3 Bewegungen und Kinematik

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1 3 Bewegungen und Kinematik 3.1 Einleitung und Grundbegriffe In der Mechanik interessieren wir uns für Bewegungsabläufe und Kräfte. Die Kräfte werden wir im nächsten Kapitel behandeln, ebenso wie Kräfte zu Bewegungen führen. Das wird das Thema der Dynamik sein. Im Moment beschränken wir uns auf die Beschreibung von Bewegungen, die Kinematik. Diese Bewegungen können sehr unterschiedlicher Natur sein. Das geht von der Futtersuche der Cataglyphis, über das Springen einer Heuschrecke, bis zur Bewegung von Elektronen in einem Teilchenbeschleuniger oder der Sonne um das Zentrum der Galaxis. Das faszinierende ist, dass alle diese Bewegungen den gleichen Gesetzmässigkeiten unterliegen. Bei allen fragen wir uns, wann ist das Ding dessen Bewegung wir beschreiben wo? Um diese Fragen zu beantworten und welche Grössen wir zur Beschreibung brauchen, gehen wir schrittweise vor. Wir untersuchen zunächst, welches die minimalen Anforderungen sind, damit wir eine Bewegung vollständig beschreiben können. Der einfachste Fall den wir betrachten können ist eine Bewegung die nur in einer Richtung stattfinden kann. Damit wollen wir beginnen. 44

2 3.2 Geradlinige Bewegung Wir schränken vorerst die beobachteten Bewegungen ein auf Fälle, wo die Bewegung geradlinig ist, also nur in eine Richtung geht. Dies kann entlang der Horizontalen passieren wie bei einem Auto auf ebener Strasse, in der Vertikalen wie beim Fall oder entlang einer geneigten Ebene. Die Ursache der Bewegung interessiert uns im Moment nicht. Ferner soll das sich bewegende Objekt als ein fester Körper bewegen und nicht rotieren, also entweder betrachten wir ein extrem kleines, nahezu punktförmiges Teilchen oder ein ausgedehntes Objekt, bei dem alle Teile starr miteinander verbunden sind. Wenn wir wissen wollen, wo ein Objekt zu einem bestimmten Zeitpunkt ist, es also lokalisieren wollen, müssen wir die Position relativ zu einem Referenzpunkt feststellen. Das ist wie bei der Streckenmessung im letzten Kapitel, wo wir die Länge eines Stabes über die Messung zweier Positionen bestimmt haben. Diesen Referenzpunkt nennt man häufig den Ursprung (origo: O) einer Achse, hier sagen wir die x Achse: O x Die Position entlang dieser Achse, der Ort x, wird in Vielfachen eines Achsenabschnitts (z. B. 1 cm) gemessen. In welcher Richtung sich das Objekt bewegt wird durch das Vorzeichen angegeben: negative Richtung O positive Richtung +x Bewegt sich ein Objekt von einem Ort x 1 zu einem anderem Ort x 2, so ist die Ortsveränderung (Verschiebung): x = x 2 x 1 (3.41) Mit dem Symbol bezeichnen wir immer die Änderung der entsprechenden Grösse. Die Ortsveränderung sollte nicht mit dem zurückgelegtem Weg verwechselt werden : [cm] x = 4 cm, Weg = 4 cm x = 2 cm, Weg = 6 cm x = 4 cm, Weg = 4 cm Bei der hier betrachteten geradlinigen Bewegung braucht es nur eine einfache Zahl, um den Ort anzugeben, eine Koordinate. Ebenfalls braucht es nur eine Zahl um die Ortsveränderung anzugeben. Es handelt sich um eine eindimensionale Bewegung. Es gibt einen Freiheitsgrad. Man sagt hier auch, dass Ort und Ortsveränderung durch einen Skalar gegeben sind. Im nächsten Unter-Kapitel werden wir dann allgemeinere Bewegungen im Raum betrachten. Dort braucht es im Allgemeinen drei Zahlen, um einen Ort anzugeben, die drei Koordinaten. 45

