- G1 - Grundlagen der Mathematik - Bruchrechnen - MSS Böblingen. Einstiegsaufgaben: Merke: a) Addieren von Brüchen. b) Subtrahieren von Brüchen.

Transkript

1 MSS Böblingen - Bruchrechnen - - G - Einstiegsaufgaben: a a a) + = 6x 4x a + a b) = 6x x a a c) = 6x 4x a a d) : = 6x 4x e) 7 = Merke: a) Addieren von Brüchen b) Subtrahieren von Brüchen c) Multiplizieren von Brüchen d) Dividieren von Brüchen e) Doppelbruch Übungsaufgaben: a) : 5a b) 0ab : 5 0 b a a b a d) + e) 8b x x 9a c) 7a a 6b y y a b 8x y f) 4xy ab a g) a + + a 5 0 x + y h) i) x y 4ab ( a + b) ( a + b) 4b Zum Umklappen: Lösungen: b a) b) a a+b d) e) x 4b 9 g) a 0 h) -y x-y c) 4b f) ax b i) b a Mildred-Scheel-Schule Böblingen

2 MSS Böblingen - Termumformungen - - G - Einstiegsaufgaben: a) (4a 5) (a ) + 4(-a + 5) = Merke: a) Rechenregeln b) 6a [7b (4a + b)] + [(a b) 7a] = b) Rechnen mit Klammern c) Multiplikation von Klammern c) (a + b)(a - 5b) = d) (x + y) = (x y) = (x )(x + ) = d) Binomische Formeln Übungsaufgaben: a) (5p + ) + (-p 8) (-4p 9) b) 5m(m n + ) 4m(m + n + ) c) -4(a + b ) + (a + b ) d) [-9a (b + 4c) + 0a] (a - 5b) + 6c e) x(5+x) + (5 + x) - 4 f) [a (6 a)] [4(-a + ) -5] g) (5 a)(a + ) + (a + ) h) (5x )(5x + ) (5x + ) Zum Umklappen: Lösungen: a) 5p - 9 b) -m 9mn m c) -a b d) a + b + c e) 9 x x f) 4a - 5 g) a 4 a + 4 h) 50x 0x -6 Mildred-Scheel-Schule Böblingen

3 MSS Böblingen - Rechnen mit Potenzen - - G - Einstiegsaufgaben: a) 8m m = 6ab b) = ab n+ n+ c) 6 = (0a ) d) = (5a) e) x = y Merke: Potenzgesetze a) a m a n b) m a n a c) a m b m d) m a m b m e) ( a ) n Übungsaufgaben: a) (a x+y ) (a x-y ) - b) 4 (9xy ) 4 (y) c) x a b d) 6 5 k k k- e) (4a + ) 6a 6a 4a + a f) m+ 4 4 ( a ) 4 m+ ( a ) g) x 5 5 x x 4 x h) 7 ( + ) a b 8 ( ) a b 4 4 ( a + b) : (a b) i) (a + b ) Zum Umklappen: Lösungen: a) a 4y b) 8x 4 y 4 c) d) 0 e) g) x x+ h) 6 4a- 7(a-b) 4 f) 5 = 6 i) a 4 + a b + b 4 (Binom) Mildred-Scheel-Schule Böblingen

4 MSS Böblingen - Lineare Gleichungen - - G4 - Einstiegsaufgaben: Bestimmen Sie die Lösungsmenge in G = R. a) [0 (x )] = 9(x ) 6(x ) Merke: Eindeutige Lösung: b) 4 5(x ) = 5 x - (x - ) Keine Lösung: c) (8x 7) + 4 = 0x + (x 5) Viele Lösungen: Übungsaufgaben: Bestimmen Sie die Lösungsmenge in G = R. ) x + 7 = ) 5 4x = 5 ) x = x + 4) 6 (x + 8) = x + 4 5) (x ) - = x - 5 6) ( - x) = ( x ) 7) 0x - (4 - x) = 5x -(6 - x) + 6 8) -4x + [ (x + ) ( x)]- = [( + x) 5(x + )] 9) (4x 5) - 6 = x (x + 4) (x + 7) 0) 8(4x + ) - 5(6x - 5) = 4(9x + 4) - 7(4x - 5) 5 Zum Umklappen: Lösungen: ) L = {5} ) L = {0} ) L = {-5} 4) L = { 5 4 } 5) L = R 6) L = 7) L = {4} 8) L = R 9) ) L = {0} 0) L = { } Mildred-Scheel-Schule Böblingen

