2.1 Beschreibung von Mengen 2.2 Formale Logik 2.3 Beziehungen zwischen Mengen 2.4 Mengenoperationen

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1 2. Mengen 2.1 Beschreibung von Mengen 2.2 Formale Logik 2.3 Beziehungen zischen Mengen 2.4 Mengenoperationen 2. Mengen GM 2-1

2 Wozu Mengen? In der Mathematik Au dem Mengenbegri kann man die gesamte Mathematik aubauen: Mengen, Relationen, Abbildungen, In der Inormatik Deinition: Ein Alphabet ist eine endliche, nichtleere Menge von Symbolen. Deinition: Ein endlicher Automat ist ein System A = (Σ, S, δ, s 0, F). Dabei ist Σ das Eingabealphabet und S die Zustandsmenge von A, s 0 S ist der Startzustand, F S die Menge der Endzustände und die Abbildung δ:s Σ S die Zustandsüberührungsunktion von A. 2. Mengen GM 2-2

3 Beispiele ür Mengen - Die Menge der Studierenden der Hochschule Trier - Die Menge der natürlichen Zahlen zischen 5 und 10: {6, 7, 8, 9} - Die Menge mit den Elementen Liebe, Gesetz und Schornsteineger - Die Menge der Symbole eines Alphabets - Die Menge der Zustände eines Automaten - Die Menge der Endzustände eines Automaten - Die Menge aller Polsterarben, die sich mit der Lackarbe Tieseeblau kombinieren lassen Lackarbe Kaskadenblau Floraviolett Glutrot Oasengrün Schneeeiß Vulkanrot Tieseeblau Dschungelgrün Meteorgrau Mondsilber 2. Mengen Polsterarbe Schieergrau Blauviolett Petrol Ziegelrot " " " " " " " " GM 2-3

4 Cantorsche Deinition einer Menge Unter einer Menge verstehen ir jede Zusammenassung M von bestimmten ohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (elche Elemente von M genannt erden) zu einem Ganzen. 2. Mengen GM 2-4

5 2.1 Beschreibung von Mengen Beschreibung durch Auzählung ihrer Elemente: M = { 5, 3, 11, 14 } N = { Liebe, Gesetz, Schornsteineger } O = { 1, blau, 2 } { 1, 3, 8 } = { 3, 8, 1 } 11 { 5, 3, 11, 14 } 12 { 5, 3, 11, 14 } Beschreibung durch eine charakteristische Eigenschat: M = { x x hat die Eigenschat E } x M genau dann, enn x die Eigenschat E hat. Beispiele: M = { x x =3 oder x=5 } (es gilt dann M = { 3, 5 } M = { x x IN und x>8 } IN = { 0, 1, 2, 3, } bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen. Statt M = { x x IN und x>8 } schreiben ir auch einacher M = { x IN x>8 } 2.1 Beschreibung von Mengen GM 2-5

6 Deinition 2.1.1: Leere Menge Ø = { x x x } heißt die leere Menge. Mengen können auch Mengen als Element enthalten: A = { 0, 1} B = { 1, 2, 3 } C = { A, B } D = { A, Ø, 5 } 2.1 Beschreibung von Mengen GM 2-6

7 Russelsche Antinomie M = { x x x } Dann ist x M genau dann, enn x x. Gilt M M? D.h. ist x=m auch in M als Element enthalten? Dann äre M M genau dann, enn M M. 2.1 Beschreibung von Mengen GM 2-7

8 Wen rasiert der Dorbarbier? Barbier: Ich rasiere alle die Leute im Dor, die sich nicht selber rasieren. Mathematiker: Rasieren Sie sich selbst? Barbier: Ja. Mathematiker: Das kann nicht sein, denn Sie rasieren nur die, die sich nicht selber rasieren. Barbier: Also nein. Mathematiker: Das kann auch nicht sein, denn Sie rasieren alle Beohner des Dores, die sich nicht selber rasieren. 2.1 Beschreibung von Mengen GM 2-8

9 2.2 Formale Logik Wahrheitserte Logische Verknüpungen Tautologien Quantoren 2.2 Formale Logik GM 2-9

