Primzahlen und die Riemannsche Vermutung

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1 Primzahlen und die Riemannsche Vermutung Benjamin Klopsch Mathematisches Institut Heinrich-Heine-Universität zu Düsseldorf Tag der Forschung November 2005

2 Untersuchung über die Häufigkeit der Primzahlen

3 Was erwartet uns in den kommenden 45 Minuten? Der Stoff, aus dem die Zahlen sind Was sind Primzahlen? Wie viele Primzahlen gibt es? Riemann Mitbegründer der Funktionentheorie Von unendlichen Reihen und komplexen Funktionen Riemann und die Zetafunktion ζ(s) Eine wundersame Formel Die Riemannsche Formel Die Riemannsche Vermutung

4 Was erwartet uns in den kommenden 45 Minuten? Der Stoff, aus dem die Zahlen sind Was sind Primzahlen? Wie viele Primzahlen gibt es? Riemann Mitbegründer der Funktionentheorie Von unendlichen Reihen und komplexen Funktionen Riemann und die Zetafunktion ζ(s) Eine wundersame Formel Die Riemannsche Formel Die Riemannsche Vermutung

5 Was erwartet uns in den kommenden 45 Minuten? Der Stoff, aus dem die Zahlen sind Was sind Primzahlen? Wie viele Primzahlen gibt es? Riemann Mitbegründer der Funktionentheorie Von unendlichen Reihen und komplexen Funktionen Riemann und die Zetafunktion ζ(s) Eine wundersame Formel Die Riemannsche Formel Die Riemannsche Vermutung

6 Was sind Primzahlen? Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl 1001 und ähnlich =

7 Was sind Primzahlen? Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl 1001 und ähnlich =

8 Was sind Primzahlen? Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl 1001 und ähnlich =

9 Was sind Primzahlen? Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl 1001 und ähnlich =

10 Was sind Primzahlen? Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl 1001 und ähnlich =

11 Was sind Primzahlen? Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl 1001 und ähnlich =

12 Was sind Primzahlen? Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl 1001 und ähnlich =

13 Was sind Primzahlen? Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl 1001 und ähnlich =

14 Was sind Primzahlen? Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl 1001 und ähnlich =

15 Was sind Primzahlen? Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl 1001 und ähnlich =

16 Was sind Primzahlen? Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl 1001 und ähnlich =

17 Was sind Primzahlen? Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl 1001 und ähnlich =

18 Was sind Primzahlen? Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl 1001 = und ähnlich =

19 Was sind Primzahlen? Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl 1001 = und ähnlich =

20 Was sind Primzahlen? Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl 1001 = und ähnlich =

21 Was sind Primzahlen? Definition Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und p. Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl 1001 = und ähnlich =

22 Das Sieb des Erathostenes Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen

23 Das Sieb des Erathostenes Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen

24 Das Sieb des Erathostenes Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen

25 Das Sieb des Erathostenes Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen

26 Das Sieb des Erathostenes Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen

27 Das Sieb des Erathostenes Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen

28 Das Sieb des Erathostenes Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen

29 Das Sieb des Erathostenes Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen

30 Das Sieb des Erathostenes Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen

31 Das Sieb des Erathostenes Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen

32 Das Sieb des Erathostenes Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen

33 Das Sieb des Erathostenes Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen

34 Das Sieb des Erathostenes Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen

35 Es gibt unendlich viele Primzahlen Satz (Euklides um 300 v. Chr.) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Angenommen, p 1 = 2, p 2 = 3,..., p r sind alle Primzahlen. Setze N := p 1 p 2 p r + 1. Dann ist N 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar. Widerspruch! Frage: Wieviel ist unendlich viele?

36 Es gibt unendlich viele Primzahlen Satz (Euklides um 300 v. Chr.) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Angenommen, p 1 = 2, p 2 = 3,..., p r sind alle Primzahlen. Setze N := p 1 p 2 p r + 1. Dann ist N 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar. Widerspruch! Frage: Wieviel ist unendlich viele?