3 Die Ortsveränderung wird ebenfalls durch drei Zahlen (drei Koordinaten oder Betrag und Richtung) angegeben. Im dreidimensionalen Raum ist die Ortsveränderung eine (dreidimensionale) Vektorgrösse. Zurück zu den geradlinigen Bewegungen: Eine kompakte Form geradlinige Bewegungen darzustellen, ist ein Diagramm, das x als Funktion der Zeit t darstellt. Als Beispiel zeigt uns Abbildung 3.28 die Höhe über dem Boden, die das in Abbildung 3.29 gezeigte Gürteltier während seines Sprungs erreicht. Abbildung 3.28: Sprunghöhe über dem Boden x [m] in Funktion der Zeit t [s] für das springende Gürteltier Abbildung 3.29: Aufgeschrecktes Gürteltier Das Diagramm in Abbildung 3.28 beschreibt nicht nur die Bewegung, sondern offenbart auch wie schnell sich das Gürteltier bewegt. Mehrere physikalische Grössen sind mit der Aussage wie schnell assoziiert. Eine ist die mittlere Geschwindigkeit v = x t = x 2 x 1 t 2 t 1 = Ortsveränderung Zeitintervall (3.42) Die mittlere Geschwindigkeit (velocity) entspricht der Steigung tan α der Geraden, die den Anfangspunkt x 1 (t 1 ) mit dem Endpunkt x 2 (t 2 ) des Intervalls verbindet. Auch v wird erst durch Betrag und Richtung bestimmt. Das Vorzeichen von v wird durch x bestimmt, da bei einer Messung zu aufeinanderfolgenden Zeiten t immer positiv ist. Die mittlere Schnelligkeit s = zurückgelegter Weg Zeitintervall (3.43) 46

4 ist eine weitere Art, wie die Phrase wie schnell ausgelegt werden kann. Im in Abbildung 3.28 eingezeichneten Weg des Gürteltiers bis zum Maximum sind die Definitionen von v und s gleich. Wenn wir den Rückweg auch betrachten, ist dem nicht mehr so: dann ist v = 0 wegen x = 0. Schliesslich landet das Tier am Startpunkt. Andererseits ist s für den Aufstieg und Fall gleich, einfach umgekehrt. Wie schnell kann aber auch bedeuten, wie schnell bewegt sich ein Objekt in einem bestimmten Zeitpunkt, was ist seine momentane Geschwindigkeit. Diese momentane Geschwindigkeit definieren wir als den Grenzwert der mittleren Geschwindigkeit, wenn das Zeitintervall immer kleiner wird. x v = (momentane) Geschwindigkeit = lim t 0 t dx dt (3.44) Der Zusatz momentan wird in der Physik in der Regel weggelassen. Nennen wir x 2 = x(t), t 2 = t und x 1 = x(t 0 ), t 1 = t 0, dann ist die Geschwindigkeit zur Zeit t 0 gegeben durch x(t) x(t 0 ) v(t 0 ) = lim dx t t0 t t 0 dt t=t 0 (3.45) Mathematisch gesehen heisst dieser Grenzwert die Ableitung oder Differentiation der Funktion x(t) an der Stelle t 0. Das ist die Geschwindigkeit v(t 0 ). Geometrisch entspricht die Ableitung der Steigung der Tangente an die Kurve x(t) im Punkt t 0 (siehe Abbildung 3.30), statt der Steigung der Gerade zwischen t 1 und t 2 : v(t 0 ) = lim t t0 x(t) x(t 0 ) t t 0 = tan α 0 (3.46) Abbildung 3.30: Geometrische Bedeutung der Ableitung: Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten entspricht dem Übergang von der Steigung der Sekanten zur Steigung der Tangenten. Für die Zeit-Ableitung werden auch alternativ die Bezeichnungen dx, oder ẋ (3.47) dt verwendet. Der Betrag der Geschwindigkeit ist die Schnelligkeit. Für unser Gürteltier (Abbildung 3.28) können wir durch Messung der Steigung der Tangente die Geschwindigkeit ermitteln. Es ergibt sich die in Abbildung 3.31 dargestellte Geschwindigkeitskurve. Wenn wir uns z.b. den Weg einer Cataglyphis anschauen, dann können wir die Unterschiede in den verschiedenen Betrachtungsweisen von wie schnell besser veranschaulichen. Einerseits 47

