Ergänzungsheft Erfolg im Mathe-Abi

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1 Ergänzungsheft Erfolg im Mathe-Abi Hessen Prüfungsaufgaben Grundkurs 2012 Grafikfähiger Taschenrechner (GTR), Computeralgebrasystem (CAS) Dieses Heft enthält Übungsaufgaben für GTR und CAS sowie die GTR- und CAS-Abituraufgaben der Jahre 2009 bis Es ergänzt das Buch «Erfolg im Mathe Abi 2012 Hessen, Prüfungsaufgaben Grundkurs» Freiburger-Verlag.de 3

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis 1 Ganzrationale Funktion Kugelstoßen (GTR / CAS) Exponentialfunktion Sonnenblume (GTR / CAS) Exponentialfunktion Medikament (GTR / CAS) Exponentialfunktion Tannensetzling (GTR / CAS) Exponentialfunktion Fischteich (GTR / CAS) Exponentialfunktion Fischteich (CAS) Exponentialfunktion Abkühlung (CAS) Exponentialfunktion Pharmaunternehmen (CAS) Tipps Lösungen Aufgaben Abitur Aufgaben Abitur Aufgaben Abitur Stichwortverzeichnis... 93

3 1. Ganzrationale Funktion Kugelstoßen (GTR CAS) Analysis 1 Ganzrationale Funktion Kugelstoßen (GTR CAS) Tipps ab Seite 13, Lösungen ab Seite 19 a) Für jedes t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch f t (x) = 1 4 tx3 3tx 2 + 9tx; x I R. Ihr Graph sei K t. Untersuchen Sie K t auf gemeinsame Punkte mit der x-achse, Extrem- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K 1 und K 1 für 0 x 8. 2 Jede Kurve K t schließt mit der x-achse eine Fläche ein. Berechnen Sie ihren Inhalt in Abhängigkeit von t. b) Die Gerade x = u (0 < u < 6) schneidet die x-achse im Punkt Q und die Kurve K 1 im Punkt P. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P so, dass das Dreieck OQP maximalen Flächeninhalt hat. c) Beim Kugelstoßen wird eine Kugel im Punkt A aus einer Höhe von 2,0 m unter einem Winkel von α = 42 bezüglich der Horizontalen abgestoßen und landet im Punkt B auf dem Boden. Als Weite werden 18, 6 m gemessen. Die Flugbahn der Kugel kann näherungsweise durch eine Parabel beschrieben werden. Bestimmen Sie die Gleichung der Flugbahn, berechnen Sie dabei die Parameter auf drei Stellen hinter dem Komma. Unter welchem Winkel β trifft die Kugel auf dem Boden auf? Freiburger-Verlag.de 5

4 Tipps 2. Exponentialfunktion Sonnenblume (GTR CAS) Tipps Analysis 1 Ganzrationale Funktion Kugelstoßen (GTR CAS) a) Schnittpunkte mit der x-achse erhalten Sie durch f t (x) = 0. Extrempunkte erhalten Sie mit Hilfe der 1. Ableitung, die Null sein muss. Mit Hilfe der 2. Ableitung können Sie Hoch- und Tiefpunkte unterscheiden. Beachten Sie, welche Werte t annehmen kann. Wendepunkte erhalten Sie mit Hilfe der 2. Ableitung, die Null sein muss. Überprüfen Sie die Existenz mit Hilfe der 3. Ableitung. Zur Flächenberechnung verwenden Sie die Nullstellen als Integrationsgrenzen und bestimmen eine Stammfunktion von f t (x). b) Skizzieren Sie die Problemstellung. Bestimmen Sie die Koordinaten von Q und P in Abhängigkeit von u. Überlegen Sie, wie lang die Grundseite und die Höhe des Dreiecks in Abhängigkeit von u sind und stellen Sie eine Flächeninhaltsfunktion ( A = 1 2 g h) für das Dreieck auf. Bestimmen Sie das Maximum der Flächeninhaltsfunktion durch zweimaliges Ableiten oder mit Hilfe des GTR. c) Bestimmen Sie die Koordinaten von A und B. Für die Steigung im Punkt A verwenden Sie die Formel m = tanα. Verwenden Sie als Ansatz eine allgemeine Parabelgleichung, leiten Sie diese ab und bestimmen Sie mit Hilfe der Punkte A und B sowie der Steigung m in A die drei Paramer der Parabelgleichung. Berechnen Sie die Steigung im Punkt B und den Auftreffwinkel mit der Formel m = tanβ. 2 Exponentialfunktion Sonnenblume (GTR CAS) a) Den Schnittpunkt mit der y-achse erhalten Sie durch Einsetzen von x = 0 in f t (x), den Schnittpunkt mit der x-achse durch Lösen der Gleichung f t (x) = 0. Extrempunkte berechnen Sie mit Hilfe der 1. Ableitung, Wendepunkte mit Hilfe der 2. Ableitung. Die Asymptote erhalten Sie durch x ±. b) Die Gleichung der Wendetangente bestimmen Sie mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form: y y 1 = m (x x 1 ). Verwenden Sie als Punkt (x 1 y 1 ) den Wendepunkt, die Steigung m erhalten Sie durch Einsetzen des x-werts des Wendepunkts in die 1. Ableitung. Freiburger-Verlag.de 13