37 Es gibt unendlich viele Primzahlen Satz (Euklides um 300 v. Chr.) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Angenommen, p 1 = 2, p 2 = 3,..., p r sind alle Primzahlen. Setze N := p 1 p 2 p r + 1. Dann ist N 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar. Widerspruch! Frage: Wieviel ist unendlich viele?

38 Es gibt unendlich viele Primzahlen Satz (Euklides um 300 v. Chr.) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Angenommen, p 1 = 2, p 2 = 3,..., p r sind alle Primzahlen. Setze N := p 1 p 2 p r + 1. Dann ist N 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar. Widerspruch! Frage: Wieviel ist unendlich viele?

39 Es gibt unendlich viele Primzahlen Satz (Euklides um 300 v. Chr.) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Angenommen, p 1 = 2, p 2 = 3,..., p r sind alle Primzahlen. Setze N := p 1 p 2 p r + 1. Dann ist N 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar. Widerspruch! Frage: Wieviel ist unendlich viele?

40 Es gibt unendlich viele Primzahlen Satz (Euklides um 300 v. Chr.) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Angenommen, p 1 = 2, p 2 = 3,..., p r sind alle Primzahlen. Setze N := p 1 p 2 p r + 1. Dann ist N 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar. Widerspruch! Frage: Wieviel ist unendlich viele?

41 Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Größe Definition Für jede reelle Zahl x bezeichne π(x) die Anzahl der Primzahlen zwischen 1 und x. x π(x) x/π(x) , 000 1, , 000 9, , 000, , , 000, , , 000, 000 5, 761,

42 Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Größe Definition Für jede reelle Zahl x bezeichne π(x) die Anzahl der Primzahlen zwischen 1 und x. x π(x) x/π(x) , 000 1, , 000 9, , 000, , , 000, , , 000, 000 5, 761,

43 Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Größe Definition Für jede reelle Zahl x bezeichne π(x) die Anzahl der Primzahlen zwischen 1 und x. x π(x) x/π(x) , 000 1, , 000 9, , 000, , , 000, , , 000, 000 5, 761,

44 Der Integrallogarithmus Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlich glatt. Die Dichte der Primzahlen um eine große Zahl x ist ungefähr 1/log(x). Anmerkung: log(x) 2.3 (# Vorkommastellen von x). Näherungsweise gilt also π(x) x/ log(x). Gauß schlug als präzisere Näherung das folgende logarithmische Integral Li(x) vor: Li(x) := x 2 1 log(t) dt 1 log(2) + 1 log(3) log x.

45 Der Integrallogarithmus Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlich glatt. Die Dichte der Primzahlen um eine große Zahl x ist ungefähr 1/log(x). Anmerkung: log(x) 2.3 (# Vorkommastellen von x). Näherungsweise gilt also π(x) x/ log(x). Gauß schlug als präzisere Näherung das folgende logarithmische Integral Li(x) vor: Li(x) := x 2 1 log(t) dt 1 log(2) + 1 log(3) log x.

46 Der Integrallogarithmus Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlich glatt. Die Dichte der Primzahlen um eine große Zahl x ist ungefähr 1/log(x). Anmerkung: log(x) 2.3 (# Vorkommastellen von x). Näherungsweise gilt also π(x) x/ log(x). Gauß schlug als präzisere Näherung das folgende logarithmische Integral Li(x) vor: Li(x) := x 2 1 log(t) dt 1 log(2) + 1 log(3) log x.

47 Der Integrallogarithmus Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlich glatt. Die Dichte der Primzahlen um eine große Zahl x ist ungefähr 1/log(x). Anmerkung: log(x) 2.3 (# Vorkommastellen von x). Näherungsweise gilt also π(x) x/ log(x). Gauß schlug als präzisere Näherung das folgende logarithmische Integral Li(x) vor: Li(x) := x 2 1 log(t) dt 1 log(2) + 1 log(3) log x.

