Klausur zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler

Transkript

1 Wintersemester 2007/ Dr. Sascha Kurz Klausur zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler Bitte lesbar ausfüllen, Zutreffendes ankreuzen Herr Frau Name, Vorname: Anschrift: Geburtsdatum: Studiengang: Matrikelnummer: Semester: Platz-Nr.: Hinweise: Tragen Sie auf dieser Seite Ihre persönlichen Daten und auf jedem der folgenden Blätter Ihre Matrikelnummer und Ihren Namen ein. Blätter ohne Namen können nicht bewertet werden. Beginnen Sie Ihre Lösungen unter dem Aufgabentext und schreiben Sie gegebenenfalls auf die zugehörige Rückseite. Falls der Platz nicht ausreicht, befinden sich am Ende der Klausur zusätzliche leere Blätter. Soweit nötig, benutzen Sie für jede Aufgabe ein separates Zusatzblatt. Die Heftung darf nicht geöffnet werden. Stellen Sie den Lösungsweg ausführlich und begründet dar. Die Angabe eines Ergebnisses allein kann nicht mit Punkten honoriert werden. Schreiben Sie von links nach rechts und von oben nach unten. Schreiben Sie mit einem dokumentenechten Stift - kein Bleistift. Die Verwendung von Korrekturhilfen wie Tipp-Ex oder Tintenkiller ist nicht gestattet; streichen Sie das Geschriebene stattdessen klar erkennbar durch. Als Hilfsmittel ist nur ein handgeschriebener Merkzettel zugelassen. Es sind maximal 116 Punkte erreichbar. Sicher bestanden ist die Klausur ab 51 Punkten. Bearbeitungszeit: 240 Minuten Toilettenregelung: Nehmen Sie bitte Ihre Klausur mit nach vorne, geben Sie sie dort ab, und warten Sie bis die vorherige Person wieder im Raum ist. Es darf nur jeweils eine weibliche und eine männliche Person zeitgleich auf die Toilette. Start- und Endzeit des Toilettenbesuchs werden auf Ihrer Klausur notiert. Bewertung Aufgabe erzielte Punkte /8 /16 /12 /12 /12 /8 /12 /12 /16 /8 /116

2 Matr.Nr.: Name: Aufgabe 1 Punkte: / 8 Berechnen Sie folgendes Matrixprodukt: ( ) Antwort: Rechnung:

3 Fortsetzung von Aufgabe 1:

4 Matr.Nr.: Name: Aufgabe 2 Punkte: / 16 Kreuzen Sie die richtigen Antworten an. Begründungen sind nicht erforderlich. LGS steht für Lineares Gleichungssystem. Ist eine Matrix invertierbar, so... ist ihre Determinante Null. ja nein ist die Matrix quadratisch. ja nein ist die Inverse eindeutig bestimmt. ja nein ist die Menge ihrer Spaltenvektoren linear abhängig. ja nein Hat ein reelles LGS mehr Variablen als Gleichungen, so... kann es eindeutig lösbar sein. ja nein besitzt es immer unendlich viele Lösungen. ja nein kann es unlösbar sein. ja nein Bei jedem reellen LGS Ax = b kann man die rechte Seite b so ändern, dass... das System lösbar ist. ja nein das System unlösbar ist. ja nein das System unendlich viele Lösungen hat. ja nein Sei M eine beliebige Menge linear abhängiger Vektoren. Dann gilt immer: M bleibt linear abhängig, wenn ein weiterer Vektor hinzugefügt wird. ja nein Der Nullvektor ist nichttrivial aus den Vektoren von M kombinierbar. ja nein Jeder Vektor aus M ist als Linearkombination der anderen darstellbar. ja nein Seien A, B R m m quadratische Matrizen und r R. Dann gilt immer: det(a + B) = det(a) + det(b) ja nein det(a B) = det(a) det(b) ja nein det(r A) = r det(a) ja nein

5 Fortsetzung von Aufgabe 2:

6 Matr.Nr.: Name: Aufgabe 3 Punkte: / 12 Ein Quarzsandhersteller beliefert von den beiden Standorten Q 1 und Q 2 aus die drei Glashütten G 1, G 2 und G 3. Am Standort Q 1 können täglich bis zu 200 Tonnen, am Standort Q 2 bis zu 500 Tonnen Quarzsand produziert werden. Die Glashütte G 1 benötigt täglich 150 Tonnen, G Tonnen und G Tonnen Sand. Die Transportkosten pro Tonne lassen sich folgender Tabelle entnehmen: von/nach G 1 G 2 G 3 Q Q Der Quarzsandlieferant möchte nun seine Transportkosten minimieren, muss dabei aber natürlich sicherstellen, dass jede Glashütte täglich ausreichend mit Sand versorgt wird. Formulieren Sie dieses Problem als lineares Programm. Geben Sie dabei auch an, wofür die von Ihnen verwendeten Variablen stehen und welcher Anforderung aus der Problemstellung jeweils die Ungleichungen in den Nebenbedingungen entsprechen. Das Lösen des LP ist nicht erforderlich! Modellierung:

7 Fortsetzung von Aufgabe 3:

8 Matr.Nr.: Name: Aufgabe 4 Punkte: / 12 Maximieren Sie die Zielfunktion unter den Nebenbedingungen Z(x 1, x 2 ) = 3x 1 + 7x 2 x 1 + x 2 4 x 1 + 2x 2 8 x 2 3 und x 1, x 2 0 mit Hilfe des Simplexalgorithmus. Sie können hierfür die folgende freie Seite oder die vorgezeichneten Tableaus benutzen. Die mit Großbuchstaben beschrifteten Spalten stehen dabei nacheinander für Basisvariable, Rechte Seite, Zielfunktionskoeffizient und Engpass. Antwort: Der optimale Zielfunktionswert ist: Die Optimallösung (x 1, x 2 ) lautet: Rechnung: B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E