5 MSS Böblingen - quadratische Gleichungen - - G5 - Grundgleichung: ax² + bx + c = 0; a 0 Lösungsformel: x, = b ± b² 4 a c a Aufgaben mit Lösungsformel: a) x² + x = 0 b) x ² x + 6 = 0 c) 9 x² 6x + = 0 Sonderfälle: d) x² 4 = 0 e) ( x 0,5) (0,75 + x) = 0 f) 0,5x ² 0,75x = 0 = g) ( x ) 9 Merke: a) Genau zwei Lösungen: b) Genau eine Lösung: c) Keine Lösung: d) Reinquadratische Gleichung: e) Satz vom Nullprodukt: f) Ausklammern: g) Wurzelziehen und lösen Übungsaufgaben: 5 a) x ² x = 0 b) x ² 8 = 0 c) (x + )² 6 = 4 d) 0,5x² x = -5 e) 5x² + 4x = 5 f) x² + x + = x g) 0,57x = 0,8 + 0,x² h) (x )(x + ) = 0 i) x(x ) + x² = ( x)( + x) Lösungen: (unsortiert für alle 6 Aufgaben) x, = ± x = -; x = 0,5 (=± ) x = -,5; x = 4 x, = 0 x = 0; x =,5 (keine Lösung) x, = ±4 x = - 4; x = x, = 6 x = -; x = 0 x = -; x = 6 x = -,8; x = 8 (keine Lösung) x =,5; x =, x = -; x = x = -6; x = 0 Mildred-Scheel-Schule Böblingen

6 MSS Böblingen - Lineare Funktionen - - G6 - Definition: f(x) = mx + b mit m, b R m 0 heißt lineare Funktion. m = Steigung b = y- Achsen-Abschnitt, (0 b) : Schnittpunkt mit der y- Achse Das Schaubild einer linearen Funktion ist eine Gerade. Sonderfall b = 0 Ursprungsgerade Übungsaufgaben: Aufgabe f(x) = x x IR Zeichnen Sie das Schaubild der Funktion. Aufgabe l Meter Band kostet 0,90. a) Stellen Sie die Funktionsgleichung (f(x) in für x in Meter) auf. b) Zeichnen Sie das Schaubild der Funktion. c) Lesen Sie aus dem Schaubild den Preis für,50 m;,5 m; 4,00 m ab. d) Wie viel Meter Band erhält man für 4,50 ; 6,00? Aufgabe Die Grundgebühr für einen Telefonanschluss beträgt monatlich,00. Eine Gesprächseinheit kostet 0,06. a) Stellen Sie die Funktionsgleichung (f(x) in für x in Einheiten) auf und zeichnen Sie das Schaubild der Funktion. b) Familie Sommer erhält für den Monat Mai eine Telefonrechnung über 6,00. Bestimmen Sie, wie viel Gesprächseinheiten mit diesem Betrag bezahlt werden. c) Im Juni ist die Tochter allein zu Hause und benötigt 5 Gesprächseinheiten. Welchen Betrag enthält die Telefonabrechnung? Mildred-Scheel-Schule Böblingen

7 Aufgabe 4 Eine Böblinger Schulklasse plant einen Tagesausflug nach Ludwigsburg. Von einem Busunternehmen erhält sie zwei Angebote: Angebot : Zu zahlen sind eine Grundgebühr von und zusätzlich für jeden gefahrenen Kilometer 0,80. Angebot : Es gibt keine Grundgebühr, aber jeder gefahrene Kilometer kostet,0. a) Stellen Sie für jedes Angebot die Funktionsgleichung auf und zeichnen Sie die Schaubilder der Funktionen. b) Ludwigsburg liegt 4,5 km von Böblingen entfernt. Wie viel kostet der Ausflug, wenn die Klasse das Angebot annimmt? Wie viel muss sie beim Angebot bezahlen? Welches Angebot ist günstiger? c) Wie viel Kilometer kann man für 4 bzw. 60 beim Angebot fahren, wie viel beim Angebot? d) Bei wie viel Kilometer Fahrtstrecke ergeben beide Angebote gleiche Kosten? Für welche Strecken wählt man Angebot l, für welche Angebot? Aufgabe 5 Gegeben sind die Geraden: f(x) = x g(x) = x h(x) = - x + a) Berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. b) Berechnen Sie die gemeinsamen Punkte der Geraden. c) Zeichnen Sie die Geraden in ein Schaubild. Mildred-Scheel-Schule Böblingen