48 Der Integrallogarithmus Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlich glatt. Die Dichte der Primzahlen um eine große Zahl x ist ungefähr 1/log(x). Anmerkung: log(x) 2.3 (# Vorkommastellen von x). Näherungsweise gilt also π(x) x/ log(x). Gauß schlug als präzisere Näherung das folgende logarithmische Integral Li(x) vor: Li(x) := x 2 1 log(t) dt 1 log(2) + 1 log(3) log x.

49 Der Integrallogarithmus

50 Der Integrallogarithmus

51 Der Integrallogarithmus

52 Wir bilden unendliche Summen

53 Wir bilden unendliche Summen Die harmonische Reihe divergiert gegen Unendlich: n=1 1 n = =. zum Beweis

54 Denn n=1 Wir bilden unendliche Summen 1 n = ( ) ( )

55 Denn n=1 Wir bilden unendliche Summen 1 n = ( ( ) ( 1 + ) ( ) +... ) +...

56 Denn n=1 Wir bilden unendliche Summen 1 n = ( ( ) ( 1 + ) + = ( ) +... ) +...

57 Denn n=1 Wir bilden unendliche Summen 1 n = ( ( ) ( 1 + ) + = ( = =. ) +... ) +...

58 Wir bilden unendliche Summen Die harmonische Reihe divergiert gegen Unendlich: n=1 1 n = =. zum Beweis

59 Wir bilden unendliche Summen Die harmonische Reihe divergiert gegen Unendlich: n=1 1 n = =. Dagegen ist die Summe der quadratischen Kehrwerte n=1 1 n 2 = = nach oben beschränkt und konvergiert. zum Beweis

60 Denn n=1 Wir bilden unendliche Summen 1 n 2 = n 2 n=2

61 Denn n=1 Wir bilden unendliche Summen 1 n 2 = n n=2 n=2 1 (n 1)n

62 Denn n=1 Wir bilden unendliche Summen 1 n 2 = n = 1 + n=2 n=2 n (n 1) (n 1)n 1 (n 1)n n=2 = 1 + n=2 ( 1 n 1 1 ) n

63 Denn Wir bilden unendliche Summen 1 n 2 = n (n 1)n n=1 n=2 n=2 n (n 1) ( 1 = 1 + = 1 + (n 1)n n 1 1 ) n n=2 n=2 ( = ) ( ) ( )

64 Denn Wir bilden unendliche Summen 1 n 2 = n (n 1)n n=1 n=2 n=2 n (n 1) ( 1 = 1 + = 1 + (n 1)n n 1 1 ) n n=2 n=2 ( = ) ( ) ( ) ( = ) ( ) ( )

65 Denn Wir bilden unendliche Summen 1 n 2 = n (n 1)n n=1 n=2 n=2 n (n 1) ( 1 = 1 + = 1 + (n 1)n n 1 1 ) n n=2 n=2 ( = ) ( ) ( ) ( = ) ( ) ( ) = = 2.

66 Wir bilden unendliche Summen Die harmonische Reihe divergiert gegen Unendlich: n=1 1 n = =. Dagegen ist die Summe der quadratischen Kehrwerte n=1 1 n 2 = = nach oben beschränkt und konvergiert. zum Beweis

67 Wir bilden unendliche Summen Die harmonische Reihe divergiert gegen Unendlich: n=1 1 n = =. Dagegen ist die Summe der quadratischen Kehrwerte n=1 1 n 2 = = nach oben beschränkt und konvergiert. Frage: Wogegen konvergiert die Summe der quadratischen Kehrwerte?

68 Euler und die reelle Zetafunktion Es gilt n=1 1 n 2 = π , wobei π = die Kreiszahl bezeichnet. Euler betrachtete allgemeiner die reelle Funktion ζ(s) = n=1 1 n s für s > 1 und berechnete ζ(2m) für alle geraden Zahlen 2, 4, 6,...

