Betragsfunktion 6-E1. Vorkurs, Mathematik
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- Oldwig Philipp Brodbeck
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1 Betragsfunktion 6-E1
2 Betragsfunktionen: Aufgabe 6 a) Zeichnen Sie folgende Betragsfunktionen f (x) = x 2, g (x) = x + 1 Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich dieser Funktionen. b) Wie bewirkt der reelle Parameter a auf die Eigenschaften der Funktion y = x + a? 6-A
3 Betragsfunktionen: Lösung 6a Abb. L6-1: Der Graph der Betragsfunktion y = x - 2 (rot) und der linearen Funktion y = x 2 (grau, gestrichelt) f ( x) = x 2, D f = R, W f = [ 0, ) 6-1
4 Betragsfunktionen: Lösung 6a Abb. L6-2: Der Graph der Betragsfunktion y = x + 1 (blau) und der linearen Funktion y = x + 1 (grau, gestrichelt) 6-2 g (x) = x + 1, D g = R, W g = [ 0, )
5 Betragsfunktionen: Lösung 6b Wie bewirkt der reelle Parameter a auf die Eigenschaften der Funktion y = x + a? Die Betragsfunktion y = x + a ist für alle reelle Zahlen definiert: D = R hat Wertebereich: W = [ 0, ) hat einen Schnittpunkt (- a, 0) mit der x-achse und einen Schnittpunkt (0, a) mit der x-achse, ändert ihr Monotonieverhalten im Schnittpunkt (- a, 0) mit der x- Achse. Sie ist monoton fallend für x - a und monoton wachsend für x - a, hat den minimalen Funktionswert gleich 0 bei x = - a und keinen maximalen Funktionswert. Diese Funktion ist eine von unten beschränkte Funktion. hat Gerade x = - a als vertikale Symmetrieachse. Abb. L7b auf der nächsten Seite zeigt die Betragsfunktion y = x + 2, ihre Symmetrieachse, Schnittpunkte mit den Achsen. 6-3
6 Betragsfunktionen: Lösung 6b Abb. L6-3: Der Graph der Betragsfunktion y = x + 2 (blau) und der linearen Funktion y = x + 2 (grau, gestrichelt), die Gerade x = - 2 ist die Symmetrieachse der Betragsfunktion, der Punkt (-2, 0) ist der Schnittpunkt der Funktion mit der x-achse, der Punkt (0, 2) ist Schnittpunkt mit der y-achse 6-4
7 6-5
8 Betragsfunktionen: Aufgabe 7 Bestimmen Sie Wertebereich folgender Betragsfunktionen: a ) f (x) = x 2, D = [ 1, 6] b ) f (x) = x + 1, D = [ 1, 3] c ) f (x) = x 2 1, D = [ 1, 7] 7-A
9 Betragsfunktionen: Lösung 7a Abb. L-7a: Der Graph der Betragsfunktion y = x - 2 mit dem Definitionsbereich [-1, 6] f ( x) = x 2, D = [ 1, 6], W = [0, 4] 7-1
10 Betragsfunktionen: Lösung 7b Abb. L-7b: Der Graph der Betragsfunktion y = x + 1 mit dem Definitionsbereich [-1, 3]. Der Punkt (-1, 0) ist der Schnittpunkt mit der x-achse und der Tiefpunkt der Funktion. Im Bereich x - 1 die Funktion ist monoton wachsend. f ( x) = x + 1, D = [ 1, 3], W = [0, 4] 7-2
11 Betragsfunktionen: Lösung 7c 7-3 Abb. L-7c: Der Graph der Betragsfunktion y = x mit dem Definitionsbereich [-1, 7]. Der Punkt (2, -1) ist der Tiefpunkt der Funktion f (x) = x 2 1, D = [ 1, 7], W = [ 1, 4]
12 Betragsfunktionen: Aufgabe 8 Zeichnen Sie folgende Betragsfunktionen, beestimmen Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich: a ) f (x) = x b ) f (x) = x 1 2 c ) f (x) = x d ) f ( x) = 2 x A
13 Betragsfunktionen: Lösung 8a 8-1 Abb. L-8a: Den Graphen der Betragsfunktion y = x (blau) bekommt man durch die Transformation des Graphen y = x (grau, gestrichelt) um zwei Einheiten nach links längs der x-achse und um eine Einheit nach oben in der Richtung der y-achse f ( x) = x , D f = R, W f = [ 1, )
14 Betragsfunktionen: Lösung 8b Abb. L-8b: Den Graphen der Betragsfunktion y = x (blau) bekommt man durch die Transformation des Graphen y = x (grau, gestrichelt) um eine Einheit nach recht längs der x-achse und um zwei Einheiten nach unten, in der negativen Richtung der y-achse 8-2 f ( x) = x 1 2, D f = R, W f = [ 2, )
15 Betragsfunktionen: Lösung 8c Abb. L-8c: Den Graphen der Betragsfunktion y = x (blau) bekommt man durch die Transformation des Graphen y = x (grau, gestrichelt) um drei Einheiten nach recht längs der x-achse und um zwei Einheiten nach oben, in der positiven Richtung der y-achse 8-3 f ( x) = x 3 + 2, D f = R, W f = [ 2, )
16 Betragsfunktionen: Lösung 8d 8-4 Abb. L-8d: Den Graphen der Betragsfunktion y = 2 x (blau) bekommt man durch die Transformation des Graphen y = 2 x (grau, gestrichelt) um vier Einheiten nach links längs der x-achse und um eine Einheiten nach oben, in der positiven Richtung der y-achse f ( x) = 2 x , D f = R, W f = [ 1, )
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