Lösungen zu Differentialrechnung IV-Extremalprobleme

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1 Diff rechnung IV Lösungen 1 Lösungen zu Differentialrechnung IV-Extremalprobleme 1. Ein Kugelstösser stösst eine Kugel. Die Flugbahn der Kugel lässt sich mit dem folgenden Gesetz beschreiben: H(t) = 1 35 x x+1.5 a) An welcher Stelle erreichte die Kugel die maximale Höhe und welche Höhe erreichte die Kugel an dieser Stelle? H (t) = 2 x+0.5 = 0 x = 8.75 H(8.75) = 3.69 Bei 8.75m erreichte die Kugel 35 die maximale Höhe von 3.69m. b) Wie weit wurde die Kugel gestossen? 2. Versehen 0 = 1 35 x x+1.5 x 1 = und x 2 = 2.61, wobei die zweite Lösung wegfällt. 3. Ein Reiter befindet sich mit seinem Pferd an der Stelle P(0 30). Vor der Rückkehr zur Ranch R(20 50) möchte er sein Pferd noch am Fluss tränken. a) Finde mit Konstruktion heraus: An welcher Stelle S(... 0) (x-achse) des Flusses muss er das Pferd tränken, damit der Gesamtweg PSR so kurz wie möglich wird? b) Finde mit Berechnung heraus und vergleiche mit a): An welcher Stelle S(... 0) (x-achse) des Flusses muss er das Pferd tränken, damit der Gesamtweg PSR so kurz wie möglich wird? [(7.5 0)] Z(x) = x (20 x) Z (x) = 0 x = 7.5 An der Stelle (7.5 0).. Lies zuerst den Text auf den letzten beiden Seiten zum Hund und dem Professor und beantworte danach folgende Frage: Das Ufer entspreche der x-achse. Der Mann wirft an der Stelle (10 0) den Ball ins Wasser an die Stelle (0 30), wobei das Koordinatensystem in Meter skaliert ist. An welcher Stelle muss der Hund ins Wasser springen, um möglichst schnell beim Ball zu sein? Aus dem Text entnehmen wir: v L = 6.m/s,v W = 0.91m/s. konkretes Beispiel, um die Aufgabe zu erfassen: Der Hund läuft bis (5 0) und springt dann ins Wasser. Es gilt: v = s/t t = s/v t L = 5/6. und t W = /0.91 Allgemein: t(x) = x/6.+ (10 x) /0.91 t (x) = 0 x = 5.69 Die x-koordinate beträgt =.31. An der Stelle ( ). 5. Die Anzahl Teilnehmer T an einem Velorennen hängt wie folgt von der Einschreibegebühr p ab: T(p) = 500 p Dazu kommen Fixkosten von Fr. und 0 Fr. Unkosten pro Teilnehmer. a) Wie hoch ist der Gewinn, wenn die Einschreibegebühr 50Fr. beträgt?