5 Abbildung 3.31: Geschwindigkeit [m/s] (linke Skala) und Beschleunigung [m/s 2 ] (rechte Skala) des Gürteltiers (Abbildungen 3.28 und 3.29). v [m/s] v(t) a(t) Max. Höhe a [m/s 2 ] t [s] ist die Schnelligkeit und die Geschwindigkeit nicht dieselbe. Ebenso ändert sich der Wert der mittleren Geschwindigkeit je nachdem mit welcher Zeitauflösung wir schauen und wir können den Grenzwert für die momentan-geschwindigkeit bestimmen. Bei der Cataglyphis müssen wir ausserdem zwei Richtungen betrachten, da sich die Ameise in einer Ebene bewegt. Das werden wir im nächsten Kapitel eingehender behandeln. Wenn ein Objekt seine Geschwindigkeit ändert, sprechen wir von Beschleunigung. Im täglichen Leben bedeutet Beschleunigung normalerweise Geschwindigkeitszunahme, in der Physik enthält dieser Begriff sowohl Zu- wie Abnahme, also auch das Abbremsen. Die mittlere Beschleunigung (acceleration) a wird definiert als a = v 2 v 1 = v (3.48) t 2 t 1 t Analog zur Definition der momentanen Geschwindigkeit definieren wir als momentane Beschleunigung a = dv v(t) v(t 0 ) oder präziser a(t 0 ) = lim = dv dt t t0 t t 0 dt t=t 0 (3.49) Die Beschleunigung a(t) ist gegeben durch die Steigung der Tangente an die Kurve v(t) Vertikaler Sprung oder Wurf Bei dem Gürteltier (Abbildung 3.31), das senkrecht nach oben springt, handelt es sich um eine eindimensionale Bewegung in vertikaler Richtung. Es bewegt sich zuerst nach oben, und dann wieder nach unten. Im Geschwindigkeitsdiagramm ist v(t) eine Gerade, d. h. die Steigung der Kurve ist konstant und negativ: a = 9.8 m/s 2 (Gravitationsbeschleunigung auf der Erdoberfläche). Die Geschwindigkeit ist zuerst positiv (nach oben) und dann negativ (nach unten). Die Umkehroperation des Differenzierens ist das Integrieren. So wie man v(t) und a(t) durch Differenzieren von x(t) bzw. v(t) erhält, kann man umgekehrt x(t) und v(t) durch Integrieren 48