69 Euler und die reelle Zetafunktion Es gilt n=1 1 n 2 = π , wobei π = die Kreiszahl bezeichnet. Euler betrachtete allgemeiner die reelle Funktion ζ(s) = n=1 1 n s für s > 1 und berechnete ζ(2m) für alle geraden Zahlen 2, 4, 6,...

70 Euler und die reelle Zetafunktion Es gilt n=1 1 n 2 = π , wobei π = die Kreiszahl bezeichnet. Euler betrachtete allgemeiner die reelle Funktion ζ(s) = n=1 1 n s für s > 1 und berechnete ζ(2m) für alle geraden Zahlen 2, 4, 6,...

71 Die Eulersche Produktformel Ein Zusammenhang zwischen der Funktion ζ(s) und Primzahlen besteht aufgrund der Eulerschen Produktformel ζ(s) = s s s s s +... ( = s s + 1 ) ( 2 3s s s + 1 ) 3 3s +... ( s s + 1 ) 5 3s +... = ( p s + 1 p 2s + 1 ) p 3s +... p Primzahl = p Primzahl 1 1 p s.

72 Die Eulersche Produktformel Ein Zusammenhang zwischen der Funktion ζ(s) und Primzahlen besteht aufgrund der Eulerschen Produktformel ζ(s) = s s s s s +... ( = s s + 1 ) ( 2 3s s s + 1 ) 3 3s +... ( s s + 1 ) 5 3s +... = ( p s + 1 p 2s + 1 ) p 3s +... p Primzahl = p Primzahl 1 1 p s.

73 Die Eulersche Produktformel Ein Zusammenhang zwischen der Funktion ζ(s) und Primzahlen besteht aufgrund der Eulerschen Produktformel ζ(s) = s s s s s +... ( = s s + 1 ) ( 2 3s s s + 1 ) 3 3s +... ( s s + 1 ) 5 3s +... = ( p s + 1 p 2s + 1 ) p 3s +... p Primzahl = p Primzahl 1 1 p s.

74 Die Eulersche Produktformel Ein Zusammenhang zwischen der Funktion ζ(s) und Primzahlen besteht aufgrund der Eulerschen Produktformel ζ(s) = s s s s s +... ( = s s + 1 ) ( 2 3s s s + 1 ) 3 3s +... ( s s + 1 ) 5 3s +... = ( p s + 1 p 2s + 1 ) p 3s +... p Primzahl = p Primzahl 1 1 p s.

75 imaginäre Achse 1 imaginäre Achse 1 2i i i 2i i i w = i z = i w = i z = i reelle Achse z + w = i reelle Achse imaginäre Achse 1 imaginäre Achse 1 2i i i 2i i i z = i reelle Achse reelle Achse Die komplexe Zahlenebene Die reelle Zahlengerade R läßt sich zur sogenannten komplexen Zahlenebene C = R + ir erweitern. Die Zahl i ist die sogenannte imaginäre Einheit und hat die Eigenschaft, daß ihr Quadrat gleich 1 ist. Die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division setzen sich von den reellen auf die komplexen Zahlen fort.

76 imaginäre Achse 1 imaginäre Achse 1 2i i i 2i i i w = i z = i w = i z = i reelle Achse z + w = i reelle Achse imaginäre Achse 1 imaginäre Achse 1 2i i i 2i i i z = i reelle Achse reelle Achse Die komplexe Zahlenebene Die reelle Zahlengerade R läßt sich zur sogenannten komplexen Zahlenebene C = R + ir erweitern. Die Zahl i ist die sogenannte imaginäre Einheit und hat die Eigenschaft, daß ihr Quadrat gleich 1 ist. Die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division setzen sich von den reellen auf die komplexen Zahlen fort.

