Institut für Regelungstechnik

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1 Institut für Regelungstechnik TECHNISCHE UNIVERSITÄT BRAUNSCHWEIG Prof. Dr.-Ing. W. Schumacher Prof. Dr.-Ing. M. Maurer Prof. em. Dr.-Ing. W. Leonhard Regelungstechnisches Praktikum Analyse linearer Systeme im Zeit- und Frequenzbereich Stand: 6. April 22, FrS V2.

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 2 Rechenelemente des Analogrechners 4 2. Potentiometer Rechenverstärker Addierer (Summierer) Differenzverstärker Integrierer Betriebsarten des Analogrechners 4 Normierung 2 4. Beispiel Nachbildung von Regelkreisgliedern 4 5. PT -Glied DT -Glied PDT -Glied IT-Glieder PI-Glied PID(T )-Glied Beispiele 8 6. Nachbildung eines einfachen Regelkreises Geschwindigkeitsfehler des Regelkreises Regelfläche Aufgabenstellungen 2 7. Vorbereitungsaufgaben Laboraufgaben

3 Einleitung Man kann elektrische Rechenanlagen nach ihrer Wirkungsweise in zwei Hauptgruppen einteilen:. Digitalrechner 2. Analogrechner Der Digitalrechner stellt die behandelten Größen zahlenmäßig dar, z.b. mit Hilfe von elektrischen Impulsen. Im elektrischen Analogrechner (im Gegensatz zu Vorläufer- Modellen auf pneumatischer bzw. hydraulischer Basis) werden den physikalischen Größen, mit denen man rechnen will, Spannungen zugeordnet, deren zeitlicher Verlauf der abzubildenden Größe proportional ist. Mit Hilfe elektrischer Schaltungen lassen sich somit Vorgänge simulieren, die durch lineare oder nichtlineare Differentialgleichungen bzw. Systeme solcher Gleichungen beschrieben werden. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt von den verwendeten Rechenelementen ab. Diese lassen nur einen bestimmten maximalen Spannungsbereich zu, in dem gerechnet werden kann. Die untere Grenze der Genauigkeit wird durch die kleinste noch eindeutig von Störspannungen unterscheidbare Nutzspannung bestimmt. Der Spannungsbereich heute gebräuchlicher Analogrechner liegt in den Grenzen...mV < U nutz < 5...V,das heißt, man rechnet in einem Dynamikbereich von 4...6dB. Eine Vergrößerung dieses Rechenbereiches ist aber nur bedingt und dann auch nur mit sehr hohem Aufwand möglich. Ein wichtiger Vorzug des Analogrechners gegenüber einem Digitalrechner besteht darin, daß er Rechenelemente besitzt, die es erlauben, direkt zu integrieren und mit bestimmten Einschränkungen auch zu differenzieren. Hierdurch wird es im Gegensatz zum Digitalrechner problemlos möglich, auch sehr komplexe Systeme (z.b. Ordnung > ) in Echtzeit zu simulieren. Auf der anderen Seite hat der Digitalrechner wegen der ziffernmäßigen Arbeitsweise den Vorzug, wesentlich flexibler und genauer zu sein. Eine Steigerung der Rechengenauigkeit ist (auf Kosten einer erhöhten Rechenzeit) sehr einfach möglich durch Verwendung einer genaueren Zahlendarstellung. Die Steuerung durch ein gespeichertes Programm erlaubt es, beliebige numerische Operationen auszuführen. Viele Probleme, zum Beispiel partielle Differentialgleichungen, lassen sich nur auf dem Digitalrechner lösen. Der größeren Flexibilität steht ein wesentlich größerer Aufwand bei der Programmierung gegenüber. Neben den Grundarten des Analog- und Digitalrechners gibt es verschiedene Kombinationen, welche die Eigenschaften beider Typen in sich vereinigen (Hybridrechner). 3