2 Diff rechnung IV Lösungen 2 Anzahl Teilnehmer: T(50) = = 300. Einnahmen: Fr. = 15000Fr., Ausgaben: 10000Fr Fr. = 22000Fr.. Gewinn: 15000Fr Fr. = 7000Fr.. b) Bei wievielen Teilnehmern wird der Gewinn maximal sein? Zielfunktion: Z(p)=(500 p)p (500 p) 0 = 500p p p = p p Z (p) = 8p+660 = 0 p = Teilnehmer. c) Wie hoch müssen die Einschreibegebühren mindestens sein, damit ein positiver Gewinn erzielt wird? Dies folgt direkt aus (b). 6. Gesucht sind zwei positive Zahlen, deren Summe 6 und die Summe der Kehrwerte extremal wird. Zielfunktion: Z(x,y) = 1 x + 1 y x+y = 6 x = 6 y Z(x,y) = 1 6 y + 1 y Z (y) = 1 (6 y) 2 1 y 2 = 0 Umformen: y 2 (6 y) 2 = 0 y y y 2 = 0 36 = 12y y = 3 x = 3. Z (y) = 2 2 (6 y) 3+ y 3 2 Z (3) = 2 (6 3) 3+ > 0, damit liegt das gewünschte Minimum vor Ein neuer Sportplatz mit einer 00m langen Laufbahn soll angelegt werden. Der Innenraum, der aus einem Rechteck mit zwei angesetzten Halbkreisen besteht, soll so bemessen sein, dass das Rechteck den grösstmöglichen Flächeninhalt bekommt. a) Mache Dir anhand der Zeichnungen klar, dass man Länge und Breite des Rechtecks und damit den Radius der Halbkreise variieren kann. Trotz des gleichbleibenden Umfangs (00m) des Ovals haben die Rechtecke unterschiedliche Proportionen und Flächeninhalte. Länge Breite Flächeninhalt 100m 63.66m 6366m 2 90m 70.03m 6303m 2 110m 57.30m 6303m 2 b) Welche Grösse soll extremal sein? Stelle eine Formel für diese Grösse auf (Die Formel sollte zwei unbekannte Variabeln enthalten). Der Flächeninhalt des Rechtecks soll maximal sein. x bezeichne die Länge des Rechtecks und y die Breite. Formel: Z(x,y) = x y. c) Stelle nun die Nebenbedinung auf. Überlege dazu: Welche Information wurde noch nicht gebraucht? Die Information mit dem Umfang wurde noch nicht gebraucht. 00 = 2x+2πr = 2x+2π y 2 = 2x+π y. d) Nebenbedinung nach einer Variablen auflösen und dann in die Formel einsetzen. Danach ableiten und 0 setzen. Wir lösen nach x auf.

3 Diff rechnung IV Lösungen 3 2x = 00 π y x = 200 π y ( Z(y) = 200 π y ) y = 200y πy2 2 Z (y) = 200 πy = 0 y = 200 π π 200 x = 200 π = Z (y) = π < 0, es liegt das gewünschte Maximum vor. 8. Eine Firma vermietet 100 Autos zu einem Preis von 300 F/Tag. Wenn sie die Automiete pro Tag um 30F senkt, kann sie 5 Autos mehr vermieten, bei weiteren 30F Senkung werden wiederum 5 Autos mehr vermietet, usw. a) Wieviel Miete muss die Firma verlangen, damit die Gesamteinnahmen pro Tag möglichst hoch sind? x entspricht der Anzahl von vermieteten Autos, y steht für den Mietpreis pro Tag. Die Zielfunktion entspricht den Gesamteinnahmen, d.h. Z(x, y) = x y. Wir können eine Zuordnung herstellen zwischen Anzahl vermieteter Autos und Höhe des Mietpreises. Diese Zuordnung ist linear. Wir können also den Ansatz f(x) = ax + b schreiben. f(100) = = 100a+b (Gl.1). f(105) = = 105a+b (Gl.2). Der TR liefert: a = 6 und b = 900. Somit ist f(x) = 6x+900. Aus f(x) = y folgt: y = 6x+900 (Gl.3). (Gl.3) einsetzen in die Zielfunktion: Z(x) = x( 6x+900) = 6x x Z (x) = 12x+900 = 0 x = 75 y = 50. b) Wie hoch wären in dem Fall die Tageseinnahmen? = 33750F. 9. Durch den Punkt P = ( 2) soll eine Gerade g so gelegt werden, dass das mit den Koordinatenachsen gebildete Dreieck den kleinstmöglichen Inhalt hat. In welchem Punkt schneidet g die x-achse und wie lautet die Gleichung von g? Schnittpunkt der Geraden mit der x-achse bei (x 0), mit der y-achse bei (0 y). Die Fläche des Dreiecks beträgt x y Die Zielfunktion lautet damit Z(x,y) = x y Es gilt der Strahlensatz: y x = 2 x y = 2x x. Z(x) = x 2 2x x = x2 x Z x(x 8) (x) = (x ) 2 = 0 x 1 = 0 und x 2 = 8, wobei die erste Lösung wegfällt. y = = Z (x) = 32 (x ) 3 Z (8) > 0, damit liegt das gewünschte Minimum vor.

