60.Differentialrechnung

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1 60.Diffrtilrchug Vrsio: 60. Alitugsrgl Diffrttiosrgl Bschriug: Fuktio: Alitug: Bispil: Summrgl : Kosttrgl: f ± g f ud g si Fuktio k f g ' = f ' ± g' ± 5 ' k = + = + = 5000 = 0 Alitug kosttr Fuktio k=kostt Fktorrgl: Alitug is kostt Fktors Produktrgl: Quotitrgl Khrwrtrgl Sodrfll dr Quotitrgl: Zählr = k f k=kostt f=fuktio f g f ud g si Fuktio f g f ud g si Fuktio g g si i Fuktio Kttrgl g f g si i Fuktio dr Fuktio f k f' k f = si f g ' = f g+ f g = si = = ²si f f g f g = g g 0g g g = g = g g g = g f f f si + ² si si = si = si si [ ] si = Di Summrgl gilt türlich uch für mhr ls Summd: f ± g± h±...' = f ± g ± h ±...

2 60.Diffrtilrchug Vrsio: 60. Alitug dr Potz ud Wurzlfuktio Bschriug: Fuktio: Alitug: Bispil: Potzrgl 3 = 3 3 = 3 mit R Sodrfll Qudrtwurzl = Ergit sich us dr Potzrgl Sodrfll Wurzl Ergit sich us dr Potzrgl 60.3 Alitug dr Khrwrtfuktio Achtug: Khrwrtfuktio icht mit ivrs Fuktio vrwchsl! Bschriug: Fuktio: Alitug: Bispil: Allgmir Fll g Sodrfll: Nr ist i lir Fuktio Sodrfll: Nr ist i Potzfuktio g' [ g ] Spzilfll dr Quotitrgl Ergit sich us dr Quotitrgl ud dr Potzrgl, odr uch ur us dr Potzrgl Ergit sich us dr Quotitrgl ud dr Potzrgl, odr uch ur us dr Potzrgl

3 60.Diffrtilrchug Vrsio: 60.4 Alitug dr türlich Epotilfuktio Bschriug: Fuktio: Alitug: Amrkug: Ntürlich Epotilfuktio Bsis =.788 Epot ist i Fuktio vo f c + c + l Produkt us Kostt ud Epotilfuktio Produkt us Fuktio g ud Epotilfuktio Produkt us Fuktio g ud ir Epotilfuktio mit dr Fuktio f im Epot f f + c c + = Di türlich Epotilfuktio ist di izig Fuktio, i dr Fuktio ud Alitug üristimm Folgt us Kttrgl ud Alitug dr türlich Epotilfuktio Folgt us dr Fktorrgl g g Folgt us dr Produktrgl + g g f f f g g f Folgt us dr Produktrgl ud + dr Kttrgl

4 60.Diffrtilrchug Vrsio: 60.5 Alitug dr llgmi Epotilfuktio Für di Bsis glt: >0 Bschriug: Fuktio: Alitug: Amrkug: Allgmi Epotilfuktio Epot ist i Fuktio vo c l Produkt us Kostt ud Epotilfuktio Produkt us Fuktio g ud Epotilfuktio Produkt us Fuktio g ud ir Epotilfuktio mit dr Fuktio f im Epot l f f + l + Bispil: = l l f Folgt us Kttrgl ud l + + c l l l l >0 l l l Alitug dr Allgmi Epotilfuktio Folgt us dr Fktorrgl g g g l Folgt us dr Produktrgl + g g + g l f Folgt us dr Produktrgl ud dr Kttrgl f f f