4 2 Rechenelemente des Analogrechners Der Analogrechner enthält verschiedene Rechenelemente, die bestimmte Teile einer Rechnung analog nachbilden können. Durch entsprechendes Zusammenschalten der verschiedenen Rechenelemente entsteht die spezielle Rechenschaltung. Im folgenden werden die einzelnen Bausteine eines Analogrechners kurz beschrieben. Vorangestellt sei eine Liste mit den jeweiligen Schaltsymbolen, die eine vereinfachte Darstellung der Rechenschaltung ermöglichen. 2. Potentiometer Potentiometer dienen zur Multiplikation einer Systemgröße mit einem konstanten Faktor α, α. Wird an den Eingang des Potentiometers die Rechenspannung U gelegt, so erhält man am Abgriff die Leerlaufspannung U a = α U () (-α ). R u R α. R u a R L Abbildung : Potentiometer mit Lastwiderstand Wird das Potentiometer zum Beispiel mit dem Eingang eines Rechenverstärkers belastet, so entspricht das Spannungsverhältnis nicht mehr der Stellung des Abgriffes. Es gilt die neue Beziehung u a α = α = (2) R u +( α ) α R L Man erhält also einen vom Abgriff (α ) und von der Belastung (R L )abhängigen Einstellfehler [ ] F = α α = α α R 2 +( α ) α ( α R ) (3) R R L L Die genaue Einstellung des Spannungsverhältnisses α am belasteten Potentiometer R kann mit einer Kompensationsschaltung nach Bild 3 erfolgen. Am Vergleichspotentiometer R V wird der gewünschte Faktor α eingestellt; der Abgriff am Potentiometer R wird dann solange verändert, bis das Instrument Null zeigt. 4

5 Rechenelement Schaltsymbol Wirkungsweise Koeffizienten- Potentiometer U α U a U a = α U ( α ) Summierer (Vorzeichenumkehr!) U U 2... U N k k 2 k N U a U a = N k i U i i= Integrierer U U 2... U N T T 2 T N U U a t U a = t N i= U i T i dt U U f(u ) U a Funktionsgeber bzw. U a = f (U ) U U a Multiplizierer Komparator U U 2 U a bzw. U a = U U 2 U U 2 U a Der Kontakt liegt: U U a U 2 oben, wenn U >U 2 unten, wenn U <U 2 Tabelle : Rechenelemente 5

6 α R L = R L α Abbildung 2: Einstellkurve des Potentiometers im Leerlauf und bei Belastung R α R u α V R L u a V Abbildung 3: Kompensationsschaltung mit Vergleichspotentiometer R V Im verwendeten Analogrechner befinden sich 2 Potentiometer, von denen 6 auf Massepotential liegen, die anderen sind potentialfrei. Sie weisen alle einen Widerstand von kω auf. 2.2 Rechenverstärker Aufbau und Wirkungsweise eines Rechenverstärkers wurden im Versuch (Operationsverstärker) behandelt. Die im Analogrechner verwendeten Verstärker sind Operationsverstärker mit einer hohen Verstärkung (minimal 2dB) und einer besonders guten Nullpunktkonstanz (Offsetspannung < μv ; typisch μv ). Die Anstiegsrate liegt bei, 5V/μs für die Differenzverstärker und beträgt 2, 5V/μs bei den Integrier- und Summierverstärkern. Zu beachten ist, daß jeweils die invertierende Schaltung verwendet wird. Besondere Bedeutung erlangt diese Tatsache beim Aufbau geschlossener Regelkreise! Im folgenden werden die Schaltungen für die verschiedenen Rechenoperationen und ihre Wirkungsweise besprochen. 6

7 R i i R R 2 i 2 u R 3 i 3 i g -V u 2 u 3 u d u a Abbildung 4: Prinzipschaltbild des Addierers 2.2. Addierer (Summierer) Es gelten folgende Beziehungen u a = V u d mit V (4) Aufgrund des hohen Eingangswiderstandes (ca. 2 Ω) ist i g und damit: i + i 2 + i 3 + i = (5) Für die einzelnen Maschen gilt Daraus folgt i = u u d R i 3 = u 3 u d R 3 i 2 = u 2 u d R 2 i = ua u d R (6) u u d + u 2 u d + u 3 u d + u a u d R R 2 R 3 R = (7) (4) in (6) eingesetzt und nach u a aufgelöst ergibt dabei ist R R u a = u + R R 2 u 2 + R R 3 u 3 + (8) k V R R 2 R 3 k = (9) R R 2 R 3 + R R 2 R 3 + R R R 3 + R R R 2 Wenn in Gleichung (8) k V ist, kann das Glied k V gegen vernachlässigt werden und man erhält aus (8) u a = n i= k i u i mit k i = R R i () Wird nur eine Variable u i zugeführt und R /R = gemacht, dann erhält man einen sogenannten Umkehrverstärker, da hier nur das Vorzeichen von u umgekehrt wird. In 7