4 Diff rechnung IV Lösungen Die Gleichung der Geraden g wird bestimmt. Die Steigung: Die Gerade geht durch die Punkte (0 ) und ( 2). Die Steigung beträgt damit 2 0 = 0.5. Der Schnittpunkt mit der y-achse ist gegeben er ist bei. Die Gleichung lautet damit: y = 0.5x Aus einem quadratischen Stück Karton von der Seitenlänge a sollen an den Ecken vier kongruente Quadrate herausgeschnitten werden. Die Figur kann danach zu einer Schachtel gefaltet werden. Bestimme die Grösse der Quadrate, wenn das Volumen der Schachtel maximal werden soll. Volumen der Schachtel: Z(x,y) = y 2 x. Es gilt: a = 2x+y y = a 2x. Z(x) = (a 2x) 2 x = (a 2 ax+x 2 )x = a 2 x ax 2 + x 3. Z (x) = a 2 8ax+12x 2 = 0. a 2 8ax+12x 2 = 0 (a 2x)(a 6x) = 0 x 1 = a/2 und x 2 = a/6, wobei die erste Lösung wegfällt. Z (x) = 8a+2x Z (a/6) = 8a+a = a < 0, damit liegt das gewünschte Maximum vor. 11. Ein neuer Sportplatz mit einer 00m langen Laufbahn soll angelegt werden. Der Innenraum, der aus einem Rechteck mit zwei angesetzten Halbkreisen besteht, soll so bemessen sein, dass der gesamte Innenraum den grösstmöglichen Flächeninhalt bekommt. A(x,r) = r 2 π+2rx 00 = 2rπ+2x x = 200 rπ A(r) = r 2 π+2r(200 r)= r 2 π+00r 2r 2 π = r 2 π+00r A (r) = 2rπ+00 = 0 r = 00 2π = 200 π x = 200 ( 200 )π = 0 Die Figur mit dem grösstmöglichen Flächeninhalt ist ein Kreis. π A (r) = 2π < 0, das gewünschte Maximum liegt vor. 12. Dem von der x-achse sowie den Geraden g 1 : 2x y = 0 und g 2 : 3x+y 30 = 0 gebildeten Dreieck ist ein Rechteck mit dem grösstmöglichen Flächeninhalt einzubeschreiben. Die linke untere Ecke des Rechtecks hat den Punkt (x 1 0), die rechte untere Ecke den Punkt (x 2 0). Die Breite des Rechtecks beträgt somit x 2 x 1. Die Höhe des Rechtecks können wir berechnen, indem wir x 1 in die erste Geradengleichung einsetzen: y = 2x 1, die Höhe beträgt somit 2x 1. Der Flächeninhalt ist die Höhe mal die Breite, das ergibt die Zielfunktion Z(x 1,x 2 ) = 2x 1 (x 2 x 1 ). Die Nebenbedinung ist hier schwierig zu sehen: Die linke obere Ecke hat die Koordinaten (x 1 2x 1 ), die rechte obere Ecke hat die Koordinaten (x 2 3x 2 +30). Damit ein Rechteck vorliegt müssen diese Punkte gleich hoch sein, wir können also schreiben: 2x 1 = 3x x 1 = 1.5x Einsetzen: Z(x 2 ) = 2( 1.5x 2 +15)(x 2 ( 1.5x 2 +15))= ( 3x 2 +30)(2.5x 2 15)= 7.5x x Z (x 2 ) = 15x = 0 x 2 = 8,x 1 = 3.

