null (vgl. b) ud Γ ). Also ist ζ( s) 0 a de Polstelle vo Γ(s/). 8. Nichttriviale Nullstelle der Zetafutio Bewiese ist: Alle ichttriviale Nullstelle liege im Streife 0 < σ <! Sie liege symmetrisch zur -Achse ud zur Gerade σ. Riemasche Vermutug: Alle ichttriviale Nullstelle liege auf der Gerade σ Riema.mcd 4 Strey,

7 9. Berechug ichttrivialer Nullstelle Für die Nullstelle ρ t i gilt: ζ ρ 0 <> ξ ρ 0 <> Ξ t 0 Es geügt also wege Ξ ( t) Ξ ( t), die Nullstelle vo Z( t > 0) zu ermittel. <> Z t 0 Beispiel: Näherug t : 4.0 wurzel Z t (, t ) Näherug t : wurzel Z t (, t ) Näherug 3 t : wurzel Z t (, t ) t t : ζ ti i Vergleichede Grafi: t : 0, ζ ti Re( Z( t) ) Zur Vermeidug vo omplee Restfehler wird Re( Z) aufgetrage. Es gilt Z( t) ζ Die Nullstelle öe durch Vorzeichewechsel vo Z( t) ti loalisiert werde.. 0. Suchprogramm ud Tabelle der Vorzeichewechsel vo Z(t) N : 500 ZW( a, b, h) : t a while zw z Re( Z( t) ) z Re( Z( t h) ) if t b zz < 0 zw, 0 t zw, t h t t h t Beispiel: ZW( 0, 50, 0.0) Riema.mcd 5 Strey,

8 . Tabelle der erste 300 ichttriviale Nullstelle Bereche ZW( 0, 54, 0.0), Rechezeit ca. 0 mi. Wähle als Näheruge die utere Schrae t ZW, 0. Sicherheitsdatei alege: Zetaullstelle.tt. Kopiere die Date i eie Matri. Matri TW der t-werte der ichttriviale Nullstelle ρ TW : t i : t : TW mod(, 30), floor 30 t 4.3 t Riema.mcd 6 Strey,

9 Die Riemasche Zetafutio (3) Riema (,). Azahl der Nullstelle r im Itervall 0 < T < t < T Nach dem Residuesatz ergibt sich die Differez zwische der Azahl N der Nullstelle ud der Azahl P der Pole ierhalb der eifach geschlossee Kurve C aus dem Itegral. ζ s ( s) d N P ds mit ζ π s ( s) : ζ( s) ds ζ( s) C Im Folgede werde die Riemasche Vermutug als richtig ageomme. Zur Berechug der Azahl der ρ σ t i für T : 490, T : 500 wähle ma z. B. die schmale (polfreie!) Ellipse r( ϕ) Mittelput T T z : i Halbachse a : b : 0 T T d r( ϕ) : z acos( ϕ) bisi( ϕ) r ϕ ( ϕ) : dϕ r( ϕ) Da gilt π ζ s ( r( ϕ) ) N : r ϕ ( ϕ) dϕ N 6 π i ζ( r( ϕ) ) 0 t t t Tabelle. liefert die N 6 Nullstelle t t t Eie Abschätzug des Itegrals (mit dem Rechtec C:, Ti, Ti, ) liefert die Näherugsformel für 0 N( T) < t T T T 7 : l mit N N( t) O( l( T) ) π π 8 (Riema - v. Magol) Beispiele: N( 499) N( 490) 6.3 N t Summeformel der Reziproe aller Nullstelle r ud r r γ N : lim l( N) gleit, (Eulersche Kostate) N ρ ρ γ l π γ l π Zum Vergleich: 300 t i t i Riema3.mcd 7 Strey,