9 Fortsetzung von Aufgabe 4: B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 R Z E

10 Fortsetzung von Aufgabe 4:

11 Fortsetzung von Aufgabe 4:

12 Matr.Nr.: Name: Aufgabe 5 Punkte: / 12 Konvergieren folgende Reihen? Bestimmen Sie ggf. den Grenzwert der Reihe. a) n=0 ( 2 5) n b) 5 9 2n 4 2 3n c) n=0 n=7 sin n + n 2n Konvergenz (Ja/Nein) Grenzwert a) b) c) Begründen Sie hier Ihre Antwort:

13 Fortsetzung von Aufgabe 5:

14 Matr.Nr.: Name: Aufgabe 6 Punkte: / 8 Ein Verlag bringt ein neues Buch auf den Markt. Jetzt überlegt man, zu welchem Preis p (in Euro) es verkauft werden soll. Der Verlag geht davon aus, dass die Zahl der verkauften Exemplare v wie folgt vom Preis abhängt: v(p) = 105 p 2. Der Druck eines Buches kostet 3 Euro. Der erwartete Gewinn g in Abhängigkeit vom Preis p ist also (in Euro): ( g(p) = v(p) p v(p) 3 = v(p) (p 3) = (p 3) = 105 p2 p 3 ). p 2 Der Verkaufspreis muss selbstverständlich die Druckkosten decken, weshalb p 3 angenommen werden darf. Außerdem wäre ein Preis oberhalb von 100 Euro glatter Wucher und ist somit ebenfalls ausgeschlossen. p soll nun so festgesetzt werden, dass der Gewinn maximal wird. Ermitteln Sie diesen Preis, indem Sie das globale Maximum von g(p) auf dem Intervall [3, 100] bestimmen. Begründen Sie in der Rechnung auch, dass es sich bei Ihrer Lösung um das globale Maximum handelt. Hier einige Näherungswerte von Brüchen, die in der Rechnung auftreten können: n n Antwort: Der optimale Verkaufspreis p ist: Rechnung:

15 Fortsetzung von Aufgabe 6:

16 Matr.Nr.: Name: Aufgabe 7 Punkte: / 12 (i) Sei die Funktion f durch f : R 2 R, f(x, y) = 2x 2 + xy + e x definiert. Berechnen Sie die folgenden partiellen Ableitungen von f an den angegebenen Stellen: a) f (x, y) y f b) (0, 1) x (ii) Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix der Funktion ( ) g : R 2 R 2 4x, g(x 1, x 2 ) = 3 1e x 2 x 1 ln (x ) an der Stelle (x 1, x 2 ). Antwort: (i) a) f (x, y) = y b) f (0, 1) = x (ii) J g (x 1, x 2 ) = Rechnung:

17 Fortsetzung von Aufgabe 7:

18 Matr.Nr.: Name: Aufgabe 8 Punkte: / 12 Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale: a) 1 1 2x 4 1 dx b) 1 0 x e x dx c) 3 e 1 0 x 2 x dx Tragen Sie die richtige Antwort ein: a) b) c) Rechnung:

19 Fortsetzung von Aufgabe 8:

20 Fortsetzung von Aufgabe 8:

21 Fortsetzung von Aufgabe 8:

22 Matr.Nr.: Name: Aufgabe 9 Punkte: / 16 Bestimmen Sie die globalen Extrema der Funktion f(x, y) = 3x 2 2y x unter der Nebenbedingung x 2 + 2y Geben Sie auch die zugehörige Lagrangefunktion an. Antwort: Die Lagrangefunktion lautet: Der globale Maximalwert von f beträgt: Er wird angenommen bei: (x 1, y 1 ) = Der globale Minimalwert von f beträgt: Er wird angenommen bei: (x 2, y 2 ) = (x 3, y 3 ) = Rechnung:

23 Fortsetzung von Aufgabe 9:

24 Fortsetzung von Aufgabe 9:

25 Fortsetzung von Aufgabe 9:

26 Matr.Nr.: Name: Aufgabe 10 Punkte: / 8 Zu dimensionsverträglichen Vektoren a, b, c, d, x, y, u, v und Matrizen A, B, C, D ist das duale des linearen Programms max c T x + d T y s. d. Ax + By a Cx + Dy = b x 0 gegeben durch min a T u + b T v s. d. A T u + C T v c B T u + D T v = d u 0. Bestimmen Sie damit das duale des linearen Programms max 3x 1 + 4x 2 + 2y s. d. x 1 5x 2 + 4y 20 6x 2 y = 10 2x 1 + 3x 2 = 15 x 1, x 2 0. Duales Programm:

27 Fortsetzung von Aufgabe 10:

28 Matr.Nr.: Name: Fortsetzung von Aufgabe:..... Hilfsüberlegungen, bitte nicht bewerten. Zusatz-Blatt

29 Matr.Nr.: Name: Fortsetzung von Aufgabe:..... Hilfsüberlegungen, bitte nicht bewerten. Zusatz-Blatt

30 Matr.Nr.: Name: Fortsetzung von Aufgabe:..... Hilfsüberlegungen, bitte nicht bewerten. Zusatz-Blatt