77 imaginäre Achse 1 imaginäre Achse 1 2i i i 2i i i w = i z = i w = i z = i reelle Achse z + w = i reelle Achse imaginäre Achse 1 imaginäre Achse 1 2i i i 2i i i z = i reelle Achse reelle Achse Die komplexe Zahlenebene Die reelle Zahlengerade R läßt sich zur sogenannten komplexen Zahlenebene C = R + ir erweitern. Die Zahl i ist die sogenannte imaginäre Einheit und hat die Eigenschaft, daß ihr Quadrat gleich 1 ist. Die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division setzen sich von den reellen auf die komplexen Zahlen fort.

78 Von komplexen Funktionen Einfache Abbildungen der komplexen Zahlenebene in sich, wie zum Beispiel die Polynomfunktion f (z) = f (x + iy) := z 3 64z werden als Landschaft mit Höhenprofil greifbar.

79 Von komplexen Funktionen Einfache Abbildungen der komplexen Zahlenebene in sich, wie zum Beispiel die Polynomfunktion f (z) = f (x + iy) := z 3 64z werden als Landschaft mit Höhenprofil greifbar.

80 Georg Friedrich Bernhard Riemann

81 Georg Friedrich Bernhard Riemann geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin 1851 Promotion mit der epochemachenden Inauguraldissertation Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse 1854 Habilitationsvortrag Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen - Geburt der modernen Differentialgeometrie 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl, Publikation der Arbeit Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, Lago Maggiore, Italien

82 Georg Friedrich Bernhard Riemann geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin 1851 Promotion mit der epochemachenden Inauguraldissertation Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse 1854 Habilitationsvortrag Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen - Geburt der modernen Differentialgeometrie 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl, Publikation der Arbeit Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, Lago Maggiore, Italien

83 Georg Friedrich Bernhard Riemann geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin 1851 Promotion mit der epochemachenden Inauguraldissertation Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse 1854 Habilitationsvortrag Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen - Geburt der modernen Differentialgeometrie 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl, Publikation der Arbeit Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, Lago Maggiore, Italien

84 Georg Friedrich Bernhard Riemann geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin 1851 Promotion mit der epochemachenden Inauguraldissertation Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse 1854 Habilitationsvortrag Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen - Geburt der modernen Differentialgeometrie 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl, Publikation der Arbeit Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, Lago Maggiore, Italien

85 Georg Friedrich Bernhard Riemann geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin 1851 Promotion mit der epochemachenden Inauguraldissertation Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse 1854 Habilitationsvortrag Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen - Geburt der modernen Differentialgeometrie 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl, Publikation der Arbeit Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, Lago Maggiore, Italien

86 Georg Friedrich Bernhard Riemann geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin 1851 Promotion mit der epochemachenden Inauguraldissertation Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse 1854 Habilitationsvortrag Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen - Geburt der modernen Differentialgeometrie 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl, Publikation der Arbeit Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, Lago Maggiore, Italien

87 Georg Friedrich Bernhard Riemann

88 Die Riemannsche Zetafunktion Die unendliche Reihe ζ(s) = n=1 1 n s = s s s +... konvergiert für alle komlpexen Zahlen s = x + yi mit Realteil x > 1. Zudem setzt sich die Funktion ζ(s), mit Ausnahme eines Pols bei s = 1, eindeutig auf die ganze komplexe Zahlenebene fort.

89 Die Riemannsche Zetafunktion Die unendliche Reihe ζ(s) = n=1 1 n s = s s s +... konvergiert für alle komlpexen Zahlen s = x + yi mit Realteil x > 1. Zudem setzt sich die Funktion ζ(s), mit Ausnahme eines Pols bei s = 1, eindeutig auf die ganze komplexe Zahlenebene fort.

90 Die Riemannsche Zetafunktion Die unendliche Reihe ζ(s) = n=1 1 n s = s s s +... konvergiert für alle komlpexen Zahlen s = x + yi mit Realteil x > 1. Zudem setzt sich die Funktion ζ(s), mit Ausnahme eines Pols bei s = 1, eindeutig auf die ganze komplexe Zahlenebene fort.