6 von v(t) bzw. a(t) erhalten: v(t) = t t 0 a(t )dt + v(t 0 ) x(t) = t t 0 v(t )dt + x(t 0 ) (3.50) v(t) ist eine Stammfunktion von a(t), x(t) ist eine Stammfunktion von v(t). Wir haben die Integrationsvariable t getauft, um sie von der oberen Grenze des Integrals t zu unterscheiden. Für den Spezialfall konstanter Beschleunigung erhalten wir a(t) = a 0 v(t) = t t 0 a 0 dt + v(t 0 ) = a 0 (t t o ) + v(t 0 ) (3.51) t 0 = 0, v(0) = v 0 v(t) = a 0 t + v 0 (3.52) x(t) = t t 0 v(t )dt + x(t 0 ) = t t 0 a 0 (t t o )dt + t t 0 v(t 0 )dt + x(t 0 ) (3.53) x(t) = a 0 2 (t t 0) 2 + v(t 0 )(t t 0 ) + x(t 0 ) (3.54) t 0 = 0, v(0) = v 0, x(0) = x 0 x(t) = a 0 2 t2 + v 0 t + x 0 (3.55) t 0 = 0, v(0) = 0, x(0) = 0 t = x(t) 2 a 0 (3.56) Die Skalenabhängigkeit dieser Beziehung haben wir im letzten Kapitel auch schon aus Dimensionsanalyse bestimmt, aber jetzt wissen wir was der relevante Vorfaktor ist! Wenn wir den Verlauf von v(t) und a(t) gegen die Zeit auftragen, wie wir dies am Beispiel des Gürteltiers in Abbildung 3.31 getan haben, dann lässt sich das Integral auch aus der graphischen Darstellung bestimmen. Abbildung 3.32 zeigt, dass die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve dem zurückgelegten Weg entspricht Experimentelles Beispiel Zum Abschluss betrachten wir als Beispiel die Bewegung eines reibungsfrei gleitenden Reiters auf einer Luftkissenschiene (Abbildung 3.33). Im ersten Fall (Abbildung 3.34) läuft der Reiter ohne Beschleunigung (also mit konstanter Geschwindigkeit) bis zum Ende der Schiene, wo durch den Stoss mit der Begrenzung die Bewegungsrichtung und die Geschwindigkeit umgekehrt wird, der Reiter also kurz beschleunigt wird. Im zweiten Fall (Abbildung 3.35) ist der Reiter an den beiden Enden mit einer dünnen Feder befestigt, so wird er immer mit einer Kraft zum Ausgangspunkt zurückgezogen je weiter weg er geht. Die Bewegung des Reiters kann mit einer elektrischen Messvorrichtung registriert werden. In festen Zeitabständen wird die Position gemessen. Die beiden Abbildungen zeigen zwei solche Messungen. Durch Berechnen des Differenzenquotienten kann die Geschwindigkeit numerisch ermittelt werden, ebenso aus den Geschwindigkeitsdifferenzen die Beschleunigung. 49

7 Abbildung 3.32: Geschwindigkeitsverlauf für eine konstante Beschleunigung. Die schraffierte Fläche entspricht dem zwischen der Zeit t 0 und der Zeit t zurückgelegten Weg. t E markiert das Ende der Bewegung, für das Gürteltier aus Abbildung 3.28 die Rückkehr zum Boden. Da die Steig- und Fallhöhe gleich sind, ist die Fläche der beiden Dreiecke oberhalb und unterhalb der Achse gleich. v 0 v 0 a 0 t v(t) t 0 t Max. Höhe t E t Abbildung 3.33: Luftkissenschiene. 50

8 Abbildung 3.34: Messprotokoll für den mit konstanter Schnelligkeit auf der Luftkissenschiene sich hin- und herbewegenden Reiter. Im ersten Fall, ohne Beschleunigung erhalten wir experimentell die Beziehungen, die wir oben für den Spezialfall konstanter Beschleunigung behandelt haben. Jedenfalls überall, ausser an den Enden, wo sich die Bewegungsrichtung umkehrt und wir eine Beschleunigung haben müssen. überall sonst ist a(t) = 0, v(t) = v 0 auf dem Hinweg und v(t) = v 0 auf dem Rückweg. Das heisst, wir messen eine lineare Zunahme bzw. Abnahme des Ortes mit der Zeit für den Hinbzw. Rückweg. Die Tatsache, dass der Reiter immer wieder die gleiche Strecke zwischen den beiden Enden zurücklegt, macht seine Bewegung zu einer periodischen Bewegung, hier durch die Sägezahnkurve repräsentiert. Die zweite Messung zeigt ebenfalls eine periodische Bewegung. Wir erkennen in der Kurve eine Sinus- bzw. Cosinusfunktion. Nennen wir die Zeit, die der Reiter für den Hin- und Rückweg braucht die Periode T, die maximale Distanz vom Zentrum der Schiene, die der Reiter erreicht A, dann können wir die gemessene Kurve durch die folgende Funktion beschreiben: x(t) = A cos( 2π t) = A cos(ωt) T ω 2π T (3.57) Man überzeugt sich leicht, dass x = A ist für die Zeiten t = 0, t = T und für alle weiteren Zeiten t = nt, mit n = ganze Zahl. Durch Differenzieren finden wir v(t) = dx dt = 2π T A sin(2π T t) = ωa sin(ωt) a(t) = dv dt = 4π2 T 2 A cos(2π T t) = ω2 A cos(ωt) 51 (3.58)