5 Lösungen 1. Ganzrationale Funktion Kugelstoßen (GTR CAS) Lösungen Analysis 1 Ganzrationale Funktion Kugelstoßen (GTR CAS) a) Es ist f t (x) = 1 4 tx3 3tx 2 + 9tx; t > 0 Für die Ableitungen gilt: f t (x) = 3 4 tx2 6tx + 9t f t (x) = 3 tx 6t 2 f t (x) = 3 2 t Gemeinsame Punkte mit der x-achse erhält man durch f t (x) = 0: ( ) tx3 3tx 2 + 9tx = 0 x 4 tx2 3tx + 9t = 0 Daraus folgt, dass entweder x 1 = 0 oder 1 4 tx2 3tx + 9t = 0 ist. Lösen der quadratischen Gleichung mit Hilfe der pq- oder abc-formel ergibt x 2 = 6. Somit sind N 1 (0 0) und N 2 (6 0) gemeinsame Punkte von K t mit der x-achse. Extrempunkte erhält man durch f t (x) = tx2 6tx + 9t = 0. Lösen mit der pq- oder abc-formel ergibt: x 1 = 2 und x 2 = 6. Die zugehörigen y-werte sind y 1 = f t (2) = 8t und y 2 = f t (6) = 0. Zur Untersuchung auf Hoch- oder Tiefpunkte setzt man die x-werte in f t (x) ein. Wendepunkte erhält man durch f t (x) = 0. f t (2) = 3t < 0 H(2 8t) f t (6) = 3t > 0 T(6 0) 3 tx 6t = 0 x = 4 2 Der zugehörige y-wert ist y = f t (4) = 4t. Wegen f t (4) = 3 2 t > 0 folgt: W(4 4t) ist Wendepunkt von f t(x). Freiburger-Verlag.de 19

6 1. Ganzrationale Funktion Kugelstoßen (GTR CAS) Lösungen Den Flächeninhalt der von der Kurve und der x-achse eingeschlossenen Fläche erhält man mit Hilfe des Integrals. Die Integrationsgrenzen sind die Nullstellen: 6 A(t) = f t (x)dx = = 0 6 [ 1 16 tx4 tx tx2 0 ( ) 1 4 tx3 3tx 2 + 9tx dx ] 6 = 1 16 t 64 t t 62 = 27t Der Flächeninhalt beträgt damit 27t FE. b) Es ist f 1 (x) = 1 4 x3 3x 2 + 9x mit t > 0 0 ( 1 16 t 04 t ) 2 t 02 Für den Flächeninhalt des Dreiecks OQP gilt: A = 1 2 g h. Für die Grundseite g gilt: g = OQ = u, für die Höhe h gilt: h = QP = f 1 (u) = 1 4 u3 3u 2 + 9u. 20 Freiburger-Verlag.de

7 Lösungen 1. Ganzrationale Funktion Kugelstoßen (GTR CAS) Damit gilt für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von u: A(u) = 1 ( ) 1 2 u 4 u3 3u 2 + 9u = 1 8 u4 3 2 u u2 Mit Hilfe des GTR bestimmt man das Maximum: u = 3. Der y-wert des Punktes P ist y = f 1 (3) = = 6,75 Damit hat der Punkt P die Koordinaten P(3 6, 75). c) Die Flugbahn der Kugel ist näherungsweise eine Parabel, daher kann man als Ansatz g(x) = ax 2 + bx + c wählen mit a, b, c I R, a 0. Im Punkt A(0 2) ist der Abstoßwinkel α = 42, d.h. die Steigung der Tangente im Punkt A ist m = tan42 0,900 = g (0). Da g (x) = 2ax + b, gilt: g (0) = 2a 0 + b = 0,900 b = 0,900. Setzt man A(0 2) in g(x) ein, so erhält man: a b 0 + c = 2 c = 2. Setzt man B(18,6 0) in die Funktion g(x) ein, so erhält man: a 18,6 2 + b 18,6 + c = 0 bzw. 345,96a + 0,9 18,6 + 2 = 0 a 0,054. Somit hat die Parabel die Gleichung: g(x) = 0,054x 2 + 0,9x + 2 Um den Auftreffwinkel β zu bestimmen, berechnet man die Tangentensteigung in B(18,6 0) Freiburger-Verlag.de 21

8 1. Ganzrationale Funktion Kugelstoßen (GTR CAS) Lösungen mit Hilfe von g (x) = 0,108x + 0,9: g (18,6) = 0,108 18,6 + 0,9 1,109 Aus tanβ = 1,109 folgt β 47,96. Die Kugel trifft also unter einem Winkel von 47,96 auf dem Boden auf. 22 Freiburger-Verlag.de

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