8 dem verwendeten Analogrechner sind zwei verschiedene Widerstände für den Gegenkopplungszweig wählbar, daher ergeben sich drei verschiedene Gewichtsfaktoren für die Eingänge: k i =, ;k i = und k i =. α 2 k 2 u a u α k Abbildung 5: Addierer mit zusätzlicher Gegenkopplung Durch zusätzliches Einfügen eines Potentiometers am Eingang oder in den Gegenkopplungszweig läßt sich im Bereich V jede Verstärkung einstellen. u a = k α u () +k 2 α 2 Aufgrund der nichtlinearen Einstellcharakteristik verzichtet man meist auf das Potentiometer im Gegenkopplungszweig. MΩ S MΩ MΩ MΩ,MΩ.,MΩ A,MΩ A Abbildung 6: Innenschaltung eines Addierers Im verwendeten Analogrechner sind die Addierer (insgesamt drei Stück) gemäß Bild 6 beschaltet Differenzverstärker In Erweiterung der Schaltung des Addierers hat nun auch der nichtinvertierende Operationsverstärker- Eingang eine ohmsche Beschaltung. Die Rückführung ist aufgetrennt Integrierer Mit den Beziehungen 8

9 MΩ N MΩ MΩ MΩ,MΩ,MΩ MΩ MΩ,MΩ. A A P T Abbildung 7: Innenschaltung eines Differenzverstärkers i C R u C i -V u u d u a Abbildung 8: Prinzipschaltbild des Integrierers u a = V u d mit V (2) i + i = (i g ) (3) i = C du C dt (4) u = i R + u d (5) erhält man u a = u C + u d (6) Für V gilt zu u a = V u C V t t u dt u a dt (7) +V +V R C ( + V ) R C V +V und (+V ) R C. Damit vereinfacht sich Gleichung (7) 9

10 t u a = u C u dt mit T = R C (8) T Bei mehreren Eingängen findet gleichzeitig eine Summierung statt, es gilt dann u a = u C n T μ μ= t u μ dt = u C t n μ= u μ T μ dt mit T μ = R μ C (9) S OP IC MΩ R MΩ R MΩ,MΩ μf,mω,μf IC A A A Abbildung 9: Innenschaltung eines Integrierers Die Integrationskonstante u C stellt die Anfangsbedingung für den Integrierer dar. Falls u C ist, muß der Kondensator C vor Rechenbeginn auf den entsprechenden Wert aufgeladen werden. Dazu wird der Kondensator C über einen einstellbaren Spannungsteiler mit Hilfe eines Analogschalters (z.b. MOSFET) oder eines Rechenrelais an die Rechenspannung gelegt (IC: INITIAL CONDITION). Bei Rechenbeginn (OP: OPE- RATE) wird der Schalter geöffnet und damit die Schaltung in Bild 8 hergestellt. Um Fehler durch die Drift und die Kondensatorentladung klein zu halten, dürfen die Verstärker nicht mit zu kleinen Eingangsspannungen gespeist und die Rechenzeit nicht zu lang gewählt werden (siehe Kapitel 3).