9 Diese Zusammenhänge werden durch die Messprotokolle bestätigt. Die neu eingeführte Grösse ω nennt man auch die Kreisfrequenz. Je gösser ω ist, desto grösser ist die Amplitude der Geschwindigkeit und der Beschleunigung. Das haben wir experimentell auch gesehen. Interessant an diesem Fall ist vor allem, dass hier die Position x(t) und die Beschleunigung a(t) die gleiche Zeitabhängigkeit haben und einander direkt proportional sind, also x(t) a(t). Das wird uns in Kapitel 4.3. noch eingehend beschäftigen, denn das beschreibt den Fall einer der Auslenkung proportionalen Kraft. Abbildung 3.35: Messprotokoll für den sich periodisch an eine Feder gekoppelt hin- und herbewegenden Reiter auf der Luftkissenschiene. 3.3 Bewegung in zwei und drei Dimensionen Die Bewegungen, die wir beschreiben wollen beschränken sich aber bei Weitem nicht nur auf einfache eindimensionale Fälle. Wir haben in der Einleitung schon das Beispiel der Cataglyphis und ihrer Bewegungen kennengelernt. Diese finden in einer Ebene der Wüste statt und damit in zwei Dimensionen. Dazu reicht es nicht mehr wenn wir nur die Zeitabhängikeit der Position einer Richtung betrachten. Wie in Fig gezeigt, können wir die Bewegung mit Hilfe von zwei Abhängigkeiten beschreiben. Das heisst, der Ort der Ameise wird durch einen zweidimensionalen Vektor beschrieben. Auch das Gürteltier wird genauer betrachtet nicht direkt in die Höhe springen, sondern sich in der Ebene auch noch ein wenig bewegen. Also brauchen wir für solche Bewegungen eigentlich 52

10 Abbildung 3.36: Der Weg einer Cataglyphis auf der Futtersuche. Zugehöriges Weg-Zeit Diagramm. sogar drei Richtungen (oder Koordinaten) die wir beschreiben werden. Anders ausgedrückt, der Ort im Allgemeinen wird in unserer Beschreibung ein dreidimensionaler Vektor sein Vektoren Wie wir bei der Beschreibung der Bewegung der Cataglyphis gesehen haben, müssen wir die Ebene in zwei Koordinaten unterteilen. Sehr oft sind das zwei Richtungen, die senkrecht aufeinander stehen. Dann spricht man von kartesischen Koordinaten (nach Rene ïch denke also bin ich Descartes). Da die beiden Richtungen senkrecht aufeinander stehen, ist eine Bewegung in die eine Richtung nie auch eine Bewegung in die andere. Darum können wir die Bewegung auch einfach als das Paar der Bewegungen beschreiben. Dieses Paar, zusammengefasst in eine Grösse ist der Vektor der Bewegung. Die einzelnen Richtungen sind die Komponenten des Vektors. Wenn man alle Komponenten zusammennimmt und jeweils in ihre Richtung gehen lässt erhält man die Gesamtrichtung des Vektors sowie seinen Betrag. Wenn ich je einen Schritt nach rechts und nach vorne gehe habe ich mich diagonal nach vorne rechts bewegt und zwar eine Distanz von 2 Schritten. Wir schreiben den Vektor als Summe seiner Komponenten (im zweidimensionalen Fall x, y und den kartesischen Einheitsvektoren e 1, e 2 : r = x e 1 + y e 2 (3.59) Hier ist die Länge des Vektors gegeben durch r = x 2 + y 2 (3.60) 53

