Theoretische Informatik: Logik

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1 Theoretische Informatik: Logik Vorlesung im Wintersemester 2010/11 Martin Lange, Bahareh Badban, Norbert Hundeshagen, Marcel Vollweiler, Kadir Aytemür, Stephan Opfer FG Formale Methoden und Verifikation (Arbeitstitel) FB Elektrotechnik/Informatik Universität Kassel 8. Februar 2011

2 Organisatorisches

3 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 1.0 Organisatorisches 3 Inhalt 1 Motivation und Geschichte Woher kommt die Logik, wofür ist sie gut und wozu braucht man sie in der Informatik? 2 Aussagenlogik 3 Prädikatenlogik erster Stufe 4 Logikprogrammierung

4 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 1.0 Organisatorisches 4 Termine Vorlesung 3std., montags 9:00 9:45 (WA 0425) und 14:15 15:45 (WA 0446) 4 Übungsgruppen, jeweils 1std. G1 Dienstag 10 11, WA G2 Dienstag 15 16, WA-Neubau G3 Mittwoch, 12 13, WA G4 Donnerstag, 10 11, WA 1114 Angebot: 1 Übungsgruppe in Englisch Homepage der Vorlesung:

5 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 1.0 Organisatorisches 5 Literatur Vorlesungsfolien Skripten: Vorlesung Logik für Informatiker, LMU München, SS 2008, Prof. Hofmann Vorlesung Mathematische Logik, RWTH Aachen, SS 2008, Prof. Grädel Lehrbücher: Uwe Schöning, Logik für Informatiker, Spektrum Verlag Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas, Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Verlag andere: Uli Furbach, Logic for Computer Scientists, Wikibook auf for Computer Scientists

6 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 1.0 Organisatorisches 6 Übungsblätter wöchentliches Übungsblatt; Ausgabe montags nachmittags online Bearbeitung als Hausaufgabe Bearbeitung in Gruppen zulässig (und empfohlen) Aufschreiben der Lösungen einzeln! Abgabe 1 Woche später über Postkasten oder in der Vorlesung Korrektur: Feedback über Kommentare und Notensystem (1 5) Besprechung des Übungsblatts und Rückgabe der Hausaufgaben wiederum 1 Woche später in Übungsgruppen

7 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 1.0 Organisatorisches 7 Prüfung Modul wird durch Klausur am Ende des Semesters geprüft Zulassungsvoraussetzung: 75% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet (= 1 4) Nachholklausur im nächsten Semester Klausur wird so gestellt, dass Erreichen der hier definierten Lernziele abgeprüft wird!

8 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 1.0 Organisatorisches 8 Lernziele Zielgruppe: Pflichtmodul im Bachelor-Studiengang Informatik nach erfolgreicher Teilnahme an dieser Veranstaltung soll man wichtige logische Begriffe wie Beweis, Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit kennen und damit umgehen können, in der Lage sein, formal die Richtigkeit einer Aussage mit Bezug auf die Informatik darlegen zu können, Aussagen- und Prädikatenlogik erster Stufe, etc. kennen und verstehen, Entscheidungsverfahren und Beweiskalküle für solche Logiken kennen und anwenden können, Logik-Tools (z.b. Theorembeweiser) kennengelernt haben.

9 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 1.0 Organisatorisches 9 Logik Lernen Vorlesung dient der Präsentation des zu erlernenden Stoffs Übung dient zur Überprüfung der Aneigung des zu vermittelnden Wissens Aneignung des zu vermittelnden Wissens geschieht durch aufmerksame (mindestens passive, gerne auch aktive) Teilnahme an der Vorlesung aktive Teilnahme an der Übung ganz wichtig: rigoroses Bearbeiten der Übungsblätter ergänzendes Tutorium: jeweils 1std. im Anschluss an Übungsgruppen

10 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 1.0 Organisatorisches 10 Richtlinien für die Übungsblätter Aneignung wichtiger Qualifikationen, die von einem Informatiker mit Hochschulabschluss erwartet werden intensive und dauerhafte Auseinandersetzung mit dem Lernstoff vollen Zeitraum einer Woche ausschöpfen Bearbeitung in Gruppenarbeit (Faustregel: 3 4), Aufschreiben alleine Lösungen immer begründen (nicht in Romanform)

11 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 1.0 Organisatorisches 11 Schwarzbuch Übungsblatt runterladen, 30min anstarren, zu schwer, weg damit nach Musterlösungen fragen nur passiv an Übungsgruppen teilnehmen Hausaufgaben während Vorlesungszeit abschreiben, dann vor Klausur 1 Woche intensiv lernen anhand von Lösungen statt von Aufgaben lernen Vorlesungsfolien mit einem Skript verwechslen

12 Motivation und Geschichte Geschichte der Logik Logik und Informatik

13 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 2.1 Motivation und Geschichte Geschichte der Logik 13 Aufgaben der Logik Logik (aus Griechischem) = Lehre des vernünftigen Schließens, Kunst des Denkens (ursprünglich) Logik ist Teilgebiet von Philosophie, Mathematik und Informatik Philosophie: liefert Fundament für Argumentationen, formalisiert Wahrheitsbegriff Mathematik: formalisiert Beweise Informatik: enge Beziehungen zum Begriff der Berechenbarkeit

14 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 2.1 Motivation und Geschichte Geschichte der Logik 14 Ausprägungen je nach Zuordnung in verschiedener Ausprägung Logik der natürlichen Sprache beschäftigt sich vor allem mit der Gültigkeit von Argumentationen formale Logik oder auch mathematische Logik basiert auf künstlicher Sprache (Formeln) studiert Auswirkungen verschiedener Schlussregeln, etc. Umgangsprache beschreibt laterales Denken oder rationales Handeln in dieser Vorlesung: mathematische Logik

15 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 2.1 Motivation und Geschichte Geschichte der Logik 15 Ursprünge der Logik entstanden in der griechischen Philosophie, insbesondere durch Aristoteles und Euklid Aristoteles untersuchte Syllogismen (natürlichsprachliche Schlussregeln), mit deren Hilfe eine Aussage aus anderen folgt Bsp.: Aussage 1: Es regnet. Aussage 2: Wenn es regnet, dann wird die Straße nass. Daraus folgt, dass die Straße nass ist. Die hier angewandte Schlussregel nennt man Modus Ponens.