11 3 Betriebsarten des Analogrechners Der Analogrechner hat drei Betriebsarten, die wie folgt bezeichnet sind:. POT = Potentiometer abgleichen 2. IC = INITIAL CONDITION (Anfangsbedingungen einstellen) 3. OP = OPERATE (Rechnung ausführen) In der Betriebsart Potentiometer-Abgleich wird mit dem Betätigen des zugeordneten Tastschalters der Potentiometereingang auf die positive Referenzspannung (+5V ) gelegt. Gleichzeitig wird der Schleifer über eine gemeinsame Leitung mit dem Digitalvoltmeter verbunden. Bei massefreien Potentiometern ist zusätzlich der untere Anschluß mit Masse zu verbinden. Die Anzeige des Digitalvoltmeters liefert einen auf 5 Volt normierten Wert, so daß direkt der eingestellte Wert α angezeigt wird. Achtung: Um einen Kurzschluß im Analogrechner zu vermeiden, darf stets nur ein Tastschalter gleichzeitig gedrückt werden! Die Betriebsart Anfangsbedingungen einstellen ermöglicht die Vorgabe von Anfangswerten für die Integrierer. Dazu befindet sich der Schalter in Bild 9 in der Stellung IC. Die Betriebsart Rechnung ausführen startet die Rechnung. In Abhängigkeit des gewählten Rechenmodus wird die Rechnung einmal ausgeführt beziehungsweise ständig wiederholt. Der Rechenmodus SINGLE SHOT (einmaliges Rechnen) ist für die Aufzeichnung der Rechenergebnisse mit einem X-Y beziehungsweise Y-t-Schreiber konzipiert. Soll das Rechenergebnis auf einem Oszilloskop dargestellt werden, ist es zweckmäßig, die Rechnung periodisch zu wiederholen. Hierzu dient der Rechenmodus REPEAT OPERATION (repetierendes Rechnen). Um ein möglichst flimmerfreies Bild zu erhalten, sollte die Wiederholfrequenz größer als 2 Hz sein, außerdem ist eine externe Triggerung des Oszilloskopes mit dem Steuersignal AS2 empfehlenswert. Die Rechenzeiten der einzelnen Rechenmodi sind: SINGLE SHOT REPEAT OPERATION s...s ms...s Da zur Herstellung der Anfangsbedingungen ebenfalls eine gewisse Zeit benötigt wird (Zeitkonstanten beim Laden/Entladen der Kapazitäten), kann die Rechnung erst nach Ablauf der Pausenzeit wiederholt werden. Im verwendeten Analogrechner ist das Puls- Pausenverhältnis fest auf den Wert 5 : eingestellt. In den Betriebsarten Anfangsbedingungen einstellen und Rechnung ausführen kann das Digitalvoltmeter zu Spannungsmessungen in der Analogrechnerschaltung benutzt werden. Hierzu dient die Buchse INPUT. Auch hierbei handelt es sich um eine auf +5 V normierte Anzeige.

12 4 Normierung Während die in einem physikalischen System vorkommenden veränderlichen Größen völlig unterschiedliche Dimensionen haben können, wie zum Beispiel Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg, Strom, Spannung, Leistung usw., deren Verlauf über einer unabhängigen Variablen z, häufig der Zeit, interessiert, werden beim Analogrechner nur Spannungsverläufe über der Zeit dargestellt. Die Darstellung des physikalischen Systems auf einem Analogrechner ist am einfachsten, wenn man vor dem Aufbau des Modells alle Systemgrößen durch geeignete Normierung dimensionslos macht und auf einen bestimmten Zahlenbereich begrenzt. Wegen der Begrenzung der Analogrechenspannung ist es sinnvoll, alle Systemgrößen auf ihre Maximalwerte zu beziehen. Damit wird sichergestellt, daß sich die Analogrechenspannung nur in ihrem vorgegebenen Bereich (im vorliegenden Fall U max =5V ) bewegen kann, außerdem wird hierdurch eine optimale Ausnutzung des gesamten Dynamikbereiches des Rechners erreicht. Es gelten dann folgende Beziehungen für die Systemgrößen w(z) und die Analogrechenspannung u(t): w W max = v entspricht u U max = y mit y + (2) (entsprechendes gilt für abgeleitete Größen) Für die Normierung der unabhängigen Variablen t des Analogrechners bietet sich die Maschinenzeitkonstante T an. Das ist die Zeit, in der eine Rechnung ausgeführt wird (vergleiche Kapitel 3). Zur Normierung der unabhängigen Variablen z des physikalischen Systems kann eine beliebige Normierungsgröße Z N gewählt werden, zum Beispiel der Maximalwert bei Repetierendem Rechnen oder Einmaligem Rechnen oder eine günstige Einheitsgröße, zum Beispiel Sekunde bei zeitlich veränderlichen Systemen. z = x entspricht τ = t (2) Z N T Bei zeitlich veränderlichen Systemen hat der Quotient Z N /T folgende Bedeutung: Z N < bewirkt eine Dehnung T Z N > bewirkt eine Raffung T des Zeitverhaltens der Vorgänge im Analogrechner. An folgendem Normierungsbeispiel sollen die gemachten Ausführungen erläutert werden. 4. Beispiel Ein zu untersuchendes System werde durch die Gleichung 2