11 und die Richtung durch tanθ = y x (3.61) Abbildung 3.37: Der Beschleunigungsmesser im Mittelohr. Die drei ineinander verschlungenen Röhren des Vestibular-Organs messen die drei Komponenten der Beschleunigung über die Trägheit des Endolymphs. Da wir uns in einer dreidimensionalen Welt bewegen, müssen wir um unseren Bewegungszustand zu bestimmen auch drei Komponenten der Beschleunigung messen, also die Komponenten a x, a y, a z. Dies geschieht beim Menschen im Innenohr, mit einer Kombination aus drei Kreisförmig geformten Röhren, dem Vestibularorgan. Diese drei Vestibulen stehen jeweils senkrecht aufeinander und bilden so die Basis zur Messung der drei Komponenten der Beschleunigung, die auf unseren Kopf wirkt. Was passiert ist, dass bei einer Beschleunigung des Kopfes die Flüssigkeit in den Vestibulen, der Endolymph, zu fliessen beginnt. Wir werden im nächsten Kapitel sehen woher das kommt. Die Trägheit der Flüssigkeit führt dazu, dass sie der Beschleunigung des Kopfes nicht direkt folgt. Der so induzierte Fluss bewirkt dann eine Kraft auf die Capulae, die unten in den Röhren befestigt sind. Diese Capulae sind mit Neuronen verbunden, die das Signal der Messung weitergeben Differenzieren des Orts- und Geschwindigkeitsvektors Wie gesagt, werden im dreidimensionalen Raum Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Vektoren dargestellt. Um wie oben diskutiert die Bewegung zu beschreiben, müssen wir also den Ortsvektor ableiten. Dabei stellt sich die Frage: Wie leitet man einen Vektor ab? Vektoren sind ja eine spezielle Art von mehrwertigen Funktionen von mehreren Variablen. Hier betrachten wir Vektorfelder im engeren Sinne als eine dreiwertige Funktion r(x, y, z) die an 54

12 jedem Punkt im dreidimensionalen Raum definiert ist. Der Vektor soll ausserdem sich im Laufe der Zeit ändern können, es ist also r = r(x, y, z, t) (3.62) Wir hatten ja oben den Vektor als Summe seiner Komponenten r x, r y, r z und den kartesischen Einheitsvektoren e 1, e 2, e 3 geschrieben: r = r x e 1 + r y e 2 + r z e 3 (3.63) Auf diese Formel können wir die Summen- und Produkteregel anwenden. Wir nehmen ausserdem an, dass die Einheitsvektoren fest im Raum stehen und sich nicht bewegen. Dann werden nur noch die Komponenten nach der Zeit abgeleitet und somit r t = r x t e 1 + r y t e 2 + r z t e 3 (3.64) Wir schreiben partielle Ableitungen, weil der Vektor und damit die Komponenten ja nicht nur von der Zeit, sondern auch vom Ort abhängen können. Als spezielles Beispiel betrachten wir den Ortsvektor und seine Ableitungen: Bewegt sich ein Teilchen entlang einer beliebig verlaufenden Bahn im Raum, so markieren wir seine Position relativ zu einem Referenzpunkt durch den Ortsvektor r. Ein Beispiel dafür stellt auch der Pfad der Cataglyphis in Fig dar. Idealisiert haben wir einen kurzen Abschnitt einer solchen Kurve nocheinmal in Fig gezeigt. r enthält die Information über den Abstand zum Referenzpunkt: OA r = Länge des Ortsvektors und die Richtung im Raum. r ist zeitabhängig. Der Ortsvektor ist also zeitabhängig: r(t) = x(t) e 1 + y(t) e 2 + z(t) e 3 (3.65) Die Ableitung nach der Zeit des Ortsvektors ergibt die Geschwindigkeit v, zweimaliges Ableiten die Beschleunigung a: v(t) = d r(t) dt = dx(t) dt e 1 + dy(t) e 2 + dz(t) dt dt e 3 (3.66) 55