16 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 2.1 Motivation und Geschichte Geschichte der Logik 16 Euklids Beweisbegriff Euklid hat den Begriff des Beweises formalisiert: Beweis für eine Aussage A ist eine Sequenz A 0,..., A n von Aussagen, sodass A = A i für ein i {0,..., n}, und für alle i = 0,..., n gilt entweder A i ist Axiom (= unbewiesene Annahme), oder A i folgt aus A 0,..., A i 1 mithilfe von Schlussregeln liefert relativen Wahrheitsbegriff: Aussage A kann mit gewissen Axiomen und Regeln beweisbar sein, mit anderen jedoch nicht

17 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 2.1 Motivation und Geschichte Geschichte der Logik 17 Euklids Geometrie für Euklid war Formalisierung des Beweisbegriffs Mittel zum Zweck interessant für ihn war Geometrie, die er mithilfe von geometrischen und logischen Axiomen (Postulaten) fundiert hat Bsp.: Zu gegebenem Mittelpunkt und Radius lässt sich ein Kreis zeichnen. Ist x gleich z und y gleich z, so ist auch x gleich y.... Maßgabe für die Wahl der Axiome war, die Wirklichkeit abzubilden, nicht jedoch eine Geometrie zu schaffen

18 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 2.1 Motivation und Geschichte Geschichte der Logik 18 Euklids fünftes Postulat Zu einer Gerade g und einem Punkt p außerhalb von g gibt es genau eine Gerade g, die durch p geht und zu g parallel ist. erscheint im Vergleich zu anderen Postulaten recht kompliziert Versuche, dieses aus anderen Postulaten herzuleiten alle Versuche misslangen über 2000 Jahre hinweg erst ca ersetzen Bolyai und Lobatschewski dies durch andere Axiome und erhielten sehr zur Überraschung widerspruchsfreie Geometrien bei Lobatschweski z.b. lassen sich mindestens zwei verschiedene, parallele Geraden durch den Punkt ziehen

19 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 2.1 Motivation und Geschichte Geschichte der Logik 19 Logik in der Neuzeit Kant betrachtete die Wissenschaft der Logik mit Aristoteles Syllogismen als abgeschlossen nicht jeder hielt sich jedoch an die Vorgabe, z.b. Boole und de Morgan Boole betrachtete Logik als mathematischen Kalkül mit Werten 0 und 1 (falsch und wahr) und entsprechenden Rechenregeln sehr bedeutend war Frege, der versuchte, die gesamte Mathematik auf ein logisches Fundament zu stellen die Mengentheorie; dazu entwickelte er Prädikatenlogik als formale Sprache und entsprechende Beweissysteme Russell und Zermelo fanden in Freges Mengentheorie jedoch einen Widerspruch

20 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 2.1 Motivation und Geschichte Geschichte der Logik 20 Die Russellsche Antinomie Def.: Sei M die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten. Frage: Enthält M sich selbst? dasselbe Prinzip: Martin sagt Martin lügt. Spricht er die Wahrheit, oder lügt er? In einem Dorf gibt es einen Barbier, der alle Dorfbewohner rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert er sich selbst? Auswege für die Mathematik: Typtheorie von Russell und Whitehead Mengenlehre von Zermelo

21 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 2.1 Motivation und Geschichte Geschichte der Logik 21 Weitere bedeutende Logiker und ihre Arbeiten Gentzen: System des natürlichen Schließens und Sequenzenkalkül Löwenheim und Skolem: Semantik der Prädikatenlogik Gödel: Vollständigkeit der Prädikatenlogik erster Stufe und Unvollständigkeit der Arithmetik Tarski: ebenfalls Prädikatenlogik

22 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 2.2 Motivation und Geschichte Logik und Informatik 22 Logik für die Informatik Entwicklungen in der Logik haben maßgeblich zur Entwicklung der Informatik beigetragen Boolesche Algebra und Schaltkreise Hilberts Programm: wollte gesamte Mathematik logisch fundieren und Konsistenz bewiesen sehen; Unmöglichkeit dessen von Gödel gezeigt Unentscheidbarkeit des Entscheidungsproblems für Prädikatenlogik erster Stufe durch Turing und Church gezeigt; Entwicklung der Turing-Maschine (= abstrakter, universeller Computer)

23 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 2.2 Motivation und Geschichte Logik und Informatik 23 Logik in der Informatik Rechnerarchitektur: Schaltkreise und logische Formeln; Aussagenlogik logische Programmiersprachen wie z.b. Prolog Programmverifikation: operationelle Semantik eines Programms als mathematische Struktur, erwünschte Eigenschaft des Programms als logische Formel; meist spezialisierte Logiken Datenbanktheorie: Datenbank wiederum als mathematische Struktur, Anfragen daran als Auswertung einer logischen Formel darin; meist Prädikatenlogik Wissensrepräsentation: Wissen durch Formeln beschrieben, Herleitung von neuem Wissen durch logische Herleitungen darauf; meist spezialisierte Logiken...

24 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 2.2 Motivation und Geschichte Logik und Informatik 24 Informatik für die Logik leistungsstarke Rechner und Software haben auch zu entscheidenden Entwicklungen in der Logik beigetragen Theorembeweiser erlauben das Finden und Überprüfen sehr großer Beweise Beweis des 4-Farben-Satzes: erst Reduktion von unendlich vielen auf endlich viele Fälle, dann Überprüfung derer mit einem Computer SAT-Solver: mittlerweile sehr leistungsstarke Tools zum Lösen des Erfüllbarkeitsproblems der Aussagenlogik, dadurch auch besonders interessant...

25 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 2.2 Motivation und Geschichte Logik und Informatik 25 Facetten der Logik zwei Arten, den Begriff der Wahrheit in einer formalen Logik zu erklären Modelltheorie: Wahrheitsbegriff erklärt durch Interpretation von Formeln in Modellen Beweistheorie: Wahrheitsbegriff erklärt durch Axiome und Beweisregeln hier: beides

26 Aussagenlogik Syntax und Semantik Boolesche Algebra Erfüllbarkeit SAT-Solver Kompaktheit Beweiskalküle

27 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 27 Einführendes Beispiel Norbert sagt Marcel sagt die Wahrheit. Marcel sagt Bahareh lügt. Bahareh sagt Norbert und Marcel sagen entweder beide die Wahrheit oder lügen beide. Wer lügt, und wer sagt die Wahrheit?

28 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 28 Syntax der Aussagenlogik Wir setzen eine Menge V = {A, B, C,...} von Aussagenvariablen voraus. Formeln der Aussagenlogik (über V) sind induktiv definiert durch: Jeder Aussagenvariable A ist eine Formel. Die Konstanten tt und ff sind Formeln. Sind ϕ und ψ Formeln, so sind auch (ϕ ψ) (ϕ ψ) ϕ (ϕ ψ) (ϕ ψ) Formeln. ( und ) ( oder ) ( nicht ) ( wenn-dann ) ( genau-dann-wenn )

29 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 29 Präzedenzregeln zur besseren Lesbarkeit lassen wir auch Klammern weg (z.b. ganz außen) Bindungskraft der Operatoren (auch Junktoren genannt) in absteigender Reihenfolge:,,,, soll heissen: ((A ( (B C))) (C A)) schreiben wir auch als A (B C) C A

30 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 30 Interpretationen Def.: Sei B = {0, 1} Menge der Booleschen Werte falsch und wahr. Def.: Eine Interpretation (Variablenbelegung) ist eine Abbildung I : V B. Interpretationen können Modelle einer Formel sein; diese Beziehung ist induktiv definiert: I = tt, I = ff und I = A gdw. I(A) = 1 I = ϕ ψ gdw. I = ϕ und I = ψ I = ϕ ψ gdw. I = ϕ oder I = ψ I = ϕ gdw. I = ϕ I = ϕ ψ gdw. wenn I = ϕ dann I = ψ I = ϕ ψ gdw. I = ϕ genau dann, wenn I = ψ Beachte Unterscheidung zwischen Formeln ff, tt (Syntax) und zugeordneten Werten 0, 1 (Semantik)

31 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 31 Beispiele Bsp.: I = {A 1, B 0, C 1, D 0} I = (A B) (C D) I = ( A B) ( C D) I = A B I = A B I = A B I = A B I = (A B) (C D) I = ( D ff)