10 Die Riemasche Zetafutio (4) Riema (,) 4. Tabelle der Primzahle Uterprogramm Sieb des Eratosthees Hauptprogramm streiche( a, q) : j 0 for b if Berechug der Primzahle leier als 0000 p : sieb( 0000) 0.. läge( a) b j 0 mod a, q a j j sieb( N) : for j 0.. N a j j b while b läge( a) a läge( a) > streiche a, b b a 0 Azahl der Primzahle : läge( p) 9 p 9973 Primzahle-Tabelle TP, abrolle! : 0.. TP floor 0 : p, mod (, 0 ) TP Beispiele: TP, 3 67 p 3 67 TP, Riema4.mcd 8 Strey,

11 5. Zusammehag zwische Primzahle ud Zetafutio () : Euler ζ( s) s s p für σ > (Euler, für reelle s >) p, 3, 5,... Primzahlefolge Dieses Produt overgiert äußerst lagsam! Beispiel: 9 ( p ) Zeta 6 π 6. Azahl der Primzahle im Itervall [ 0, ] Azahlfutio π Azahl( p, p ) Realisierug für 0 < 0000 π : 0 while p brea if 9 Beispiele: π π( 50.5) 5 π( 0000) 9 π( p 00 ) 00 Grafi : π Riema4.mcd 9 Strey,

12 7. Primzahlsatz ud Näheruge für die Azahlfutio Primzahlsatz lim π l (. Beweise: Hadamard, de la Vallée Poussi) Primzahlsatz (falls die Riemasche Vermutug richtig ist)) π l O l Näherugsformel π : l π : l (Legedre, empirisch, >> ) Itegrallogarithmus Li : l( t) π3 : Li (Gauß) Vergleichstabelle π π π π3 π π π π π3 π T Die (empirisch gewoee) Näherug vo Legedre ist für 0 6 < vortrefflich. Ab ca ist die Gaußsche Näherug de adere überlege. Der Itegrallogarithmus spielt auch bei der achfolged behadelte (eate!) Formel vo Riema eie wichtige Rolle. Riema4.mcd 0 Strey,

13 Grafie : Azahl /l() Legedre Gauß : Wahrscheilicheitsiterpretatio Nach 7. π3() ist i asymptotischer Näherug die relative Häufigeit der Primzahle im Itervall [,] : π, d. h. f ist die Primzahldichte. l( t) l Für << << folgt ach dem Mittelwertsatz π( ) π oder geähert π( ) π l. Beispiel: : 400 : 00 π( ) π 9 l( δ ) l 8 Riema4.mcd Strey,

14 Die Riemasche Zetafutio (5) Riema (,,4) 9. Zusammehag zwische Primzahle ud Zetafutio () : Riema Setze J π π π 3 π 3... Diese Summe bricht ab, we <, d.h. > l() / l() ist. Mit Hilfe der Möbiussche Umehrformel etsteht die Darstellug der Azahlfutio: (#) π µ J J J 3 J 3 5 J 5... Diese Summe hat ebefalls ur edlich viele Glieder, mit vo abhägiger Azahl. Möbiussche µ - Futio: µ q q (.. q m ) Für alle mit Primteiler < p 50 9 gilt das Programm m für verschiedee Primzahle q µ µ 0 sost, d.h. ist icht "quadratfrei". µ : a for a.. 50, 0 a a if mod, p retur 0 if mod p 0 µ µ µ ( 3) µ ( 4) 0 µ ( 5) µ ( 6) µ ( 7) µ ( 8) 0 Beispiel: J 7 π : S : 7 µ J.93 J( 80) 5.8 S( 80) π( 80) Es gilt die berühmte Riemasche Primzahlformel, (. Beweis: v. Magol): ( ) (##) J Li Li( ρ ) Li ρ l > t( t ) l( t) ρ I der Summe durchläuft ρ alle ichttriviale Nullstelle der Zetafutio mit Im(ρ) > 0! Mit (##), (#) liegt ei eater aalytischer Ausdruc für die Azahlfutio π() vor! Riema5.mcd Strey,