13 z W = A l (z) dz (22) beschrieben. Durch Normierung ergibt sich v = l ; v a = W ; x = z (23) l max W max z max v a = A lmax z x max W max v dx = a Dabei ist a = A lmax zmax W max ein dimensionsloser Maßstabsfaktor. Auf dem Rechner entspricht der Gleichung (22) die Beziehung u a = T t x v dx (24) u dt (25) Normiert man Gleichung (25) dann erhält man y = u U max ; y a = u a U max ; τ = t T (26) y a = Umax T τ T U max y dτ = b τ y dτ (27) Dabei ist b = T /T wieder ein dimensionsloser Faktor. Ein Vergleich von Gleichung (24) mit Gleichung (27) zeigt, daß folgende Größen einander entsprechen: Systemgröße v v a x a Analogrechnergröße y y a τ b Im folgenden werden bei Rechenschaltungen anstelle von x und v die äquivalenten Bezeichnungen τ und y verwendet. 3

14 5 Nachbildung von Regelkreisgliedern 5. PT -Glied α 2 T 2 y a α y T Abbildung : Nachbildung eines Verzögerungsgliedes. Ordnung Verzögerungsglieder. Ordnung werden durch entsprechend beschaltete Integrierer nachgebildet (Bild ). Für die Schaltung nach Bild gilt ( dy a dτ = T α y + T ) α 2 y a (28) T T 2 oder Setzt man T 2 T α 2 = T und α α 2 T2 T T 2 T α 2 dy a dτ + y a = α α 2 T2 T y (29) = V,soerhält man T dy a dτ + y a = V y (3) Dies ist, abgesehen vom negativen Vorzeichen, die Differentialgleichung eines Proportionalgliedes mit Verzögerung. Ordnung. Als übertragungsfunktion erhält man daraus mit T p = s G (s) = Y a (s) Y (s) = V T s + Anmerkung: s und T sind normierte und somit dimensionslose Größen! (3) 5.2 DT -Glied Reines D-Verhalten kann man mit Hilfe der Rechenelemente nicht realisieren, da immer parasitäre Verzögerungen auftreten. Mit der in Bild gezeigten Schaltung kann man ein DT -Glied nachbilden. Der eine Verstärker im Gegenkopplungszweig dient zur Richtigstellung der Vorzeichenbilanz. 4

15 Es gilt folgende Beziehung oder y a = ( α y + T α 2 T 2 ) y a dτ (32) T 2 dy a T α 2 dτ + y a = T 2 α dy T α 2 dτ Setzt man T 2 T α 2 = T V so ergibt sich (33) T V dy a dτ + y a = α T V dy (34) dτ Gleichung (34) ist, abgesehen von dem negativen Vorzeichen, die Differentialgleichung eines DT -Gliedes. Die daraus resultierende übertragungsfunktion lautet G (s) = Y a (s) Y (s) = α T V s (35) T V s + Für T V wird ein D-Verhalten angenähert. Dies ist nur bei gleichzeitiger Einbuße an Verstärkung möglich. y α y a T 2 α 2 Abbildung : Nachbildung eines DT -Gliedes 5.3 PDT -Glied Zur Erzielung eines PDT -Verhaltens wird ein Addierer mit einer verzögerten Rückführung ausgestattet (Bild 2). Es gelten die Beziehungen ( ) dy 2 y a = (α y + y 3 ) ; dτ = T T α 2 y a + α 3 y 2 (36) T 2 T 3 Für T 2 = T 3 folgt mit y 3 = y 2 T 2 T (α 2 + α 3 ) dy a dτ + y a = α α 3 α 2 + α 3 ( T2 dy ) T α 3 dτ + y (37) 5

16 y α y 3 y a α 3 T 3 y 2 T 2 α 2 Abbildung 2: Nachbildung eines PDT -Gliedes Mit T 2 T (α 2 + α 3 ) = T V ; T 2 T α 3 = T V 2 und α α 3 α 2 + α 3 = V (38) ergibt sich T V dy ( a dτ + y a = V T V 2 dy ) dτ + y (39) Dies ist die Differentialgleichung eines PDT -Gliedes (wieder bis auf das Vorzeichen). Als übertragungsfunktion erhält man G (s) = Y a (s) Y (s) = V TV 2 s + (4) T V s + Hinweis: Die Größen T V und T V 2 sind normierte und somit dimensionslose Größen! 5.4 IT-Glieder Der Integrator ohne Verzögerung wurde schon unter behandelt. IT-Glieder werden durch Hintereinanderschalten von I- und PT -Gliedern realisiert. Die übertragungsfunktion einer solchen Schaltung lautet G (s) = T i s V n (T μ s +) μ= (4) 5.5 PI-Glied Ein PI-Glied läßt sich sehr einfach durch Parallelschaltung eines P- und eines I-Gliedes herstellen (Bild 3). 6