91 reelle Achse 4 kritischer Streifen 3 2 triviale Nullstellen für s = 2, 4, 6,... reelle Achse 4 kritischer Streifen 3 2 triviale Nullstellen für s = 2, 4, 6, i 20 i 10 i 10 i 20 i imaginäre Achse 1 30 i 20 i 10 i 10 i 20 i imaginäre Achse Pol i ( ) i ( ) nicht triviale Nullstellen Pol 0.5 i ( ) 0.5 i ( )... reelle Achse 4 kritischer Streifen i 20 i 10 i 10 i 20 i imaginäre Achse Pol 1 Der kritische Streifen Die Fortsetzung von ζ(s) auf die ganze Zahlenebene gelingt mit Hilfe der Funktionalgleichung Λ(s) := π s/2 Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 s). Von besonderem Interesse sind die Nullstellen von Λ(s). Diese entsprechen den nicht-trivialen Nullstellen von ζ(s) und liegen alle in dem kritischen Streifen S := {x + yi 0 x 1}. Alle bekannten Nullstellen von Λ(s) liegen sogar auf der Geraden G := {x + yi x = 1/2}.

92 reelle Achse 4 kritischer Streifen 3 2 triviale Nullstellen für s = 2, 4, 6,... reelle Achse 4 kritischer Streifen 3 2 triviale Nullstellen für s = 2, 4, 6, i 20 i 10 i 10 i 20 i imaginäre Achse 1 30 i 20 i 10 i 10 i 20 i imaginäre Achse Pol i ( ) i ( ) nicht triviale Nullstellen Pol 0.5 i ( ) 0.5 i ( )... reelle Achse 4 kritischer Streifen i 20 i 10 i 10 i 20 i imaginäre Achse Pol 1 Der kritische Streifen Die Fortsetzung von ζ(s) auf die ganze Zahlenebene gelingt mit Hilfe der Funktionalgleichung Λ(s) := π s/2 Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 s). Von besonderem Interesse sind die Nullstellen von Λ(s). Diese entsprechen den nicht-trivialen Nullstellen von ζ(s) und liegen alle in dem kritischen Streifen S := {x + yi 0 x 1}. Alle bekannten Nullstellen von Λ(s) liegen sogar auf der Geraden G := {x + yi x = 1/2}.

93 reelle Achse 4 kritischer Streifen 3 2 triviale Nullstellen für s = 2, 4, 6,... reelle Achse 4 kritischer Streifen 3 2 triviale Nullstellen für s = 2, 4, 6, i 20 i 10 i 10 i 20 i imaginäre Achse 1 30 i 20 i 10 i 10 i 20 i imaginäre Achse Pol i ( ) i ( ) nicht triviale Nullstellen Pol 0.5 i ( ) 0.5 i ( )... reelle Achse 4 kritischer Streifen i 20 i 10 i 10 i 20 i imaginäre Achse Pol 1 Der kritische Streifen Die Fortsetzung von ζ(s) auf die ganze Zahlenebene gelingt mit Hilfe der Funktionalgleichung Λ(s) := π s/2 Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 s). Von besonderem Interesse sind die Nullstellen von Λ(s). Diese entsprechen den nicht-trivialen Nullstellen von ζ(s) und liegen alle in dem kritischen Streifen S := {x + yi 0 x 1}. Alle bekannten Nullstellen von Λ(s) liegen sogar auf der Geraden G := {x + yi x = 1/2}.

94 Die Chebyshevsche ψ-funktion Erinnerung: Wir möchten zeigen, daß für große x die Anzahl π(x) der Primzahlen kleinergleich x gut durch den Integrallogarithmus Li(x) approximiert wird. Grafik Handlicher als die Primzahl-Zähl-Funktion π(x) = p x 1 erweist sich die von Chebyshev eingeführte Variante ψ(x) := p k x log(p), bei der die Primzahlen mit logarithmischen Gewichten gezählt werden. Grob gesprochen ist die Näherung π(x) Li(x) äquivalent zu ψ(x) x.