32 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 32 Beispiel Logik über anonymen Aussagenvariablen für Theorie der Wahrheit beliebiger Aussagen Formeln lassen sich natürlich mit konkreten Aussagen instanziieren Bsp. (weitergef.): Norbert sagt Marcel sagt die Wahrheit. Marcel sagt Bahareh lügt. Bahareh sagt Norbert und Marcel sagen entweder beide die Wahrheit oder lügen beide. Lösung erfordert Formalisierung; drei Variablen B, M, N mit intendierter Bedeutung: Bahareh sagt die Wahrheit (B),... obiger Sachverhalt wird beschrieben durch die Formel (N M) (M B) (B (M N)) jedes Modell dieser Formel beschreibt Lösung des Rätsels

33 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 33 Alternative Definitionen der Semantik zur Erinnerung: Interpretation einer Formel = Variablenbelegung I : V B erfüllende Interpretation = Modell alternative Repräsentationen für gleiche Semantik Interpretation ist Teilmenge der Variablenmenge W V Übung: definiere induktiv, was W = ϕ bedeutet beachte: Abbildung I definiert in natürlicher Weise Teilmenge W I = {A V I(A) = 1} Interpretation wird induktiv fortgesetzt zu I : AL B I(ϕ ψ) := min{i(ϕ), I(ψ)} Übung: definiere die Fortsetzung für die anderen Junktoren

34 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 34 Formeln und Boolesche Funktionen eine Formel ϕ mit n vorkommenden Aussagenvariablen A 1,..., A n stellt eine Funktion vom Typ B n B dar es gibt nur 2 n viele Interpretationen, die sich in A 1,..., A n unterscheiden; also gibt es nur 2 n viele verschiedene Eingaben an ϕ Funktionswert 1 besagt, dass die durch Argumente gegebene Interpretation ein Modell ist Funktionen mit endlichem Domain können durch Tabellierung aller Argumente repräsentiert werden

35 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 35 Wahrheitstafeln... für die Junktoren und Konstanten der Aussagenlogik ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ tt 1 ff 0

36 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 36 Wahrheitstafeln... für komplexere Formeln A B C A B A B ff B B C (A B ff) ( B C)

37 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 37 Beispiel (weiterg.) Norbert sagt Marcel sagt die Wahrheit. Marcel sagt Bahareh lügt. Bahareh sagt Norbert und Marcel sagen entweder beide die Wahrheit oder lügen beide. formalisiert als (N M) (M B) (B (M N)) M N B ϕ einzige mögliche Lösung: Norbert und Marcel lügen, Bahareh sagt die Wahrheit

38 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 38 Funktionale Vollständigkeit Def.: eine Menge J von Junktoren heißt funktional vollständig, wenn es für jedes n N und jede Funktion f : B n B eine Formel ϕ f über n Variablen gibt, die nur Junktoren aus J benutzt und f repräsentiert Theorem 1 {tt, ff,,, } ist funktional vollständig Bsp.: A B C f (A, B, C) realisiert durch ( A B C) ( A B C) (A B C)

39 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 39 Beweis von Thm. 1 Beweis: Durch Induktion über Anzahl n der Variablen Induktionsanfang, n = 0. Es gibt nur 2 Funktionen vom Typ B 0 B, nämlich die Konstanten 0 und 1. Diese werden durch ff und tt repräsentiert. Induktionsschritt, n > 0. Sei f : B n B. O.B.d.A. seien A 1,..., A n die Variablen in f. Benutze Shannon-Expansion: { f (A 1,..., A n 1, 0), falls A n = 0 f (A 1,..., A n ) = f (A 1,..., A n 1, 1), falls A n = 1 f (A 1,..., A n 1, c) ist Funktion vom Typ B n 1 B. Nach Induktionvoraussetzung gibt es also Formeln ϕ c f für c {0, 1}, die diese repräsentieren. Aussagenlogik kann Shannon-Expansion leicht ausdrücken: f wird repräsentiert durch ϕ f = ( A n ϕ 0 f ) (A n ϕ 1 f )

40 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 40 Funktionale Vollständigkeit somit müssen sich insbesondere die anderen Junktoren durch ff, tt,,, ausdrücken lassen ϕ ψ ist dasselbe wie ϕ ψ ϕ ψ ist dasselbe wie (ϕ ψ) ( ϕ ψ) Theorem 2 Die folgenden Mengen von Junktoren sind funktional vollständig: {tt,, }, {tt,, }, {ff, },... Beweis: (Übung)

41 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 41 Funktionale Unvollständigkeit nicht jede Menge von Junktoren ist funktional vollständig, z.b. sicherlich nicht, {tt, } auch nicht (Übung) Theorem 3 {tt, ff,, } ist nicht funktional vollständig. Def.: Definiere partielle Ordnung auf B durch 0 < 1. Ein f : B n B heißt monoton im i-ten Argument, wenn für alle x, y, x 1,..., x n B gilt: wenn x y, dann f (x 1,..., x i 1, x, x i+1,..., x n ) f (x 1,..., x i 1, y, x i+1,..., x n )

42 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 42 Monotone Funktionen Bsp.: In welchen Argumenten ist monoton? A B C f (A, B, C)

43 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 43 Funktionale Unvollständigkeit von {tt, ff,, } Lemma: Sei ϕ aufgebaut aus n Variablen und den Junktoren tt, ff,,. Dann ist die durch ϕ definierte Funktion f ϕ : B n B monoton in allen Argumenten. Beweis: durch Induktion über den Aufbau von ϕ Beweis von Thm. 3: Die Funktion f = {0 1, 1 0} ist nicht monoton im ersten Argument, kann daher nicht durch ein solches ϕ über tt, ff,, definiert werden.

44 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.1 Aussagenlogik Syntax und Semantik 44 Äquivalenzen Def.: ϕ und ψ heissen äquivalent, geschrieben ϕ ψ, gdw. für alle Interpretationen I gilt: I = ϕ gdw. I = ψ Äquivalenzen können z.b. ausgenutzt werden, um kleinere Formeln, die dasselbe ausdrücken, zu erhalten Bsp.: B (A B) A B Beweis z.b. durch Wahrheitstafeln A B B (A B) A B

45 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Boolesche Algebra 45 Boolesche Algebra Def.: eine Boolesche Algebra ist eine Menge M mit zwei Konstanten, M und drei Funktionen, : M M M und : M M, so dass für alle x, y, z M gilt: x y = y x und x y = y x (Kommutativität) (x y) z = x (y z) und (x y) z = x (y z) (Assoziativität) x (y z) = (x y) (x z) und x (y z) = (x y) (x z) x (x y) = x und x (x y) = x x x = und x x = x x = x und x x = x x = x und x = x x = und x = (Distributivität) (Absorption) (Komplemente) (Idempotenz) (Neutralität) (Extremalität)

46 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Boolesche Algebra 46 Boolesche Algebren Lemma: (B, 1, 0,,, ) ist eine Boolesche Algebra Gültigkeit der Gesetze lässt sich z.b. durch Wahrheitstafeln ausrechnen andere Beispiele für Boolesche Algebren: Potenzmengenverband einer endlichen Menge M: (2 M, M,,,, ) Singleton-Menge (wieso?) für festes n N: Menge aller Booleschen Funktionen B n B (Übung: definiere,,,, darin)... Lemma: Ist (M,,,,, ) Boolesche Algebra, so auch (M,,,,, ).