17 y 2 α T y y a α 2 y 3 Abbildung 3: Nachbildung PI-Gliedes Mit den Beziehungen y a = (y 2 + y 3 ) ; y 2 = α T T y dτ ; y 3 = α 2 y (42) erhält man α 2 T dy ( a α T dτ = α α2 2 T dy ) α T dτ + y (43) und mit Die übertragungsfunktion lautet α 2 T = T α T i und α 2 = V (44) T i dy a dτ = V ( T i dy dτ + y ) (45) G (s) =+ Y a (s) Y (s) = V Ti s + T i s (46) 5.6 PID(T )-Glied Durch Hintereinanderschalten eines PI-Gliedes mit einem PDT -Glied erhält man PID(T )- Verhalten (Bild 4). y 2 α T y α 2 y 3 y4 α 3 y a α 5 T 5 T 4 α 4 Aus den Gleichungen Abbildung 4: Nachbildung PID(T )-Gliedes 7

18 und mit T 4 = T 5 und T ik dy 2 dτ = T i dy dτ + y mit T ik = T α T und T i = T T α2 α (47) T V dy ( a dτ + y a = V T V 2 dy ) 4 dτ + y 4 T 4 T V = ; T (α 4 + α 5 ) T V 2 = T 4 ; V = α 3 α 5 (49) α 5 T α 4 + α 5 erhält man über die übertragungsfunktionen (48) G (s) =+ Y 4 (s) Y (s) = T i s + T ik s die Gesamtübertragungsfunktion und G 2 (s) = Y a (s) Y 4 (s) = V T V 2 s + T V s + (5) G (s) = Y a (s) Y (s) = V Ti s + TV 2 s + (5) T ik s T V s + Reines PID-Verhalten läßt sich, wie auch schon vorher bei allen Gliedern mit D- Verhalten, nicht realisieren. Für T V wird ein PID-Verhalten angenähert bei gleichzeitiger Einbuße an Verstärkung. 6 Beispiele 6. Nachbildung eines einfachen Regelkreises Bild 5 zeigt einen geschlossenen Regelkreis mit zwei Verzögerungsgliedern. Ordnung. v v 2 T 2 y T y a Abbildung 5: Regelkreis mit 2 PT -Gliedern Für diesen Regelkreis erhält man folgende übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises G g (s) = Daraus wird mit V V 2 = V k G k +G k = + G k = + (T s+) (T 2 s+) V V 2 (52) 8

19 setzt man weiterhin G g (s) = V k +V k T T 2 +V k s 2 + T +T 2 +V k s + (53) V k = V ; +V k so erhält man schließlich +V k =Ω 2 ; D = T T 2 T T T 2 2 T 2 ( + V k ) (54) G g (s) =V ( s ) 2 +2 D Ω s + (55) Ω Die Rechenschaltung für dieses System mit y 2 = y zeigt Bild y 2 T 4 T 6 3 T 3 5 T 5 y a Abbildung 6: Rechenschaltung für einen Regelkreis mit zwei PT -Gliedern Für die beiden Verzögerungsglieder gilt nach 4. T = T 4 α 4 T ; V = α 3 T 4 α 4 T 3 ; T 2 = T 6 α 6 T ; V 2 = α 5 T 6 α 6 T 5. Mit T = const und T 2 = const läßt sich die Kreisverstärkung und damit auch D durch die Parameter α 3,T 3,α 5 und T 5 variieren. 6.2 Geschwindigkeitsfehler des Regelkreises Der Geschwindigkeitsfehler eines Proportionalgliedes mit der Sprungantwort w(t) ist definiert zu (56) f V (t) =r (t) w ( ) v (t) (57) r (t) = Anstiegsfunktion, w (t) = Sprungantwort, v (t) = Anstiegsantwort, w ( ) = lim w (t). t f V (t) läßt sich mit einer Schaltung messen, die folgendem Blockschaltbild entspricht: Auf dem Analogrechner läßt sich diese Schaltung mit den in Kapitel 2 besprochenen Bauelementen nachbilden, wobei für den schwingungsfähigen Block der unter 6. dargestellte Regelkreis eingesetzt werden soll. 9