15 0. Disussio der Riemasche Primzahlformel; Näheruge. Gilt die Riemasche Vermutug, so vereifache sich die Summade i (##) wege l( t) ρ z ρ z ρ dz dz ud ρ l( z ρ t i ρ ) l( z) t i wie folgt de Li ρ Li ρ t i z z l( z) t i cos( t l( z) ) dz dz, zl( z) t i t i e t l i e t l i cos t l.. Für > ist das Itegral bedeutugslos. t t l( t) < 3t z. B t t l( t) Setze R(, m) m µ : Li Riema-Futio R R(, ) P(, m, N) : m µ N cos t l( z) zl( z) dz "Periodeateil" Da gilt die Näherug π R(, m) P(, m, N) Beispiele: : 80 l m : floor l m 7 R : R(, m) R.5 π N : 5 P : P(, m, N) P 0.7 R P.8 N : 5 P : P(, m, N) P 0. R P.6 N3 : 30 P3 : P(, m, N3) P3 0.3 R P3.9 Die Riemafutio bietet (auch ohe Periodeateile) sehr gute Näheruge! Riema5.mcd 3 Strey,

16 Vergleichstabelle π Li R Li π R π T Veraschaulichug der Periodeateile Näherugsfutioe π0(, N) : R P(, m, N) Azahl R() N 0 N 50 N 80 Die Approimatio der Treppefutio eriert a eie Fourieraalyse! A der Sprugstelle p wird das Sprugmittel π( p) ageähert. Riema5.mcd 4 Strey,

17 Die Riemasche Zetafutio (6) Riema (,,4). Noch eimal: Die Riemasche Primzahlformel Umformug des Itegrals aus der Primzahlformel: f ( t) l t t t t 3 l( t) t t 3 l( t) t... t 4 t l ( t ) Setze u t, da gilt t l ( t ) 0 l( u) du ud f ( t) 0 l( t) ( ) li mit li : 0 l( t) für 0 < Das Itegral liefert also i J() de Ateil der triviale Nullstelle s. Die Primzahlformel besteht aus drei Ateile: J J p J N J T > J P Li J N ( Li( ρ ) Li( ) ) ρ ρ Ateil des Pols s der Zetafutio (Hauptteil) Ateil der ichttriviale Nullstelle s der Zetafutio (Periodizitäte), wahrscheilich ρ 0.5 t i. ρ, ρ J T ( ) li Ateil der triviale Nullstelle s der Zetafutio, (uerheblich). π µ J Der ostate Summad l a i J etfalle, de er liefert bei der Summierug wege µ 0 (v. Magol) eie Ateil für π. Riema6.mcd 5 Strey,

18 3. Beispiele Festleguge Li : ( < ) J P : Li l( t) N(, ) li cos( t l( z) ) : dz J N (, m) : zl( z) : ( 0 < ) J T (, m) : l( t) 0 m m N(, ) ( ) li Ateile Pol : AP(, m0) ( m0 < 30) : m0 µ J P Komplee Nullstelle: ( m < 300) Reelle Nullstelle: AN(, m0, m) : AT(, m0, m) : m0 m0 µ µ J N J T, m, m Azahlformel A(, m0, m, m) : AP(, m0) AN(, m0, m) AT(, m0, m).beispiel Ergebisformat: 3 Stelle m : 75 m : 5 : 9966 AP(, ) 4.4 AN(,, m) 3.69 AT(,, m) AP(, ) AN(,, m) 3.69 AT(,, m) 0 AP(, 3) AN(,, m) 3.69 AT(, 3, m) 0 AP(, 0) 3.3 AN(, 0, m) 3.73 AT(, 0, m) AP(, 50) 3.39 AN(, 50, m) 3.69 AT(, 50, m) 0.08 A(, 50, m, m) 6.95 π Riema6.mcd 6 Strey,

19 . Beispiel : 36, A A(, 50, 00, 0) p() A() "Fourierompoete" der -te Nullstellepaare ρ, ρ i der Ateilformel AN(, m0, m) : m0 µ T(, m0, ) : N, m0 : Riema6.mcd 7 Strey,