5 Diff rechnung IV Lösungen 5 Z (x 2 ) = 15 < 0, es liegt das gewünschte Maximum vor. 13. Die Punkte P = (6 0) und Q = ( 6 0) sind die Ecken eines gleichschenkligen Trapezes. Die anderen beiden Ecken R und S liegen auf der Parabel mit der Gleichung x 2 + y 36 = 0. Man berechne die Koordinaten von R und S für den Fall, dass das Trapez PQRS maximalen Flächeninhalt hat! ) (x 1 9 x2 1 Die rechte obere Ecke S hat die Koordinaten Symmetrie die Koordinaten ( x 1 9 ( x 1) 2 Die Höhe beträgt 9 x2 1. ) = Die Länge der Mittellinie beträgt: 12+2x 1 = 6+x 1. 2 ( x 1 9 x2 1 )., die linke obere Ecke R hat wegen der Der Flächeninhalt des Trapezes und damit die Zielfunktion lautet: Z(x 1 ) = (6+x 1 )(9 x2 1 ) = 9x 1 x x2 1 = x x x Z (x 1 ) = 0.75x 2 1 3x = 0 TR: x 1 = 2 und x 2 = 6, wobei x 2 wegfällt. Z (x 1 ) = 1.5x 1 3 Z (2) = = 6, das gewünschte Maximum liegt vor. Die Koordinaten berechnen: x 1 = 2 f(2) = 9 22 = 8. Damit lauten die Koordinaten: S=(2 8) und R=( 2 8). 1. In ein gleichseitiges Dreieck mit a=6cm kann man Rechtecke so einzeichnen, dass eine Seite auf der Grundseite des Dreiecks liegt und die übrigen beiden Ecken auf den anderen beiden Dreiecksseiten. Welches dieser Rechtecke besitzt den grössten Flächeninhalt? Z(x,y) = x y h 2 = = 27 h = 27 = = x/2 5.2 y = x 10. 2y y = 5.2x y = x. Z(y) = (6 1.15y)y = 6y 1.15y Z (y) = 6 2.3y = 0 y = 2.61 x = In das gleichseitige Dreieck mit a = 10cm sind gleichschenklige Dreiecke eingezeichnet. Berechne die Masse des gleichschenkligen Dreiecks, das den grössten Flächeninhalt besitzt. Z(x,y) = x y h 2 = = 75 h = 75 = = y/2 y/ = 8.66 x 8.66 x 0.58 = y x 10.0x 1.16x = y. Z(x) = x( x)= 10.0x 1.16x Z (y) = x = 0 x =.33 y = Z (y) = Welche Masse besitzt der Zylinder grössten Rauminhalts, der in einen Kegel mit dem Grundkreisdurchmesser d=10cm und ebenso langen Mantellinien passt? Bezeichnungen:

6 Diff rechnung IV Lösungen 6 r Z : Radius des Zylinders h Z : Höhe des Zylinders r K = 5cm: Radius des Kegels h K : Höhe des Kegels V(r Z,h Z ) = r 2 Z π h Z h 2 K = = 75 h K = 75 = = r Z r Z = 5(8.66 h Z) h Z 8.66 ( ) 2 5(8.66 hz ) V(h Z ) = π h Z V (h Z ) = 0 h Z = 2.89 (oder h Z = 8.66, wobei diese Lösung wegfällt) h Z = 2.89 r Z = V (h Z ) = 1.21 < 0 das gewünschte Maximum liegt vor. 17. Wie gross sind die Masse (Höhe, Radius) des volumenmässig grössten Zylinders, den man in eine Kugel (r K =30cm) einbeschreiben kann? Die Zielfunktion ist das Volumen des Zylinders: Z(h,r Z ) = rz 2πh. ( ) 2 ( ) 2 rz h Die Nebenbedingung lautet: + = 900 r2 Z h2 = r2 Z = 3600 h2 Z(h) = (3600 h 2 )πh = 3600h h 3 Z (h) = h 2 = 0 h = ±3.6, wobei die negative Lösung wegfällt h = 3.6. Dazu erhalten wir: r Z = 9. Z (h) = 6h Z (3.6) < 0, es liegt das gewünschte Maximum vor.

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