8 Lösungen: Aufgabe Aufgabe a) y = 0,9x b) c),50 m,5,5 m,05 4 m,60 d) 4,50 5 m 6,00 6,67 m Aufgabe a) f(x) = 0,06x + b) Es wurden 50 Gesprächseinheiten vertelefoniert. c) Die Telefonrechnung betrug 8,50. Mildred-Scheel-Schule Böblingen

9 Aufgabe 4 a) f(x) = 0,8x + g(x) =,x b) Angebot : f(x) = 46 Angebot : f(x) = 5 c) Angebot : x = 5 km bzw. x = 60 km Angebot : x = 0 km bzw. x = 50 km d) x = 0 km, y = 6 Man nimmt bis 0 km Angebot und ab 0 km dann Angebot. Aufgabe 5 a) Schnitt mit der x-achse: f(x) = 0 x =,5 g(x) = 0 x = 4 h(x) = 0 x = Schnitt mit der y-achse: x = 0 f(x) = - g(x) = - h(x) = b) f(x) = g(x) x = und y = - 5 S( - 5 ) f(x) = h(x) x = 5 und y = S( 5 ) c) g(x) = h(x) x = 8 und y = - S( 8 - ) Mildred-Scheel-Schule Böblingen

10 MSS Böblingen - Parabeln - - G7 - Aufgabe : Gegeben ist die Parabel p:y= x x 4. a) Bestimmen Sie für p rechnerisch die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. b) Bestimmen Sie für p rechnerisch den Scheitelpunkt. Geben Sie die Parabelgleichung in der Scheitelform an. c) Zeichnen Sie die Parabel in ein Koordinatensystem. d) Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Punkt Q(-,5 8,75) auf der Parabel liegt. Aufgabe : Gegeben sind die Parabeln p und p, sowie die Gerade g durch: p : y = x 0,5x+ p :y = x(x ) 4 g: y = x a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitels von p. b) Erstellen sie für p eine Wertetabelle und zeichnen Sie die Schaubilder der Parabel p und der Geraden g in ein Koordinatensystem. c) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Parabel p mit der Geraden g. d) Berechnen Sie die Schnittpunkte von p mit der x- Achse. e) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Parabeln p und p. f) Eine zu g parallele Gerade h berührt die Parabel p. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h. Aufgabe : a) Nennen Sie Eigenschaften der Parabel p :y = (x+ ). Schneidet diese Parabel die x- Achse? (Begründung ohne Rechnung!) Geben Sie die Parabelgleichung in der allgemeinen Form an. b) Bestimmen Sie für die folgende Parabel die Schnittpunkte mit der x- Achse und die x- Koordinate des Scheitels: y = a(x )(x + 6) Wie muss a gewählt werden, damit die Parabel durch den Punkt R(0 6) verläuft? Mildred-Scheel-Schule Böblingen

11 Aufgabe 4: a) Bestimmen Sie zu den folgenden abgebildeten Parabeln jeweils die Parabelgleichung: b) Ordnen Sie (falls möglich) die nachfolgenden Parabeln den Schaubildern zu und ergänzen Sie die fehlenden Koordinatenachsen (mit Beschriftung): p : y = x 4x + p : y = x 4x + p : y = (x )( x) Mildred-Scheel-Schule Böblingen

12 Lösungen zum Übungsblatt Parabeln Aufgabe : a) Schnittpunkte mit der x- Achse: N (- 0), N (4 0) Schnittpunkt mit der y- Achse: S y (0-4) b) Scheitel S(,5-6,5) Scheitelform: y = (x,5)² - 6,5 c) Zeichnung: d) Punktprobe ergibt: Q p -G7- Aufgabe : a) Scheitel S(-0,5,5) b) Wertetabelle: x y c) p g: S (-6 -), S ( 0) d) Schnittpunkte von p mit der x-achse: N (0 0), N ( 0) p p : S (- ), S ( 0) e) f) h:y= x 4 Aufgabe : a) Die Parabel ist nach unten geöffnet, gepresst (verläuft breiter als die Normalparabel) und besitzt den Scheitel S(- -). Die Parabel schneidet die x-achse nicht, da sie nach unten geöffnet ist und der Scheitel unterhalb der x- Achse liegt. Allgemeine Form: y = x 4x 7 b) N( 0),N ( 6 0) ; xs =,5 ; a= Aufgabe 4: a) p : y = (x + ) + b) p :y = x p :y = (x ) Mildred-Scheel-Schule Böblingen