95 Die Chebyshevsche ψ-funktion Erinnerung: Wir möchten zeigen, daß für große x die Anzahl π(x) der Primzahlen kleinergleich x gut durch den Integrallogarithmus Li(x) approximiert wird. Grafik Handlicher als die Primzahl-Zähl-Funktion π(x) = p x 1 erweist sich die von Chebyshev eingeführte Variante ψ(x) := p k x log(p), bei der die Primzahlen mit logarithmischen Gewichten gezählt werden. Grob gesprochen ist die Näherung π(x) Li(x) äquivalent zu ψ(x) x.

96 Die Chebyshevsche ψ-funktion Erinnerung: Wir möchten zeigen, daß für große x die Anzahl π(x) der Primzahlen kleinergleich x gut durch den Integrallogarithmus Li(x) approximiert wird. Grafik Handlicher als die Primzahl-Zähl-Funktion π(x) = p x 1 erweist sich die von Chebyshev eingeführte Variante ψ(x) := p k x log(p), bei der die Primzahlen mit logarithmischen Gewichten gezählt werden. Grob gesprochen ist die Näherung π(x) Li(x) äquivalent zu ψ(x) x.

97 Die Chebyshevsche ψ-funktion Erinnerung: Wir möchten zeigen, daß für große x die Anzahl π(x) der Primzahlen kleinergleich x gut durch den Integrallogarithmus Li(x) approximiert wird. Grafik Handlicher als die Primzahl-Zähl-Funktion π(x) = p x 1 erweist sich die von Chebyshev eingeführte Variante ψ(x) := p k x log(p), bei der die Primzahlen mit logarithmischen Gewichten gezählt werden. Grob gesprochen ist die Näherung π(x) Li(x) äquivalent zu ψ(x) x.

98 Riemanns Formel für die Primzahl-Zähl-Funktion Die Stufenfunktion ψ(x) läßt sich präzise mit Hilfe der komplexen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion ausdrücken: ψ (x) = x log(2π) ρ x ρ ρ 1 (1 2 log 1x ) 2. Die nachfolgenden Graphiken zeigen schrittweise die Approximation der gewichteten Primzahl-Zähl-Funktion ψ(x) mittels der ersten 300 Nullstellenpaare der Riemannschen Zetafunktion. Graphiken

99 Riemanns Formel für die Primzahl-Zähl-Funktion Die Stufenfunktion ψ(x) läßt sich präzise mit Hilfe der komplexen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion ausdrücken: ψ (x) = x log(2π) ρ x ρ ρ 1 (1 2 log 1x ) 2. Die nachfolgenden Graphiken zeigen schrittweise die Approximation der gewichteten Primzahl-Zähl-Funktion ψ(x) mittels der ersten 300 Nullstellenpaare der Riemannschen Zetafunktion. Graphiken

100 Riemanns Formel für die Primzahl-Zähl-Funktion Die Stufenfunktion ψ(x) läßt sich präzise mit Hilfe der komplexen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion ausdrücken: ψ (x) = x log(2π) ρ x ρ ρ 1 (1 2 log 1x ) 2. Die nachfolgenden Graphiken zeigen schrittweise die Approximation der gewichteten Primzahl-Zähl-Funktion ψ(x) mittels der ersten 300 Nullstellenpaare der Riemannschen Zetafunktion. Graphiken

101 Schrittweise Approximation von ψ(x)

102 Schrittweise Approximation von ψ(x)

103 Schrittweise Approximation von ψ(x)

104 Schrittweise Approximation von ψ(x)

105 Schrittweise Approximation von ψ(x)

106 Schrittweise Approximation von ψ(x)

107 Schrittweise Approximation von ψ(x)

108 Schrittweise Approximation von ψ(x)

109 Schrittweise Approximation von ψ(x)

110 Schrittweise Approximation von ψ(x)

111 Schrittweise Approximation von ψ(x)

112 Schrittweise Approximation von ψ(x)

113 Schrittweise Approximation von ψ(x)

114 Schrittweise Approximation von ψ(x)

115 Schrittweise Approximation von ψ(x)

116 Schrittweise Approximation von ψ(x)

117 Schrittweise Approximation von ψ(x)

118 Die Riemannsche Vermutung Riemannsche Vermutung Alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion liegen auf der Geraden G = {x + yi x = 1/2}. Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt. Äquivalent zu der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung ist die Aussage: Äquivalente Form der Riemannschen Vermutung Es gibt eine Konstante C, so daß π(x) von Li(x) nicht mehr als C x log(x) abweicht.