47 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Boolesche Algebra 47 Redundanz und Herleitung Beachte: nicht alle Gesetze für Boolesche Algebren sind unabhängig Z.B. folgt Neutralität aus Absorption und Komplementen x = x (x x) = x In ähnlicher Weise lassen sich auch weitere Gesetze finden, die in jeder Booleschen Algebra gelten müssen; diese sind aus den obigen Gesetzen herleitbar, z.b. die de Morgan-Gesetze: x y = x y x y = x y

48 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Boolesche Algebra 48 Boolesche Algebra und Aussagenlogik beachte: Formeln der Aussagenlogik werden in Boolescher Algebra (B, 1, 0,,, ) interpretiert Gesetze der Booleschen Algebra lassen sich auf Aussagenlogik übertragen zur Erinnerung: Formeln, die dieselbe Funktion definieren, sind äquivalent Gesetze der Booleschen Algebra angewandt auf Formeln resultieren also insbesondere in Äquivalenzen daher: Klammern können aufgrund von Assoziativität weggelassen, Unterformeln wegen Kommutativität vertauscht werden, Mehrfachvorkommen wegen Idempotenz weggelassen werden, etc.

49 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.2 Aussagenlogik Boolesche Algebra 49 Mehrstellige Junktoren aufgrund der Kommutativ- und Assoziativgesetze können wir mehrstellige Dis- und Konjunktionen einführen: n n ϕ i := ϕ 1... ϕ n ϕ i := ϕ 1... ϕ n i=1 i=1 genauso für endliche Indexmengen I : i I ϕ i bzw. i I ϕ i beachte: falls n = 0, dann n i=1 ϕ i := tt und n i=1 ϕ i := ff; ebenfalls für I =

50 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 50 Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Def.: eine Formel ϕ heißt erfüllbar, wenn es ein I gibt, so dass I = ϕ Def.: eine Formel ϕ heißt allgemeingültig (oder Tautologie), wenn für alle I gilt: I = ϕ Lemma: ϕ ist erfüllbar gdw. ϕ nicht allgemeingültig ist Beweis: Sei ϕ erfüllbar. Dann ex. I mit I = ϕ und daher I = ϕ. Somit ist ϕ nicht allgemeingültig. Genauso.

51 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 51 Zusammenhänge Beachte: aus obigem Lemma folgt z.b. sofort, dass ϕ unerfüllbar ist gdw. ϕ allgemeingültig ist; dies liegt daran, dass die folgende Formel der Aussagenlogik allgemeingültig ist (A B) (B A) Theorem 4 a) ϕ ψ ist allgemeingültig gdw. ϕ und ψ allgemeingültig sind b) ϕ ψ ist erfüllbar gdw. ϕ oder ψ erfüllbar ist c) ϕ ψ gdw. ϕ ψ allgemeingültig d) ϕ allgemeingültig gdw. ϕ tt e) ϕ unerfüllbar gdw. ϕ ff Beweis: (Übung)

52 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 52 Beispiele die folgenden Formeln sind erfüllbar A, A, A B, (A B) ( A B) (A B) die folgenden Formeln sind unerfüllbar A A, (A B) ( A B) (A B) ( A B) die folgenden Formeln sind Tautologien A A, (A B) (B C) (A C), A A beachte: ist nicht assoziativ; Konvention: rechts geklammert

53 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 53 Fallstricke Vorsicht! Folgendes gilt nicht: ϕ ψ allgemeingültig gdw. ϕ oder ψ allgemeingültig ϕ ψ erfüllbar gdw. ϕ und ψ erfüllbar Gegenbeispiele? aber es gelten jeweils eine der beiden Richtungen, welche?

54 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 54 Anwendungen von Erfüllbarkeit Def.: Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist das folgende: Geg. ϕ, entscheide, ob ϕ erfüllbar ist oder nicht. Lösung des Rätsels über das Lügen ist Erfüllbarkeitstest Zusammenhang zu Allgemeingültigkeit bedeutet: über Erfüllbarkeit lässt sich herausfinden, welche aussagenlogischen Zusammenhänge gelten allgemein: Erfüllbarkeitstest ist Auffinden von Lösungen...

55 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 55 Bsp.: Sudoko via Aussagenlogik verwende Variablen X k i,j mit 1 i, j 9 und 0 k 3 für binäre Kodierung der Lösung intuitive Bedeutung das k-te Bit der Zahl im Feld (i, j) ist gesetzt betrachte Konjunktion über die folgenden Aussagen an jeder Stelle steht eine Zahl zwischen 0 und i=1 j=1 X i,j 3 ( X i,j 2 X i,j 1 ) in jeder Zeile (Spalte, Block) kommt keine Zahl doppelt vor 9 3 i=1 1 j<j 9 k=0 (X i,j k X i,j k ) Vorbelegungen, z.b. in Feld (2, 7) steht die 5 X 3 2,7 X 2 2,7 X 1 2,7 X 0 2,7

56 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 56 Ein naiver Erfüllbarkeitstest Theorem 5 SAT ist in Zeit O( ϕ 2 Vars(ϕ) ) entscheidbar. ( ϕ = Länge von ϕ, Vars(ϕ) = Menge der Variablen in ϕ) Beweis: Beachte: in Zeit O( ϕ ) lässt sich für gegebenes I entscheiden, ob I = ϕ gilt oder nicht (Übung). es reicht aus, nur Interpretationen vom Typ I : Vars(ϕ) {0, 1} zu betrachten; davon gibt es nur 2 Vars(ϕ) viele Aufzählung aller relevanten Interpretationen und sukzessives Testen

57 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 57 Def.: Normalformen Ein Literal ist eine Variable A oder ihre Negation A. Eine Klausel ist eine Disjunktion von Literalen, n i=1 l i. Ein Minterm ist eine Konjunktion von Literalen, n i=1 l i. Eine Formel ist in konjunktiver Normalform (KNF), falls sie eine Konjunktion von Klauseln ist, n mi i=1 j=1 l i,j. Eine Formel ist in disjunktiver Normalform (DNF), falls sie eine Disjunktion von Mintermen ist, n mi i=1 j=1 l i,j. Bsp. (A B) (B C A) ist in KNF wir schreiben Formeln in KNF (oder DNF) wegen Assoziativität, Kommutativität und Idempotenz auch als Mengen von Mengen von Literalen

58 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 58 Substitutionen Def.: ϕ[ψ/a] bezeichne die simultane Ersetzung von jedem Vorkommen der Variablen A in ϕ durch ψ Theorem 6 Aussagenlogische Äquivalenz ist eine Kongruenzrelation: Wenn ψ θ dann ϕ[ψ/a] ϕ[θ/a]. Beweis (durch Induktion über den Aufbau von ϕ) Frage: macht es einen Unterschied, wenn man nicht simultan ersetzt?

59 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 59 Existenz von Normalformen Theorem 7 Für jedes ϕ existiert ein ψ in KNF / DNF, so dass ϕ ψ. Beweis: Durch schrittweises Umbauen von ϕ: 1 Elimination von, mittels ϕ 1 ϕ 2 (ϕ 1 ϕ 2 ) (ϕ 2 ϕ 1 ), ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 2 Anwenden der de Morgan-Gesetze und θ θ liefert Formel, die nur aus Literalen mit, gebaut ist. 3 Anwenden der Distributivgesetze liefert KNF oder DNF. Alle Schritte sind äquivalenzerhaltend laut Thm. 6.