13 a(t) = d2 r(t) dt 2 = d2 x(t) dt 2 e 1 + d2 y(t) dt 2 e 2 + d2 z(t) dt 2 e 3 (3.67) Wir dürfen hier normale Ableitungen schreiben, da die Grössen jetzt alle nur von der Zeit abhängen! Beispiele: Schuss, Sprung und Wurf In diesem Abschnitt betrachten wir die Bewegung eines Objekts während eines freien Falls. In vertikaler Richtung haben wir die Situation schon beschrieben und das Objekt wird durch die Anziehungskraft der Erde konstant nach unten beschleunigt, in horizontaler Richtung ist die Beschleunigung null während des Flugs oder des Falls, weil wir vom Luftwiderstand absehen wollen. a y = g a x = 0 (3.68) Am Anfang der Bewegung hat das Objekt die Geschwindigkeit v 0 mit den Komponenten v x = v 0 cos θ 0 und v y = v 0 sin θ 0 (3.69) Die Starthöhe zur Zeit t = 0 sei y 0. Der Einfachheit halber wählen wir den Ursprung der x Achse am Startort: x 0 = 0. Durch Anwendung der Formeln für die geradlinige Bewegung und den Spezialfall konstanter Beschleunigung erhalten wir: v y = v 0 sin θ 0 gt y = y o + v 0 t sin θ 0 g 2 t2 (3.70) v x = v 0 cos θ 0 x = v 0 t cos θ 0 (3.71) Die Gleichung der Bahnkurve, die Wurfparabel, die die Flughöhe y als Funktion der Flugdistanz x angibt erhält man aus den obigen Beziehungen durch Eliminieren der Zeit: y = y 0 + tan θ 0 x g 2v 2 0 cos2 θ 0 x 2 (3.72) Die maximale Höhe erreicht das Objekt, wenn v y = 0 gilt, also zur Zeit t = v 0 sin θ 0 /g: y max y 0 = v2 0 sin2 θ 0 2g (3.73) 56

14 Da Steigzeit und Fallzeit gleich sind, erreicht das Objekt seine Ausgangshöhe wieder zur Zeit t = 2v 0 sin θ 0 /g und erreicht dort eine Weite: x max = 2v2 0 sin θ 0 cos θ 0 g = v2 0 sin 2θ 0 g (3.74) Aus der obigen Formel schliesst man, dass die Weite am grössten wird, wenn der Abflugwinkel θ 0 = 45 beträgt, und dass man die gleiche Weite erreicht, wenn θ 0 = α/2 bzw. θ 0 = 90 α/2 gewählt wird. Abbildung 3.38 zeigt uns den Geschwindigkeits- und den Beschleunigungsvektor an verschiedenen Stellen der Bahnkurve. Während a immer die gleiche Richtung und Grösse hat, ändert sich die Richtung und Grösse von v kontinuierlich. Die Komponente v x ist konstant, die Komponente v y ändert während des Fluges ihr Vorzeichen. Abbildung 3.38: Richtung und Grösse des Geschwindigkeits- und des Beschleunigungsvektors an verschiedenen Punkten der Flugbahn. Beispiel: das Gürteltier: Das photographierte Tier von Abbildung 3.29 erreicht nach 0.2 s eine Höhe von m. Wie lange ist es in der Luft und welche maximale Höhe erreicht es? Wir nehmen an, das Tier springt senkrecht nach oben (θ 0 = 90 ). Dann können wir aus y = v 0 t g 2 t2 mit den gegebenen Zahlen v 0 = 3.70 m/s ermitteln (g = 9.81 m/s 2 ). Bei einer Zeit von t = v 0 /g = s erreicht das Tier seine maximale Höhe von v0 2 /(2g) = m. Diese Befunde sind in der graphischen Darstellung von Abbildung 3.28 enthalten. Die parabolische Form der Wurfparabel wird auch dazu verwendet um Schwerelosigkeit über einen nicht allzu kurzen Zeitraum zu simulieren. Im freien Fall ist man schwerelos. Das heisst es wirkt nur die Erdanziehung auf einen. Wir werden im nächsten Kapitel genauer sehen was das heisst. Wenn man sich also in ein Flugzeug begibt und damit die Flugbahn einer Parabel fliegt, dann wirkt auf alle Insassen nur noch die Schwerkraft, da sie sich auf der gleichen Kurve wie ein frei fallendes Objekt befinden. In dieser Situation kann man dann während so etwa 20 Sekunden Experimente in der Schwerelosigkeit ausführen. 3.4 Bewegung entlang einer Kreisbahn Ein häufig in der Natur auftretender Spezialfall einer ebenen, zweidimensionalen Bewegung ist der, wo sich das Objekt auf einer Kreisbahn bewegt, denken wir z. B. an die Planetenbah- 57