10 Mehrdeutigkeiten bei und und oder Heiner ist krank und es regnet. Heiner urde krank und der Arzt verordnete eine Medizin. Der Arzt verordnete eine Medizin und Heiner urde krank. Hände hoch, oder ich schieße! Die Ausuhr von Gold oder Edelsteinen ist verboten. Welche Polsterarben lassen sich mit der Lackarbe Tieseeblau oder Dschungelgrün kombinieren? Lackarbe Kaskadenblau Floraviolett Glutrot Oasengrün Schneeeiß Vulkanrot Tieseeblau Dschungelgrün Meteorgrau Mondsilber 2.2 Formale Logik Polsterarbe Schieergrau Blauviolett Petrol Ziegelrot " " " " " " " " GM 2-10

11 Anendung ormaler Logik Wissensbasierte Systeme Wissensbasis Inerenzmaschine Benutzungsschnittstelle Shell 2.2 Formale Logik GM 2-11

12 Deinition 2.2.1: Logische Verknüpungen Aussagen können die Wahrheitserte (ahr) oder (alsch) annehmen. Durch olgende Wahrheitstaeln deinieren ir Verknüpungen von Aussagen P und Q: Negation (nicht P) Konjunktion (P und Q) Disjunktion (P oder Q) P P P Q P Q P Q P Q Übungsaugabe Implikation (enn P, dann Q) Äquivalenz (Q genau dann, enn P) P Q P Q P Q P Q 2.2 Formale Logik GM 2-12

13 Deinition 2.2.2: Tautologie Eine aussagenlogische Formel mit den Aussagenvariablen P, Q, R,... heißt allgemeingültig (oder Tautologie), enn bei jeder Zuordnung (Belegung) von Wahrheitserten zu P, Q, R,... die Formel den Wahrheitsert annimmt. 2.2 Formale Logik GM 2-13

14 Satz 2.2.1: Tautologien Es seien P, Q und R Aussagenvariablen. Dann sind die olgenden aussagenlogische Formeln allgemeingültig: a) P (P Q) b) (P Q) P c) ((P Q) (Q R)) (P R) (modus barbara) d) (P (P Q)) Q (modus ponens) e) ((P Q) Q) P (modus tollens) ) ((P Q) ) (P Q) (indirekter Beeis) Übungsaugabe Formale Logik GM 2-14

15 Deinition 2.2.3: Äquivalenz von Formeln Zei aussagenlogische Formeln mit den Aussagenvariablen P, Q, R,... heißen äquivalent, enn bei jeder Zuordnung (Belegung) von Wahrheitserten zu P, Q, R,... beide Formeln den gleichen Wahrheitsert haben. Wir drücken dies durch das Zeichen aus. 2.2 Formale Logik GM 2-15

16 Satz 2.2.2: Gesetze der Aussagenlogik Es gelten olgende Äquivalenzen aussagenlogischer Formeln: P Q Q P P Q Q P P (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) (P R) P P P P P P P P Kommutativität Distributivität neutrale Elemente Komplement Übungsaugabe Formale Logik GM 2-16

17 Satz 2.2.3: eitere Gesetze der Aussagenlogik Es gelten olgende Äquvalenzen aussagenlogischer Formeln: P P P P P P P P P (P Q) P P (P Q) P P (Q R) (P Q) R P (Q R) (P Q) R (P Q) P Q (P Q) P Q ( P) P Idempotenz Absorption Assoziativität De Morgansche Gesetze 2.2 Formale Logik GM 2-17

18 Deinition 2.2.4: Aussageorm und Quantoren Ersetzt man in einer Aussage P irgendeine Konstante durch eine Variable x, so entsteht eine Aussageorm P(x). Die Aussage Für alle x M gilt P(x) ist ahr genau dann, enn P(x) ür alle x M ahr ist. Abkürzend schreibt man ür diese Aussage x M: P(x) Die Aussage Es gibt ein x M, sodass P(x) ist ahr genau dann, enn P(x) ür mindestens ein x M ahr ist. Abkürzend schreibt man ür diese Aussage x M: P(x) 2.2 Formale Logik GM 2-18

19 Satz 2.2.4: Rechenregeln ür Quantoren Für Ausageormen P(x) und Q(x) gelten olgende Äquvalenzen: x: P(x) x: P(x) x: P(x) x: P(x) ( x: P(x) x: Q(x)) x: P(x) Q(x) ( x: P(x) x: Q(x)) x: P(x) Q(x) Übungsaugabe Formale Logik GM 2-19