60 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 60 Das Erfüllbarkeitsproblem für DNF Theorem 8 DNF-SAT (SAT für Formeln in DNF) lässt sich in Zeit O( ϕ log ϕ ) entscheiden. Beweis: Ein Minterm n i=1 l i ist erfüllbar gdw. es keine A, i, j gibt, so dass l i = A und l j = A für 1 i, j n. Eine Disjunktion n i=1 ϕ i ist erfüllbar gdw. es ein i gibt, so dass ϕ i erfüllbar ist. Somit kann Erfüllbarkeit einer DNF in einem Durchlauf (nach Sortierung) durch die Formel entschieden werden. Warum dann nicht Erfüllbarkeitstest für allgemeine Formel ϕ so: Wandle ϕ in äquivalente DNF ψ um. Teste Erfüllbarkeit von ψ.

61 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 61 Erfüllbarkeitsäquivalenz neben dem starken Äquivalenzbegriff führen wir noch einen schwächeren ein Def.: ϕ und ψ sind erfüllbarkeitsäquivalent, ϕ sat ψ, falls gilt: ϕ erfüllbar gdw. ψ erfüllbar beachte: sat ist Äquivalenzrelation mit nur zwei Äquivalenzklassen; kanonische Vertreter sind tt, ff Wofür kann das dann überhaupt gut sein? Ist man (nur) an Erfüllbarkeit von ϕ interessiert, so reicht es aus, Erfüllbarkeit von ψ zu testen, falls ϕ sat ψ (aber evtl. nicht ϕ ψ).

62 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 62 Erfüllbarkeitsäquivalente KNF Theorem 9 Für jedes ϕ gibt es ein ψ in KNF, so dass ϕ sat ψ und ψ = O( ϕ ). Beweis: Für jede nicht-atomare Subformel θ von ϕ führen wir eine Variable X θ ein. Dann wird ϕ sukzessive nach folgender Vorschrift von unten nach oben umgebaut. Solange es noch eine nicht-atomare Subformel θ gibt, ersetze diese durch X θ und definiere eine KNF ψ θ je nach Junktor in θ, z.b. Falls θ = Y Z, dann ψ θ := ( X θ Y ) ( X θ Z) (X θ Y Z) Definiere schlussendlich ψ := X ϕ {ψ θ θ Subformel von ϕ}

63 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 63 Erfüllbarkeitsäquivalente KNF Beachte: Es gilt in obiger Konstruktion nicht nur ϕ sat ψ, sondern noch etwas stärkeres: Vars(ϕ) Vars(ψ) Ist I = ψ, so auch I = ϕ (aber nicht unbedingt umgekehrt). Soll heißen: ψ ist nicht nur erfüllbarkeitsäquivalent zu ϕ, sondern jeder erfüllende Variablenbelegung für ψ ist auch eine für ϕ. Beachte: Erfüllbarkeitstest in O(n log n) war für DNF, nicht KNF! Umwandlung in erfüllbarkeitsäquivalente DNF ist wohl nicht mit nur polynomiellem Aufwand möglich.

64 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 64 Beispiel Gesucht ist Formel über Variablen A 1,..., A n die besagt genau eine der Aussagen A 1,..., A n is wahr. Leicht möglich: n (A i A j ), hat aber Größe O(n 2 ) i=1 j i Geht es auch mit Formel der Größe O(n)? Ja, wenn man sich mehr Variablen spendiert: ϕ 1 ϕ 2, wobei ϕ 1 := n A i, Mindestens eine der A 1,..., A n ist wahr i=1 zusätzliche Variablen B i, i = 1,..., n, mit intuitiver Bedeutung: eine der A 1,..., A i ist wahr ϕ 2 := (A 1 B 1 ) n (( B i 1 A i ) B i ) (B i 1 A i ) i=2

65 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 65 Horn-Formeln Def.: Eine Horn-Formel ist ein ϕ in KNF, so dass in jeder Klausel höchstens ein positives Literal vorkommt. Beachte: A 1... A n B A 1... A n B A 1... A n A 1... A n ff Theorem 10 HORN-SAT (Erfüllbarkeitsproblem für Horn-Formeln) ist in Zeit O( ϕ 2 ) lösbar. Beweis: (Übung) Beachte: mit etwas Cleverness lässt es sich sogar in O( ϕ ) lösen

66 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik SAT-Solver 66 SAT-Solver Ein SAT-Solver ist eine Implementierung eines Algorithmus für das SAT-Problem. Obwohl dies i.a. exponentielle (in Vars(ϕ) ) Laufzeit braucht, gibt es mittlerweile einige SAT-Solver, die in der Praxis erstaunlich gut funktionieren. Minisat Picosat Berkmin RSat zchaff siehe auch SATLive-Webseite

67 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik SAT-Solver 67 Das DIMACS-Format SAT-Solver verlangen typischerweise eine Eingabe in KNF. Standardisiertes Format: DIMACS Variablen sind natürliche Zahlen 1 Literale werden durch Integer bezeichnet, z.b. A 7 = 7, A 4 = -4 Klausel ist Liste von Integern, 0 markiert Klauselende KNF ist Liste von Klauseln Kommentare im Header (c...) spezielle Headerzeile (p cnf...) gibt Anzahl verwendeter Klauseln und Variablen an

68 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik SAT-Solver 68 Beispiel Die KNF ( A B C) (B C) D (A D) ( B C D) kann im DIMACS-Format so repräsentiert werden: c Beispielformel aus der Vorlesung c Autor: Martin Lange p cnf

69 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik SAT-Solver 69 SAT-Solver im Einsatz Clevere Heuristiken und jahrelanges Tuning haben dazu geführt, dass moderne SAT-Solver typischerweise Instanzen der Größenordnung 10 5 Variablen 10 6 Klauseln lösen können. Vorsicht! Es gibt natürlich auch (im Vergleich dazu) sehr kleine Instanzen, an denen sie sich die Zähne ausbeissen. typischer Einsatz von SAT-Solvern (nicht annähernd vollständig): Hardware-Verifikation Planungsprobleme in der KI Constraint-Solving...

70 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik SAT-Solver 70 Ersetzung von Literalen Def.: Sei C Klauselmenge (= Menge von Mengen von Literalen). Mit C[A 1] bezeichnen wir die Menge von Klauseln, die dadurch entsteht, dass man 1 jede Klausel, die das Literal A enthält, aus C entfernt, und 2 das Literal A aus jeder Klausel in C entfernt. Für C[A 0] gilt das entsprechend duale. Bsp.: C = {{A, B}, { A, B}, { A, B}} C[A 1] = {{ B}, {B}} C[B 0] = {{ A}} Lemma: Sei C Klauselmenge (als KNF aufgefasst), A Variable. C erfüllbar gdw. C[A 1] oder C[A 0] erfüllbar. Beweis: (Übung)

71 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik SAT-Solver 71 Unit-Propagation Lemma: Sei C Klauselmenge, A Variable, so dass {A} C. Dann ist C erfüllbar gdw. C[A 1] erfüllbar ist. Beweis: folgt sofort aus Lemma davor. Sei C erfüllbar. Wegen Lemma davor müssen wir lediglich zeigen, dass C[A 0] unerfüllbar ist. Dies ist der Fall, denn da {A} C gilt C[A 0], und wegen KNF steht für ff, und ff ϕ ff, was unerfüllbar ist. entsprechendes Lemma für Fall { A} C Algorithmus Unit-Propagation(C) führt sukzessive diese Ersetzungsschritte durch, solange noch Singleton-Klauseln in C vorhanden sind.

