Kinematik & Dynamik. Über Bewegungen und deren Ursache Die Newton schen Gesetze. Physik, Modul Mechanik, 2./3. OG

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1 Kinematik & Dynamik Über Bewegungen und deren Ursache Die Newton schen Gesetze Physik, Modul Mechanik, 2./3. OG Stiftsschule Engelberg, Schuljahr 2016/2017

2 1 Einleitung Die Mechanik ist der älteste Teil der Physik. Sie ist aus der Entwicklung einfacher Maschinen wie Hebel und Flaschenzug und aus der Beobachtung der Himmelskörper entstanden. Galileo Galilei und Isaac Newton haben sie als Wissenschaft begründet. Die Mechanik teilt man ein in die Kinematik und in die Dynamik. Die Kinematik beschreibt die Formen von Bewegungen. Die Dynamik fragt nach dem Zusammenspiel zwischen Kräften und Bewegungen. Sie gibt also eine Antwort auf die Frage nach der Ursache von Bewegungen. 1

3 2 SI-Einheiten Zum Rechnen mit physikalischen Grössen und deren Einheiten hat sich das SI-System (SI = Système international d Unités) durchgesetzt. 2.1 Basisgrössen im SI-System Die Basisgrössen im SI-System sind: Basisgrösse Name Zeichen Definition Länge l Meter m Das Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der Dauer von 1/ Sekunden durchläuft. Masse m Kilogramm kg Das Kilogramm ist die Einheit der Masse; es ist gleich der Masse des internationalen Kilogrammprototyps. Zeit t Sekunde s Die Sekunde ist das fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids Cs-133 entsprechenden Strahlung. Elektrische Stromstärke I Ampère A Das Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der, durch zwei parallele, geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von einem Meter voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt fliessend, zwischen diesen Leitern je einem Meter Leiterlänge die Kraft Newton hervorrufen würde. Temperatur T Kelvin K Das Kelvin, die Einheit der thermodynamischen Temperatur, ist der te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers. Stoffmenge n Mol mol Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel Einzelteilchen besteht, wie Atome in Kilogramm des Kohlenstoffnuklids C-12 enthalten sind. Bei Benutzung des Mol müssen die Einzelteilchen spezifiziert sein und können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen oder Gruppen solcher Teilchen genau angegebener Zusammensetzung sein. Lichtstärke I Candela cd Die Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz Hertz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung 1/683Watt/Steradiant beträgt. 2

4 2.2 Abgeleitete Grössen Alle anderen physikalischen Grössen lassen sich aus den Basisgrössen ableiten. Geschwindigkeit v m/s Beschleunigung a m/s 2 Frequenz f 1/s = s 1 = Hz Winkelgeschwindigkeit ω 1/s = s 1 Dichte ρ kg/m 3 Kraft F N = kg m/s 2 Druck p N/m 2 Arbeit, Energie W, E J = Nm Wärememenge Q J = Nm Leistung P W = J/s elektrische Ladung Q C = As elektrische Spannung U V = J/C elektrischer Widerstand R Ω = V/A Kapazität C F = As/V elektrische Feldstärke E V/m magnetische Feldstärke H A/m magnetische Flussdichte B T = V s/m 2 3

5 3 Noch einmal: Gleichförmige Bewegungen 3.1 Geschwindigkeit Definition Die Geschwindigkeit v ist das Verhältnis zwischen dem zurückgelegten Weg s und der dazu erforderlichen Zeit t (das Symbol der Grossbuchstabe Delta beschreibt in der Physik eine Veränderung): v = zurückgelegter Weg dazu erforderliche Zeit = s t Die SI-Einheit der Geschwindigkeit ist [v] = m s s-t-diagramme und die Geschwindigkeit als Steigung Bewegungen lassen sich in Diagrammen veranschaulichen. Das Ort-Zeit-Diagramm oder s-t-diagramm stellt den Ort als Funktion der Zeit dar. Beispiel Im folgenden Beispiel bewegt sich ein Körper während 4 s mit 1.5 m/s vorwärts. Dann bleibt er 4 s stehen und bewegt sich dann rückwärts zum Start mit einer Geschwindigkeit von 3 m/s. Im s-t-diagramm lässt sich die Geschwindigkeit als Steigung bestimmen: 4

6 So ergibt sich für den ersten Abschnitt v = s t = 6m 4s = 1.5m/s Für den zweiten Abschnitt v = s t = 0m 4s = 0m/s Und für den dritten Abschnitt v = s t = 6m = 3m/s 2s Das negative Vorzeichen bedeutet dabei nur, dass sich der Körper in die entgegen gesetzte Richtung bewegt. Die Verallgemeinerung der Steigung für beliebige Funktionen führt zum Begriff der Ableitung in der Differenzialrechnung. v-t-diagramme und die Strecke als Fläche Das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm oder v-t-diagramm stellt die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit dar. Beispiel Wir verwenden das gleiche Beispiel wie oben. Im v-t-diagramm lässt sich der zurückgelegte Weg als Fläche bestimmen: So ergibt sich für den ersten Abschnitt (siehe Diagramm) s = v t = 1.5m/s 4s = 6m 5