20 y r(t). w( ) f V (t) v(t) t Abbildung 7: Geschwindigkeitsfehler s(t) s r(t) r(t) v w( ) ω,d f V (t) Abbildung 8: Blockschaltbild zur Messung des Geschwindigkeitsfehlers 6.3 Regelfläche Die Definition der Regelfläche lautet mit A = lim t a (t) (58) a (t) = s t [w ( ) w (τ)] dτ (59) Vertauscht man in Bild 8 die Reihenfolge der Blöcke, so daß der Integrator hinter der Summierstelle liegt, dann erhält man eine Schaltung zur Bestimmung der Funktion a(t). (Dabei liegt an den Eingängen der parallel geschalteten Blöcke s(t) anstelle von r(t)). 2

21 7 Aufgabenstellungen 7. Vorbereitungsaufgaben. Geben sie das Schaltbild einer invertierden und einer nichtinvertierenden Operationsverstärkerschaltung an. Geben sie die Beziehung zur Berechnung des Übertragungsfaktors an. 2. Welche Verbindungen sind noch notwendig, um aus der Innenschaltung eines Addierers nach Bild 6 einen funktionsfähigen Addierer zu machen? Welche Verstärkungen lassen sich mit den vorhandenen Festwiderständen erzielen? 3. Wie läßt sich die Innenschaltung eines Differenzverstärkers (Bild 7) als Addierer nutzen? Welche Verstärkungen sind hier möglich? Wie läßt sich die Innenschaltung als Differenzverstärker nutzen? 4. Welche Verbindungen ergänzen die Innenschaltung eines Integrierers (Bild 9) zu einem vollständigen Integrierer? Welche Integrierzeitkonstanten sind nur durch Verbindungen einstellbar? Wie läßt sich mit einem zusätzlichen Potentiometer die Zeitkonstante stufenlos variabel machen? Machen Sie sich die Funktionsweise der Betriebsart IC klar! Was geschieht, wenn der Anschluß IC unbeschaltet bleibt? 5. Bei den Versuchen im Labor sollen folgende lineare Übertragungssysteme untersucht werden: a) I-Glied b) PT -Glied c) DT -Glied d) PDT -Glied e) IT-Glied f) PI-Glied g) PIDT -Glied Geben sie zu den oben angegebenen Systemen jeweils die Übertragungsfunktion, die beschreibende Differentialgleichung und das Bodediagramm an. 2

22 7.2 Laboraufgaben 6. Die im folgenden aufgeführten Anordnungen sind aufzubauen; ihre Sprungantworten sind aufzunehmen und zu diskutieren. a) I-Glied b) PT -Glied c) DT -Glied d) PDT -Glied e) IT-Glied f) PI-Glied g) PIDT -Glied 7. Man überlege sich eine Schaltung für einen geschlossenen Regelkreis mit zwei I- Gliedern. Dazu berechne man die resultierende Dämpfung und die Eigenfrequenz. Anschließend sind diese Ergebnisse mit Hilfe des Analogrechners zu überprüfen. 8. Für das unter 6.2 beschriebene Blockschaltbild zur Messung des Geschwindigkeitsfehlers ist eine Rechenschaltung zu entwickeln und auf dem Analogrechner zu überprüfen. Die Rechenschaltung ist bei der Vorbesprechung vorzulegen. 9. Mit der unter 6.3 beschriebenen Schaltung ist der zeitliche Verlauf der Funktion a(t) aufzunehmen und mit den Verlauf des Geschwindigkeitsfehlers zu vergleichen.. Eine PT 2 -Strecke soll geregelt werden. Als Vorbereitung ist ein geeigneter Regler auszuwählen und zu dimensionieren. Während des Versuches soll die Strecke mit unterschiedlichen Reglern geregelt werden. Der Einfluß von sprungförmigen Sollwertänderungen und Störungen im Regelkreis ist aufzunehmen und zu diskutieren.. Ein PID(T )-Glied läßt sich auch durch die Parallelschaltung eines P-, I- und D- Kanals realisieren. Hierfür ist eine geeignete Rechenschaltung zu entwickeln und bei der Vorbesprechung vorzulegen. Literatur [] Regelungstechnisches Praktikum I, Versuch. [2] Giloi, Lauber: Analogrechner. Springer Verlag [3] Ernst: Elektronische Analogrechner. R. Oldenbourg Verlag, München [4] Tietze, Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik. Springer Verlag [5] BICC-Vero-Electronics Bremen: Applikationen zum Analogcomputer. 22