2 Repräsentation von elementaren Daten

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1 2 Repräsentation von elementaren Daten Alle (elemtaren) Daten wie Zeichen und Zahlen werden im Dualsystem repräsentiert. Das Dualsystem ist ein spezielles B-adisches Zahlensystem, nämlich mit der Basis B= B-adische Zahlensysteme Im B-adischen Zahlensystem (mit B 2, B N) wird jede reelle Zahl wie folgt dargestellt: z = n 1 i= Beispiele: a i B i mit a i {0,.., B 1}, n N + B=10 Dezimalsystem mit a i = {0, 1,.., 9} 953, 48 = B=2 Dualsystem mit a i = {0, 1} 1011, 01 = = (11, 25) 10 B=16 Hexadezimalsystem mit a i = {0, 1,.., 9, A, B, C, D, E, F } B30E= = (45838) 10 B=1 geht nicht, weil nur die 0 darstellbar ist: z = n i = 0 i= Übliche Schreibweise: Falls z = n 1 i= a i B i dann schreibt man z = (a n 1 a n 2 a 0.a 1 a 2 ) B bzw. falls B klar ist z = a n 1 a n 2 a 0.a 1 a 2 9

2 2.1.1 Rechnen im B-adischen System Definition: Seien a, b, q, r N und es ist a = b q + r mit 0 r < b, dann gilt folgende Schreibweise: a mod b = r [ a b ] = q Addition: Ziffernweise Addition mit Übertrag ( c n 1... c i... c 0. c 1... c m ) B ( d n 1... d i... d 0. d 1... d m ) B ( e n e n 1... e i... e 0. e 1... e m ) B mit e i = (c i + d i + ü i 1 ) mod B und e n = ü n 1 ] ü i = und ü m 1 = 0 Beispiel: [ ci +d i +ü i 1 B A50F.5 0B52.6 B061.B Multiplikation: Schriftlich multiplizieren c = n 1 i= m c i B i k 1 c d = c j= l d j B j = d = k 1 k 1 j= l j= l d j B j cd j B j = k 1 j= l ( n 1 i= m c i B i d j ) B j = k 1 j= l ( n 1 i= m c i d j B i ) B j e ij = (c i d j + ü i 1,j ) mod B [ ] ci d ü ij = j +ü i 1,j und ü m,j = 0 B kleinste Stelligkeit B m B l = B (m+l) 10

3 Beispiel: , 01 10, Wir haben nun gesehen wie man im B-adischen Zahlensystem und insbesondere auch im dualen Zahlensystem ganz schematisch Zahlen addieren und multiplizieren kann. Wir Menschen sind es gewohnt im Dezimalsystem zu rechnen, während Rechner im Dualsystem arbeiten Notwendigkeit Darstellung umzuwandeln Umrechnung von Darstellungen b-adische Darstellung }{{} Quellsystem B-adische Darstellung }{{} Zielsystem Im Prinzip 2 Möglichkeiten, wir sehen uns nur eine an, nämlich Rechnen im Zielsystem Beachte: Exakte Umrechnung für Dezimalzahlen nicht immer möglich Rechnen im Zielsystem (natürliche Zahlen) verwende Hornerschema zur Darstellung im Quellsystem, d.h. n 1 z = a i b i = a 0 +a 1 b+...+a n 1 b n 1 = a 0 +b(a 1 +b(a b(a n 2 +ba n 1 )...)) i=0 11

4 stelle die a i und b im Zielsystem dar und berechne entsprechenden Term Beispiele: Umrechnung der Hexadezimalzahl EF01 ins Dezimalsystem EF 01 = [1+10(0+10(F +10E))] 16 = [1+16(0+16( ))] 10 = Umrechnung der Dezimalzahl 81 ins Dualsystem 81 = ( ) 10 = ( ) = Bei Dezimalzahlen wendet man obiges Schema getrennt auf Vor- und Nachkommabereich an, d.h. z = n 1 i= m a i b i = 1 i= m n 1 a i b i + a i b i = i=0 b 1 (a 1 + b 1 (a b 1 (a m+1 + b 1 a m)...)) +a 0 + b(a 1 + b(a b(a n 2 + ba n 1 )...)) Problem: Darstellung von b 1 im Zielsystem z.b. b=10 B=2 (0, 1) 10 = (0, ) 2 = 0, Fehler bei Zahlenumwandlung 2.2 Repräsentation von Zeichen Im Rechner sind nur Binärzahlen repräsentierbar Codierung von Zeichen als Binärzahl ASCII-Code American Standard Code for Information Interchange (1963) Initial entwickelt zur Übermittlung und zum Ausdrucken von Texten In ASCII sind sowohl Zeichen wie Klein- und Großbuchstaben oder Ziffern als auch Steuerzeichen zum Drucken codiert 12

