x 2 +1=0? Wo sind die Nullstellen von x 2 +1 versteckt? 5. Lange Nacht der Mathematik Thomas Westermann Wo ist das Problem?

Transkript

1 =0? im n Wo sind die Nullstellen von versteckt? Thomas Westermann 5. Lange Nacht der Mathematik HS Karlsruhe 5. April 008

2 Parabeln y=x : Normalparabel Einfache Funktion Scheitel bei S=(0/0) Einen Schnittpunkt mit x-achse S im n y=: Parabel Einfache Funktion Scheitel bei S=(0/1) Keinen Schnittpunkt mit x-achse S

3 Scheitel von Parabeln y = x px + q Allgemeine Parabel p p p = ( + ( ) ) ( ) + p p = ( x ) ( ) + q 4 x x q p p S(, + q) 4 im n Nullstellen = Schnittpunkte mit der x-achse

4 Nullstellen p p S(, + q) 4 Nullstellen immer dann, wenn der Scheitel S einen negativen y-wert besitzt! Dann, wenn p + q 4 0 bzw. p 4 q 0 im n x px q + = 0 x 1/ p p = ± q 4 Nicht lösbar, wenn Radikant negativ! Leider!!

5 und Gleichungen N = {1,, 3, 4,...} + * x + n= 0 x = n im n Z = {..., -, -1, 0, 1,,...} + - * qx + p= 0 x p = q Q = {p/q: p Z und q N} + - * / x = 0 x = ±

6 Reelle R = {rationale + Wurzelzahlen + e + π + } / 1 3 R im n Alle quadratischen Gleichungen lösbar? x + = 1 0 Nein. Leider!! i = 1 Imaginäre Einheit

7 Gaußsche ebene i R im n i 0 1 re c } im R West-Ost-Achse: reelle gerade + Süd-Nord-Achse: imaginäre = ebene

8 Darstellung komplexer i R im n c c= re+ i im i 1 re c } im c1 = 3+ i c = + i 4 R

9 Betrag und Winkel i R im n c= re+ i im i 0 1 c ϕ re c= c (cos( ϕ) + isin( ϕ)) i c= c e ϕ c } im R Zahl gleich Null, falls c = 0.

10 Nullstellen im n Wo befinden sich die Nullstellen von? f (re + i im) = 0: Auf Meereshöhe!! im n y = x + 1 y x x = y x x = y x x = CAS Fundamentalsatz: Jedes Polynom vom Grade n hat (im n) n Nullstellen

11 Funktionen im n Und was macht die Phase? i R im n c i = c e ϕ i 1 c ϕ c R c = i e ϕ ϕ = ω t i t c= e ω CAS

12 Beschreibung von RCL-Wechselstromkreisen R C ~ L U B im n Ohmscher Widerstand R R Induktivität L RL = iω L Kapazität 1 C RC = i ω C Ω Ω Widerstände in Reihe addieren sich; bei Parallelwiderstände addieren sich die Leitwerte.

13 Beschreibung von RCL-Wechselstromkreisen R C ~ L im n U B R = R + R + R ges Ω L C = R + iω L i Ω 1 ω C 1 Rges = re + im = R + ( ω L ) ω C Ω 1 ω L im ω C tan( ϕ) = = re R Ω

14 Atomorbitale Gleichung für Elektronen im Wasserstoffatom? im n Ψ ( xyz,, ) +Ψ ( xyz,, ) +Ψ ( xyz,, ) + ( V E) Ψ ( xyz,, ) = 0 xx yy zz Schrödinger-Gleichung! Schon wieder Nullstellenproblem! Lösung: Atomorbitale Ψ ( ϑϕ,, r) = Q( l, m) P (cos( ϑ)) e R ( r) m imϕ ml, l nl, CAS

15 Mandelbrot-Mengen Nochmal eine Parabel: x x + c = 0 bzw. x = x + c Iterationsvorschrift z z c = + n+ 1 n im n Wir starten mit z 0 =0. Die Konvergenz der Iteration hängt nur von dem komplexen Parameter c ab. CSA Die Mandelbrot-Menge besteht aus der Menge von c-werten, bei denen die Iterationswerte nach einer bestimmten Anzahl von Durchgängen (z.b. 100) einen vorgegebenen Betrag (z.b. ) noch nicht überschritten haben.

16 Fraktale Beschreibung im n Eigenschaften - Gebilde entsteht durch eine Iteration (Rekursion) - Besitzt bei beliebiger Vergrößerung immer noch Feinstruktur - Selbstähnlich Fraktal

17 Zusammenfassung im n Es gibt Probleme, deren Lösung(en) in unserer Welt nicht existieren, die wir aber trotzdem imaginär attackieren können. Mit etwas Phantasie und Intuition findet man dann Zugang zu virtuellen Welten, imaginären Größen und komplexen Zusammenhängen! Am Erstaunlichsten ist, dass man damit sogar reale Probleme elegant beschreiben kann. Mitunter eröffnet dies auch eine neue Betrachtungsweise der Dinge oder macht eine Modellierung erst möglich!

18 Ende im n

19 Literatur T. Westermann, Mathematik für Ingenieure (mit Maple), 5. Auflage Springer-Verlag 008. T. Westermann, Mathematische Probleme lösen mit Maple, 3. Auflage Springer-Verlag 008. im n