15 nen, die meistens in guter Näherung Kreise sind, das Verhalten von Fahrzeugen in Kurven, die von Skifahrern durchfahrenen Mulden oder überfahrenen Kuppen, und ähnliches mehr. Die Kreisbahn ist auch deshalb interessant, weil die beschriebenen Situationen, auch wenn sie keine ideale Kreisbahn sind, doch sehr gut (mindestens lokal) durch eine Kreisbahn angenähert werden können. Eine Kreisbahn ist definiert durch den Ortsvektor r, mit dem Ursprung des Koordinatensystems im Zentrum des Kreises und einem konstanten Abstand (dem Radius des Kreises). Es gilt: r = r(t) = konst (3.75) Aber r(t) ist natürlich nicht konstant, der Ortsvektor dreht sich im Kreise herum, er ändert ständig seine Richtung. Ebenso v(t) = d r/dt. Ein interessanter Spezialfall der Kreisbewegung ist der wenn die Schnelligkeit konstant ist, d.h. der Geschwindigkeitsvektor ist immer gleich lang (auch wenn er seine Richtung ändert) Konstante Schnelligkeit Konstante Schnelligkeit bedeutet v = v = const., d. h. der Betrag der Geschwindigkeit ändert sich nicht, nur deren Richtung. Wir berechnen vorerst Aber es gilt auch die Produkteregel: r r = r 2 = konst dr 2 dt = 0 (3.76) 0 = dr2 dt = d r d r r + r dt dt = 2 v r (3.77) Dabei bedeuten die Punkte immer das Skalarprodukt. Damit haben wir bewiesen, das v r, wie in der Skizze dargestellt: Die Richtung der Geschwindigkeit ist identisch mit der Richtung der Tangente an die Bahn, an den Kreis mit Radius r. v(t) r(t) Wie gross ist die Beschleunigung a = d v/dt? Wir betrachten vorerst den Fall, wo der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist, also v = v(t) = konst (3.78) 58

16 und wenden den analogen Trick wie oben an: und wieder nach der Produkteregel v v = v 2 = konst dv 2 dt = 0 (3.79) 0 = dv2 dt = d v d v v + v dt dt = 2 a v (3.80) Offenbar gilt a v. Da wir uns in der Ebene bewegen muss demnach a und r parallel oder antiparallel sein. Wie wir gerade gesene haben gilt: v r = 0. Damit gilt auch 0 = d( v r) dt und nach der Produktregel d( v r) 0 = = d v d r r + v dt dt dt = a r + v2 (3.81) Dividieren durch r und Umsortieren ergibt a r r = v2 r (3.82) Das Skalarprodukt a r r gibt die Komponente von a in Richtung r an. Die Beschleunigung zeigt also gegen den Mittelpunkt des Kreises (!), man nennt sie auch Zentripetalbeschleunigung. Sie hat den Betrag a N = v 2 /r. v(t) a(t) Diese Beschleunigung heisst auch Zentripetalbeschleunigung. Der Index N deutet an, dass die Richtung der Zentripetalbeschleunigung senkrecht (normal) zur Bahn ist. Die Komponente der Beschleunigung parallel zur Bahn heisst die Tangentialkomponente a T. Für die Kreisbahn mit konstanter Schnelligkeit gilt a T = 0 (3.83) da sich die Schnelligkeit, sprich die Geschwindigkeit entlang der Bahn ja nicht ändert. 59