72 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.4 Aussagenlogik SAT-Solver 72 Der DPLL-Algorithmus Alle modernen SAT-Solver basieren auf dem DPLL-Algorithmus (nach Davis, Putnam, Logemann, Loveland). DPLL(C) = Unit-Propagation(C) if C = then return erfüllbar if C then return unerfüllbar wähle Variable A, die noch in C vorkommt if DPLL(C[A 1]) = erfüllbar then return erfüllbar return DPLL(C[A 0]) Bem.: Algorithmus DPLL terminiert immer, ist korrekt (wenn er erfüllbar sagt, dann war die Eingabe auch erfüllbar) und vollständig (wenn die Eingabe erfüllbar ist, dann sagt er auch erfüllbar ), aber wieso?

73 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Kompaktheit 73 Erfüllbarkeit und endliche Konsistenz Def.: Eine Menge Φ von Formeln heißt erfüllbar, wenn es eine Interpretation I gibt, so dass I = ϕ für alle ϕ Φ gilt. Notation: I = Φ. Für Φ < ist also Menge Φ erfüllbar gdw. Formel Φ erfüllbar ist. Def. beinhaltet aber auch Fall unendlicher Mengen! Bsp.: {A i A i+1 i N} ist erfüllbar Im folgenden nehmen wir an, dass V nur abzählbar unendlich viele Variablen enthält, also o.b.d.a. V = {A 0, A 1,...}. Def.: Eine Menge Φ von Formeln heißt endlich konsistent, wenn für alle Ψ Φ mit Ψ < gilt: Ψ ist erfüllbar.

74 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Kompaktheit 74 Der Kompaktheitssatz Theorem 11 Für alle Mengen Φ von Formeln gilt: Φ erfüllbar gdw. Φ endlich konsistent. Anders gesagt: Ist jede endliche Teilmenge einer Menge Φ erfüllbar, so ist auch Φ erfüllbar. Eigentlich nur für Φ = interessant. Wieso? Notation: Ψ fin Φ gdw. Ψ Φ und Ψ < Beweis von : Sei I = Φ, also gilt I = ϕ für alle ϕ Φ. Damit ist dann auch I = Ψ für alle Ψ Φ, insbesondere falls Ψ fin Φ.

75 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Kompaktheit 75 ist schwieriger Beachte: Bei endlich konsistentem Φ kann jedes Ψ fin Φ verschiedenes Modell haben! Bsp. Φ = {ϕ n,m 0 n m} mit ϕ n,m = m A i i=n Sei Ψ fin Φ und I Ψ definiert durch { 1, falls min{n ϕ n,m Ψ} k max{m ϕ n,m Φ} I Ψ (A k ) = 0, sonst Beachte: Für alle Ψ fin Φ gilt I Ψ = Ψ, aber I Ψ = Φ. Es gibt unendliche viele Ψ mit paarweise verschiedenen I Ψ.

76 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Kompaktheit 76 Lemma 1 für die Kompaktheit Lemma 1: Sei ϕ Formel, I, I Interpretationen, so dass I(A) = I (A) für alle A Var(ϕ). Dann gilt I = ϕ gdw. I = ϕ. Beweis Per Induktion über Aufbau von ϕ. Induktionsanfang: Für ϕ = tt, ff gilt die Aussage sicherlich. Sei ϕ = A. Offensichtlich gilt dann A Vars(ϕ) und damit dann auch die Aussage. Induktionsschritt: Sei ϕ = ψ und die Aussage für ψ bereits beweisen. Dann gilt I = ϕ gdw. I = ψ gdw. I = ψ gdw. I = ϕ Fälle ϕ = ψ 1 ψ 2, ψ 1 ψ 2 genauso.

77 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Kompaktheit 77 Lemma 2 für die Kompaktheit Lemma 2: Ist Φ endlich konsistent, so ist Φ {A} oder Φ { A} endlich konsistent. Beweis: Durch Widerspruch. Angenommen, Φ ist endlich konsistent, aber sowohl Φ {A} als auch Φ { A} sind nicht endlich konsistent. Dann ex. unerfüllbare Ψ fin Φ {A} und Ψ fin Φ { A}. Somit ist auch Θ := Ψ Ψ unerfüllbar, und damit auch Θ {A} und Θ { A}. Dann muss aber bereits Θ \ {{A}, { A}} unerfüllbar sein. Da Θ \ {{A}, { A}} fin Φ, ist Φ also dann nicht endlich konsistent.

78 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Kompaktheit 78 Beweis des Kompaktheitssatzes Beweis von ( Φ endlich konsistent Φ erfüllbar ). Seien A 0, A 1, A 2,... Variablen in Φ. Def. simultan Φ 0 := Φ, Φ i+1 := Φ i {l i } und { A i, falls Φ i {A i } endlich konsistent l i := A i, sonst Mit Lemma 2 und Induktion sind alle Φ i endlich konsistent. Definiere I über { 1, falls l i = A i I(A i ) := 0, falls l i = A i Behauptung: I = ϕ für alle ϕ Φ

79 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Kompaktheit 79 Beweis des Kompaktheitssatzes Sei ϕ Φ. Wähle k := max{i A i Var(ϕ)}. Da Φ = Φ 0 Φ 1... gilt also ϕ Φ k+1 und somit Ψ := {ϕ, l 0,..., l k } fin Φ k+1 Wegen endlicher Konsistenz von Φ k+1 ist Ψ erfüllbar. Also ex. I, so dass I = Ψ. Beachte: I(A) = I (A) für alle A Var(ϕ) und außerdem I = ϕ. Wegen Lemma 1 gilt dann I = ϕ.

80 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Kompaktheit 80 Erste Anwendung des Kompaktheitssatzes Theorem 12 (Königs Lemma) Jeder endlich-verzweigende Baum, in dem Pfade beliebiger Länge existieren, hat einen unendlichen Ast. Beweis: Sei t Baum mit abzählbarer Knotenmenge N und Wurzel 0, so dass es Pfade beliebiger Länge gibt. Wir schreiben succ(i) für die unmittelbaren Nachfolger von i. Betrachte Φ := {X 0 } {X i X j i N} j succ(i) all Ψ fin Φ sind erfüllbar wegen Pfaden beliebiger Länge nach Kompaktheit ist dann auch Φ erfüllbar Modell von Φ liefert unendlichen Pfad in t

81 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Kompaktheit 81 Zweite Anwendung des Kompaktheitssatzes Kacheln sind Einheitsquadrate mit gefärbten Kanten: Sei K eine endliche Menge von Kacheln. Dies induziert zwei Relationen H und V, die besagen, ob zwei Kacheln horizontal bzw. vertikal aneinanderpassen. Eine K-Kachelung der n n-ebene ist eine Funktion κ : {0,..., n 1} 2 K, so dass für alle i = 0,..., n 2, j = 0,..., n 1 gilt: (κ(i, j), κ(i + 1, j)) H (κ(j, i), κ(j, i + 1)) V horizontal passt alles vertikal passt alles analog K-Kachelung der unendlichen N N-Ebene definiert