7 Für den zweiten Abschnitt s = v t = 0m/s 4s = 0m Und für den dritten Abschnitt s = v t = 3m/s 2s = 6m Das negative Vorzeichen bedeutet dabei nur, dass sich der Körper in die entgegen gesetzte Richtung bewegt. Addiert man alle Strecken zusammen, so ergibt sich 0 der Ausgangspunkt wurde wieder erreicht. Die Verallgemeinerung der Fläche für beliebige Funktionen führt zum Begriff des Integrals. Aufgaben 5,6 (p. 18), 8 (p. 19) 6

8 4 Beschreibung von beschleunigten Bewegungen 4.1 Beschleunigung Ändert sich die Geschwindigkeit eines Körpers, so ist er beschleunigt. Definition Die Beschleunigung a ist das Verhältnis zwischen der Geschwindigkeitsänderung v und der dazu erforderlichen Zeit t: a = Geschwindigkeitsänderung dazu erforderliche Zeit Die SI-Einheit der Beschleunigung ist = v t [a] = m s 2 v-t-diagramme und die Beschleunigung als Steigung Beispiel Im folgenden Beispiel beschleunigt sich ein Körper während 4 s von 0 auf 6 m/s. Dann fährt er während 4 s mit konstanter Geschwindigkeit weiter und bremst schliesslich während 2 s wieder auf 0 ab. Im v-t-diagramm lässt sich die Beschleunigung als Steigung bestimmen: 7

9 So ergibt sich für den ersten Abschnitt a = v t = 6m/s = 1.5m/s 2 4s Für den zweiten Abschnitt a = v t = 0m/s = 0m/s 2 4s Und für den dritten Abschnitt a = v t = 6m/s = 3m/s 2 2s Das negative Vorzeichen bedeutet dabei nur, dass der Körper abbremst (negative Beschleunigung). v-t-diagramme und die Strecke als Fläche Wie vorher lässt sich die Strecke als Fläche im v-t-diagramm bestimmen. Die Flächen sind jetzt aber teilweise Dreiecke. Beispiel Wir verwenden das gleiche Beispiel wie oben. Im v-t-diagramm lässt sich der zurückgelegte Weg als Fläche bestimmen: So ergibt sich für den ersten Abschnitt (siehe Diagramm) s = 1 2 vt = 1 6m/s 4s = 12m 2 Für den zweiten Abschnitt s = v t = 6m/s 4s = 24m Und für den dritten Abschnitt s = 6m 8

10 4.2 Beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit Aus den vorherigen Überlegungen ergeben sich die folgenden Zusammenhänge für eine gleichmässig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit: a = v t oder v = a t s = 1 2 a t2 = 1 2 v t 2as = v 2 v ist dabei die Endgeschwindigkeit nach der Beschleunigungsphase. Gleichmässig beschleunigte Bewegung bedeutet, dass die Beschleunigung konstant ist. Algebraisch ist die Situation wie folgt: Man kennt von den 4 Grössen t, s, v und a zwei Grössen und will daraus die beiden anderen berechnen. Bekannte Grössen berechnete Grössen t, s v = 2s t, a = 2s t 2 t, v s = 1 2 vt, a = v t t, a s = 1 2 at2, v = at s, v t = 2s v, a = v2 2s 2s s, a t = a, v = 2as v, a t = v a, s = v2 2a Aufgaben 9, 10 (p. 19), (p. 20/21) 4.3 Beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit Hat der gleichmässig beschleunigt bewegte Körper zu Beginn der Untersuchung seiner Bewegung schon eine Anfangsgeschwindigkeit, so ändern sich die Bewegungsgesetze geringfügig. Die Anfangsgeschwindigkeit bezeichnen wir mit v 0. 9

11 Beispiel Ein Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 2m/s beschleunigt während 8s mit einer Beschleunigung von a = 0.5m/s 2. Für die Endgeschwindigkeit findet man v = v 0 + a t = 2m/s + 0.5m/s 2 8s = 6m/s Der zurückgelegte Weg entspricht wiederum der Fläche im v-t-diagramm: s = v 0 t at2 = 2m/s 8s m/s2 (8s) 2 = 80m 4.4 Bewegungsgesetze Die Gesetze für die Bewegung eines gleichmässig beschleunigten Körper mit Anfangsgeschwindigkeit sind v = v 0 + at s = v 0 t at2 v 2 = v as Das letzte Gesetz folgt aus den ersten beiden: v = v 0 + at = t = v v 0 a s = v 0 t at2 = v 0 v v 0 a + 1 ( ) 2 v 2 a v0 a Die letzte Gleichung wird mit 2a multipliziert: 2as = 2v 0 (v v 0 ) + (v v 0 ) 2 = 2v 0 v 2v v 2 2v 0 v + v 2 0 = v 2 v 2 0 Aufgaben 21, 23 (p. 22), 26, 28, 30 (p. 23/24), 41, 42 (p. 26), 44 (p. 27), 48 (p. 28), 53 (p. 29/30) 10