5 60.Diffrtilrchug Vrsio: 60.6 Alitug dr türlich Logrithmusfuktio Bschriug: Fuktio: Alitug: Amrkug: Ntürlich Logrithmusfuktio Bsis =.788 Argumt ist slst widr i Fuktio f vo l mit: > 0 l mit: > 0 l f mit: f > 0 f f Ergit sich ls Spzilfll dr Alitug dr llgmi Logrithmusfutio, ud dr Forml l= Folgt us dr Fktorrgl Folgt us dr Kttrgl ud dr Alitug dr türlich Logrithmusfuktio l mit : > 0 l + mit : +c> 0 = = = + c + c 60.7 Alitug dr llgmi Logrithmusfuktio Bschriug: Fuktio: Alitug: Amrkug: Allgmi Logrithmusfuktio Argumt ist ki Vril sodr slst widr i Fuktio f log >0,, > 0 log >0,, > 0 log f >0,, f > 0 log >0,, > 0 log + >0,, +c > 0 l l f f l = l l + l Folgt us dr Fktorrgl Folgt us dr Kttrgl ud dr Alitug dr llgmi Logrithmusfuktio

6 60.Diffrtilrchug Vrsio: 60.8 Alitug dr Siusfuktio Bschriug: Fuktio: Alitug: Amrkug: Siusfuktio si Argumt ist ki Vril sodr slst widr i Fuktio f si si si = si si Wg dr Forml für dopplt Wikl us dr Trigoomtri drf m uch schri: si si = si 3 3 si = si 3 si Folgt us Fktorrgl Spzilfll dr vorig Rgl: si=si Folgt us dr Kttrgl i Vridug mit dr Potzrgl odr us Produktrgl: si² = si si Folgt us dr Kttrgl i Vridug mit dr Potzrgl - Folgt us dr Kttrgl i si si f f f si + Vridug mit dr Potzrgl Folgt us Kttrgl + si si + + si si si si si >0 l si l >0 l

7 60.Diffrtilrchug Vrsio: 60.9 Alitug dr Kosiusfuktio Bschriug: Fuktio: Alitug: Amrkug: Kosiusfuktio si si =si Folgt us Fktorrgl Argumt ist ki Vril sodr slst widr i Fuktio f si = si Spzilfll dr vorig Rgl: = = si Wg dr Forml für dopplt Wikl us dr Trigoomtri drf m uch schri: si 3 3 = 3 si f Folgt us dr Kttrgl i Vridug mit dr Potzrgl odr us Produktrgl: ² = Folgt us dr Kttrgl i Vridug mit dr Potzrgl si f f Folgt us Kttrgl + si + si + si + si si si si >0 si l l >0 si l

8 60.Diffrtilrchug Vrsio: 60.0 Alitug dr Tgsfuktio Bschriug: Fuktio: Alitug: Amrkug: Tgsfuktio t = odr: +t Zur Umformug vo Forml i Forml wurd dr trigoomtrisch Pythgors utzt sih Trioomtri.Potz t = t si t = 3 odr: Folgt us dr Produktrgl ud dr Forml: si t = -t Potz t t 3 [ + t ] t = t + t = t - odr: - t + t Folgt us dr Produktrgl Folgt us dr Kttrgl ud dr Potzrgl Argumt ist ki Vril sodr slst widr i Fuktio t f t + t t + f f + odr: + t f f odr: + t + odr: + t = + t + [ ] odr: [ + t + ] = + t + Folgt us dr Kttrgl

9 60.Diffrtilrchug Vrsio: 60. Alitug dr Kotgsfuktio Bschriug: Fuktio: Alitug: Amrkug: Kotgsfuktio cot odr: cot si + Zur Umformug vo Forml i Forml wurd dr trigoomtrisch Pythgors utzt sih Trigoomtri.Potz cot = cot cot = 3 si si odr: Folgt us dr Produktrgl ud dr Forml: cot = si -t Potz cot cot [ ] 3 cot + cot = cot + cot = cot - si odr: - cot + cot Folgt us dr Produktrgl Folgt us dr Kttrgl ud dr Potzrgl Argumt ist ki Vril sodr slst widr i Fuktio f cot f cot + cot cot + f + f si odr: cot f f odr: cot si [ ] si odr: [ + cot ] = cot si + Folgt us dr Kttrgl odr: [ + cot + ] = cot +