82 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Kompaktheit 82 Beispiel Bsp.: K = K-Kachelung der 3 3-Ebene:

83 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Kompaktheit 83 Anwendung des Kompaktheitssatzes Theorem 13 Sei K endliche Menge von Kacheln. Wenn jede n n-ebene K-kachelbar ist, so ist auch die N N-Ebene K-kachelbar. Beweis: Benutze Aussagenvariablen A t i,j, i, j N, t K mit Bedeutung das Feld (i, j) ist mit Kachel t belegt drücke K-Kachelbarkeit der n n-ebene aus: ϕ n := n 1 n 1 ( A t i,j i=0 j=0 t K n 2 n 1 i=0 j=0 (t,t ) H t t A t i,j) ( (A t i,j A t i+1,j) ) ( (A t j,i A t (t,t ) V j,i+1) )

84 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.5 Aussagenlogik Kompaktheit 84 Anwendung des Kompaktheitssatzes Beachte: Erfüllende Belegung für ϕ n liefert Kachelung der n n-ebene. Wenn m n, dann ist ϕ n ϕ m allgemeingültig. Intuitiv: n n-kachelung liefert auch immer eine m m-kachelung. Sei Φ := {ϕ n n N}. Jede n n-ebene ist K-kachelbar bedeutet: Für alle n N ist ϕ n erfüllbar. Sei Ψ fin Φ. Dann ist Ψ = {ϕ i1,..., ϕ ik } für ein k N und i 1 < i 2 <... < i k. Da ϕ ik erfüllbar ist, ist mit obiger Bemerkung auch Ψ erfüllbar. Aus dem Kompaktheitssatz folgt, dass auch Φ erfüllbar ist; erfüllende Belegung induziert Kachelung der N N-Ebene mit K.

85 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Resolution 85 Beweiskalküle DPLL-Algorithmus in gewisser Weise semantisches Verfahren zum Erkennen von Erfüllbarkeit. (Konstruiert Modell für Formel) Im folgenden zwei syntaktische Verfahren zum Erkennen von (Un-)Erfüllbarkeit / Allgemeingültigkeit. 1 Resolution (für Unerfüllbarkeit) 2 Sequenzenkalkül (für Folgerungsbeziehung und damit insbesondere Allgemeingültigkeit) Beachte Zusammenhang zwischen Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit (und auch Folgerungsbeziehung, wie wir noch sehen werden): diese Verfahren sind somit auch in der Lage, die jeweils anderen Fragestellungen zu lösen.

86 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Resolution 86 Resolventen Wir erweitern den Begriff der Äquivalenz. Sei C Klausel, K, K Klauselmengen: I = C gdw. I = l C l I = K gdw. für alle C K : I = C K K gdw. für alle I : I = K gdw. I = K Def.: Sei l Literal. l := { A, falls l = A, A, falls l = A Def.: Seien C 1, C 2 Klauseln, l Literal, so dass l C 1, l C 2. Dann heisst C := (C 1 \ {l}) (C 2 \ { l}) Resolvente von C 1 und C 2.

87 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Resolution 87 Das Resolutionslemma Lemma: Sei K Klauselmenge, C 1, C 2 K, C Resolvente von C 1 und C 2. Dann gilt: K K {C}. Beweis: = Sei I = K {C}. Da K K {C}, gilt dann auch I = K. = Sei I = K. Es reicht aus zu zeigen, dass I = C gilt. Da C 1, C 2 K gilt also insbesondere I = C 1 und I = C 2. D.h. es gibt Literale l 1 C 1, l 2 C 2, so dass I = l 1 und I = l 2. Somit gilt l 1 l 2. Da C = (C 1 \ {l}) (C 2 \ { l}) für ein l C 1 muss l 1 C oder l 2 C sein. Dann gilt aber I = C. Def. Sei K Klauselmenge, Res(K) ist Menge aller Resolventen von Klauseln in K.

88 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Resolution 88 Resolution Def.: Ein Resolutionsbeweis für (Unerfüllbarkeit von) K ist ein endlicher, binär verzweigender Baum, dessen Knoten mit Klauseln beschriftet sind und für den gilt: Die Wurzel ist mit beschriftet. An den Blättern stehen nur Klauseln aus K. Die Beschriftung eines inneren Knoten ist Resolvente der Beschriftungen seiner beiden Söhne. Bsp.: K = {{A, B}, {A, B}, { A, B}, { A, B}} A, B A, B B A, B A, B B Bsp.: hat K = {{A, B}, {A, B}, { A, B}} Resolutionsbeweis?

89 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Resolution 89 Korrektheit der Resolution Theorem 14 Sei K Klauselmenge. K ist unerfüllbar gdw. es einen Resolutionsbeweis für K gibt. Beweis: = Angenommen, es existiert Resolutionsbeweis T der Höhe h für K. Definiere Klauselmengen wie folgt. Beachte: K 0 := {C C Blatt in T } K i+1 := K i Res(K i ) K h+1, also K h+1 unerfüllbar. K 0... K h+1 nach Resolutionenlemma, also K 0 unerfüllbar. K 0 K, also K unerfüllbar.

90 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Resolution 90 Vollständigkeit der Resolution = Angenommen K ist unerfüllbar. Nach dem Kompaktheitssatz existiert K 0 fin K, welches bereits unerfüllbar ist. Offensichtlich gilt: Ein Resolutionsbeweis für K 0 ist auch einer für K. Sei Var(K 0 ) = {A 1,..., A n }. Wir zeigen die Existenz eines Resolutionsbeweises für K 0 durch Induktion über n. Induktionsanfang, n = 0. Dann ist Var(K 0 ) =. Es gibt nur zwei Klauselmengen über der leeren Variablenmenge: und { }. Da aber trivialerweise erfüllbar ist, muss K 0 = { } gelten. Offensichtlich lässt sich dafür ein Resolutionsbeweis bauen.

91 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Resolution 91 Vollständigkeit der Resolution Induktionsschritt, n > 0. Die Induktionshypothese besagt, dass es für unerfüllbare Klauselmengen über den Variablen A 1,..., A n 1 Resolutionsbeweise gibt. Konstruiere nun K + 0 := {C \ { A n } C K 0 und A n C} K 0 := {C \ {A n } C K 0 und A n C} Beachte: sowohl K 0 + als auch K 0 sind unerfüllbar (Übung) und enthalten höchstens die Variablen A 1,..., A n 1. Die Induktionshypothese liefert nun also zwei Resolutionsbeweise T + und T. Durch Einfügen von A n in jede Klausel in T + und A n in jede Klausel in T entstehen Bäume mit Wurzeln in K 0, deren innere Knoten jeweils Resolventen ihrer Söhne sind. Durch Resolution nach den Literalen A und A entsteht aus diesen ein Resolutionsbeweis für K 0.