119 Die Riemannsche Vermutung Riemannsche Vermutung Alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion liegen auf der Geraden G = {x + yi x = 1/2}. Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt. Äquivalent zu der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung ist die Aussage: Äquivalente Form der Riemannschen Vermutung Es gibt eine Konstante C, so daß π(x) von Li(x) nicht mehr als C x log(x) abweicht.

120 Die Riemannsche Vermutung Riemannsche Vermutung Alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion liegen auf der Geraden G = {x + yi x = 1/2}. Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt. Äquivalent zu der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung ist die Aussage: Äquivalente Form der Riemannschen Vermutung Es gibt eine Konstante C, so daß π(x) von Li(x) nicht mehr als C x log(x) abweicht.

121 Die Riemannsche Vermutung Riemannsche Vermutung Alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion liegen auf der Geraden G = {x + yi x = 1/2}. Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt. Äquivalent zu der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung ist die Aussage: Äquivalente Form der Riemannschen Vermutung Es gibt eine Konstante C, so daß π(x) von Li(x) nicht mehr als C x log(x) abweicht.

122 Die Riemannsche Vermutung Riemannsche Vermutung Alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion liegen auf der Geraden G = {x + yi x = 1/2}. Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt. Äquivalent zu der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung ist die Aussage: Äquivalente Form der Riemannschen Vermutung Es gibt eine Konstante C, so daß π(x) von Li(x) nicht mehr als C x log(x) abweicht.

123 Die Riemannsche Vermutung... Man findet nun in der That etwa so viel reelle Wurzeln innerhalb dieser Grenzen, und es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.... Riemann

124 Nach Riemann von Mangoldt... Hadamard... de la Vallée Poussin... Hardy... Littlewood... Selberg... Montgomery...

125 Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und herzlichen Dank an Tobias Ebel für die computer-technische Unterstützung

126 Anhang mit Bildern und Graphiken

127 Es gibt unendlich viele Primzahlen

128 Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Größe

129 Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Größe

130 Euler und die reelle Zetafunktion

131 Euler und die reelle Zetafunktion

132 imaginäre Achse Die komplexe Zahlenebene 2i i reelle Achse i

133 imaginäre Achse Die komplexe Zahlenebene 2i z = i i reelle Achse i

134 imaginäre Achse Die komplexe Zahlenebene 2i z = i i 1 i w = i reelle Achse

135 imaginäre Achse Die komplexe Zahlenebene 2i z = i i z + w = i 1 i w = i reelle Achse

136 Von komplexen Funktionen

137 Georg Friedrich Bernhard Riemann

138 Die Riemannsche Zetafunktion

139 Die Riemannsche Zetafunktion

140 Der kritische Streifen kritischer Streifen 30 i 20 i 10 i reelle Achse Pol i 20 i imaginäre Achse

141 Der kritische Streifen kritischer Streifen 30 i 20 i 10 i reelle Achse Pol triviale Nullstellen für s = 2, 4, 6, i 20 i imaginäre Achse

142 Der kritische Streifen kritischer Streifen 30 i 20 i i ( ) i ( ) reelle Achse 10 i nicht triviale Nullstellen Pol triviale Nullstellen für s = 2, 4, 6, i 0.5 i ( ) 20 i imaginäre Achse 0.5 i ( )...

143 Der kritische Streifen

144 Die Chebyshevsche ψ-funktion