20 Beschreibung der Eigenschaten einer Menge Mit den Verknüpungen der Formalen Logik können ir die Eigenschaten der Elemente einer Menge präziser ormulieren: Beispiele: M = { x x=3 x=5 }= { 3, 5 } M = { x x IN x>8 } = { 9, 10, 11, 12, } M = { x IN x<8 (x=5) } = { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7 } M = { x IN y IN: x=3y } = { 0, 3, 6, 9, } Übungsaugaben bis Formale Logik GM 2-20

21 2.3 Beziehungen zischen Mengen Teilmengen Gleichheit von Mengen Potenzmengen 2.3 Beziehungen zischen Mengen GM 2-21

22 Deinition 2.3.1: Teilmenge Es seien A und B Mengen. A heißt Teilmenge von B, geschrieben A B, alls ür alle x gilt: x A x B. B x A Übungsaugabe Beziehungen zischen Mengen GM 2-22

23 Deinition 2.3.2: Gleichheit von Mengen Es seien A und B Mengen. A und B sind gleich, geschrieben A=B, alls A B und B A. Für (A=B) schreiben ir ie üblich A B. Übungsaugabe Beziehungen zischen Mengen GM 2-23

24 Deinition 2.3.3: Echte Teilmenge Es seien A und B Mengen. A heißt echte Teilmenge von B, geschrieben A B, alls A B und A B. Übungsaugaben und Beziehungen zischen Mengen GM 2-24

25 Deinition 2.3.4: Potenzmenge Es sei M eine Menge. P (M) = { A A M } heißt Potenzmenge von M. Übungsaugabe Beziehungen zischen Mengen GM 2-25

26 2.4 Mengenoperationen Vereinigung Durchschnitt Dierenz Komplement 2.4 Mengenoperationen GM 2-26

27 Deinition 2.4.1: Vereinigung Seien A und B Mengen. A B = { x x A x B } heißt Vereinigung von A und B. A B A B 2.4 Mengenoperationen GM 2-27

28 Satz 2.4.1: Gesetze der Vereinigung Seien A und B Mengen. Dann gilt: a) A B = B A (Kommutativität) b) A Ø = A c) A A B d) A B A B = B Übungsaugabe Mengenoperationen GM 2-28

29 Deinition 2.4.2: Durchschnitt Seien A und B Mengen. A B = { x l x A x B } heißt Durchschnitt von A und B. A A B B 2.4 Mengenoperationen GM 2-29

30 Satz 2.4.2: Gesetze des Durchschnitts Seien A und B Mengen. Dann gilt: a) A B = B A (Kommutativität) b) A Ø = Ø c) A B A d) A B A B = A Übungsaugaben und Mengenoperationen GM 2-30

31 Satz 2.4.3: Distributivgesetze Seien A, B und C Mengen. Dann gilt: a) A (B C) = (A B) (A C) b) A (B C) = (A B) (A C) Übungsaugabe Mengenoperationen GM 2-31

32 Deinition 2.4.3: Dierenz Seien A und B Mengen. A\B = { x l x A x B } heißt Dierenz von A und B oder auch A ohne B. A B A\B Übungsaugabe Mengenoperationen GM 2-32

33 Deinition 2.4.4: Komplement Sei A Teilmenge der Grundmenge G. A = G \ A heißt Komplement von A bezüglich G. G A A 2.4 Mengenoperationen GM 2-33

34 Satz 2.4.4: Komplement Sei A Teilmenge der Grundmenge G. Dann gilt: a) A A = Ø b) A A = G Übungsaugabe Mengenoperationen GM 2-34

35 Satz 2.4.5: Gesetze der Mengenoperationen Es seien A, B und C Teilmengen der Grundmenge G. Dann gilt: A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A G = A A Ø = A A A = Ø A A = G Kommutativität Distributivität neutrale Elemente Komplement 2.4 Mengenoperationen GM 2-35

36 Satz 2.4.6: eitere Gesetze der Mengenoperationen Es seien A, B und C Teilmengen der Grundmenge G. Dann gilt: A A = A A A = A A Ø = Ø A G = G A (A B) = A A (A B) = A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A B = A B A B = A B Idempotenz Absorption Assoziativität De Morgansche Gesetze A = A Ø = G G = Ø 2.4 Mengenoperationen GM 2-36

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