92 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Resolution 92 Resolution verwenden Unerfüllbarkeit ist eine universelle Eigenschaft: alle Interpretationen sind kein Modell. Resolution charakterisiert dies existentiell: statt alle Interpretationen für eine Formel zu testen, reicht es aus, einen Resolutionsbeweis anzugeben. Aber: Resolutionsbeweise können exponentielle Größe haben (Übung). Im Vergleich: Zeugen für Erfüllbarkeit (Modelle) haben höchstens lineare Größe. Beweissuche im Resolutionskalkül für Klauselmenge K: K 0 := K K n+1 := K n Res(K n ) Iteration bis als Resolvente auftritt oder K n+1 = K n für ein n gilt.

93 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.7 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 93 Sequenzen Zum Abschluss des Kapitels über Aussagenlogik behandeln wir noch Gentzens Sequenzenkalkül. Charakterisiert logische Folgerungsbeziehung syntaktisch. Def.: Seien ϕ, ψ Formeln. ψ folgt aus ϕ, geschrieben ϕ = ψ, falls für alle I gilt: wenn I = ϕ dann I = ψ. Beachte: ϕ = ψ gdw. ϕ ψ allgemeingültig Def.: Eine Sequenz ist ein Paar Γ = von Formel(multi)mengen. Γ heißt Antezedens, Sukzedens. Vereinfachte Schreibweise ohne Mengenklammern, etc.: ϕ 1,..., ϕ n = ψ 1,..., ψ m Def.: Γ = ist gültig, falls Γ =.

94 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.7 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 94 Beispiele Bsp.: welche der folgenden Sequenzen sind gültig? 1 A, A B = B 2 A, B = A, B 3 A, A B = 4 A, A = B 5 A B, B C, A = C 6 A B C, A = B C

95 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.7 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 95 Folgerung und Allgemeingültigkeit Bereits oben gesehen: Folgerung kann mithilfe von Allgemeingültigkeit ausgedrückt werden: Γ = gültig gdw. Γ allgemeingültig Umkehrung gilt ebenfalls: Lemma: ϕ ist allgemeingültig gdw. die Sequenz = ϕ gültig ist. Beweis: Angenommen, = ϕ ist nicht gültig. Dann existiert I, so dass I = und I = {ϕ}. Beachte: {ϕ} ϕ, also ist ϕ nicht allgemeingültig. Angenommen, = ϕ ist gültig, d.h. für alle I gilt: I = oder I = {ϕ}. Da tt muss also I = ϕ für alle I gelten. Somit ist ϕ allgemeingültig. Also auch: ϕ = gültig gdw. ϕ unerfüllbar.

96 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.7 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 96 Beweise im Sequenzenkalkül Ziel: Formalismus ( Sequenzenkalkül ), der genau die gültigen Sequenzen charakterisiert Def.: Ein Beweis im Sequenzenkalkül für eine Sequenz Γ = ist ein endlicher Baum, dessen Wurzel mit Γ = beschriftet ist, Blätter mit Axiomen beschriftet sind, innere Knoten mit ihren Söhnen Instanzen von Beweisregeln sind. Beweisregeln haben die Form Γ 1 = 1... Γ n = n Γ = (Name) Γ i = i heißen Prämissen, Γ = Konklusion Axiom = Beweisregel ohne Prämissen

97 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.7 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 97 Axiome und Regeln des Sequenzenkalküls Axiome: Γ, ff = (ff L) Γ =, tt (tt R) Γ, ϕ =, ϕ (Ax) Beweisregeln: Γ, ϕ, ψ = Γ, ϕ ψ = ( L) Γ =, ϕ Γ =, ψ Γ =, ϕ ψ ( R ) Γ, ϕ = Γ, ψ = Γ, ϕ ψ = ( L ) Γ =, ϕ, ψ Γ =, ϕ ψ ( R)

98 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.7 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 98 Beweisregeln des Sequenzenkalküls Γ =, ϕ Γ, ϕ = ( L) Γ, ϕ = Γ =, ϕ ( R) Γ =, ϕ Γ, ψ = Γ, ϕ ψ = ( L ) Γ, ϕ =, ψ Γ =, ϕ ψ ( R) Γ = Γ, tt = (tt L) Γ = Γ =, ff (ff R) Es fehlen noch 2 Regeln für (Übung)

99 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.7 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 99 Beispiel (Ax) (Ax) ψ 1, ψ 2 = ϕ, ψ 1 ( R ) ψ 1, ψ 2 = ϕ ψ 1 ψ 1, ψ 2 = ϕ, ψ 2 ( R ) ψ 1, ψ 2 = ϕ ψ 2 ( R ) (Ax) ϕ = ϕ, ψ 1 ( R ) (Ax) ϕ = ϕ, ψ 2 ( R ) ψ 1, ψ 2 = (ϕ ψ 1 ) (ϕ ψ 2 ) ϕ = ϕ ψ 1 ϕ = ϕ ψ 2 ( L ) ( R ) ψ 1 ψ 2 = (ϕ ψ 1 ) (ϕ ψ 2 ) ϕ = (ϕ ψ 1 ) (ϕ ψ 2 ) ( L ) ϕ (ψ 1 ψ 2 ) = (ϕ ψ 1 ) (ϕ ψ 2 ) ( R ) = ϕ (ψ 1 ψ 2 ) (ϕ ψ 1 ) (ϕ ψ 2 )

100 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.7 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 100 Axiomen- und Ableitungslemma Ziel: zeige, dass im Sequenzenkalkül genau die gültigen Sequenzen beweisbar sind dazu brauchen wir lediglich drei Lemmas Lemma: (Axiomenlemma I) Jede Sequenz Γ =, die ein Axiom ist, ist gültig. Beweis: Leicht zu sehen für Axiome (ff L ) und (tt R ). Betrachte noch Axiom (Ax) mit Γ, ϕ =, ϕ. Sei I Interpretation. Zu zg.: Wenn I = Γ {ϕ} dann I = {ϕ}. Angenommen, I = Γ {ϕ}. Dann gilt insbesondere I = ϕ und somit auch I = ϕ bzw. I = {ϕ}. Lemma: (Ableitungslemma) Für alle Regeln des Sequenzenkalküls gilt: Die Konklusion ist gültig gdw. alle Prämissen gültig sind.

101 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.7 Aussagenlogik Der Sequenzen-Kalkül 101 Beweis des Ableitungslemmas Beweis Wir zeigen dies exemplarisch für die Regeln ( L ) und ( R ). Fall ( L ). Dies ist trivial, da Γ {ϕ ψ} Γ {ϕ, ψ}. Fall ( R ). Zur Erinnerung: Konklusion K = Γ =, ϕ ψ, Prämissen sind P 1 = Γ =, ϕ und P 2 = Γ =, ψ. Angenommen, eine der beiden Prämissen ist ungültig. Sei dies P 1. Der Fall mit P 2 ist analog. Dann ex. I, so dass I = Γ und I = {ϕ}. Daraus folgt insbesondere, dass I = und I = ϕ. Somit gilt dann aber auch I = ϕ ψ. Zusammengefasst: I = Γ und I = {ϕ ψ}. Also ist K nicht gültig. Angenommen, die Konklusion ist ungültig. Also gibt es I, so dass I = Γ und I = {ϕ ψ}. Insbesondere gilt I = ϕ ψ, also I = ϕ oder I = ψ. Dann gilt auch I = {ϕ} oder I = {ψ}. Also ist entweder P 1 ungültig oder P 2 ungültig.