5 ASCII-Code verwendet 7 Binärstellen 7 Bit-Code = 2 7 = 128 unterschiedliche Zeichen sind kodierbar Mittlerweile Standard: 1 Byte = 8 Bit als elementare Repräsentationseinheit im Rechner achtes Bit frei 13

6 1. Verwendung als Paritätsbit um Datenübertragung zu überprüfen, d.h. falls 8.Bit = 0 restliche 7 Bit enthalten gerade Anzahl von Einsen falls 8.Bit = 1 restliche 7 Bit enthalten ungerade Anzahl von Einsen 2. Erweiterter Zeichensatz ANSI Extended ASCII Es gibt jedoch noch viele weitere Zeichen kyrillisch, arabisch, chinesisch Rrightarrow Unicode Unicode genormtes System zur Kodierung von Textzeichen (Buchstaben, Silbenzeichen, Ideogramme, Satzzeichen, Sonderzeichen, Ziffern) mathematischen, kaufmännischen (z.b. Firmensymbole) und technischen Sonderzeichen Versuch alle bekannten Zeichen aller Alphabete zu kodieren, neben lateinischen Zeichen auch Zeichen für griechisches, kyrillisches, arabisches, hebräisches und thailändisches Alphabet, japanische, chinesische, koreanische Zeichen auch tote Sprachen wie z.b. Hieroglyphen, Runen Version 3.1 (März 2001) umfasst Zeichen 3 Byte benötigt, 4 Byte verwendet (Reserve für zusätzliche Zeichen) großer (meist unnötiger) Speicherverbrauch Verwendung nur der ersten beiden Bytes ( Zeichen) für gebräuchliche Anwendungen (normale Kommunikation) ausreichend = UCS-2 (universal character set 2) 14

7 Codierung mit variabler Länge UTF-8 (unicode transformation format) Wird nur 1 Byte verwendet linkes Bit = Zeichen kodierbar = ASCII-Zeichen z.b. 0xxxxxxx Werden mehr Bytes benötigt (maximal 4) linkes Bit = 1 Anzahl der folgenden 1 mit Abschluss 0 gibt die Anzahl der noch zugehörigen Bytes an, die jeweils mit 10 beginnen Beispiel: 0xxxxxxx (2 7 Zeichen) 110xxxxx 10xxxxxx (2 11 Zeichen) 1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx (2 16 Zeichen) 11110xxx 10 }{{} xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx (221 Zeichen) bei gestörter Übertragung weiß man, dass hier nicht der Anfang sein kann 2.3 Repräsentation ganzer Zahlen Bei heutigen Rechnern werden ganze Zahlen meist in 4 Byte = 32 Bit repräsentiert 2 32 = Zahlen darstellbar Da man auch negative ganze Zahlen darstellen will Halbierung des darstellbaren Zahlenbetrags Darstellung durch Vorzeichen und Betrag VZ Betrag in 31 Bit VZ = 0 falls positive Zahl VZ = 1 falls negative Zahl darstellbarer Bereich 2 31 = bis =

8 Nachteil: Addition und Subtraktion unterschiedlich z.b. 5 3 = 5 + ( 3) = 8 Widerspruch Zweierkomplement-Darstellung Diese Darstellung wird am häufigsten verwendet. falls x x (als Binärzahl) falls x < y = 2 N x (als Binärzahl) Zweierkomplement, da Komplement zu 2 N Y = 2 N x = 2 N 1 x + 1= ( ) 2 = 2 N 1 -( x) 2 = x +( ) 2 = +1 2er-Komplement von x Invertiere alle Bits von x und addiere 1 Rückumwandlung: y = 2 N x x = 2 N y analoge Vorgehensweise: Invertierung aller Bits und Addition von 1 z.b. 5 3 = 5 + ( 3) Invertieren Addition von 1 Übertrag ignorieren =( 3) 16

9 z.b. 3 5 = 3 + ( 5) = 2 Invertieren Addition von Einerkomplement-Darstellung Falls x x (als Binärzahl) 17

10 Falls x < 0 1 y = 2 N 1 x (als Binärzahl) Invertiere für x alle Bits, analog Rücktransformation z.b. 3 5 = 3 + ( 5) NR: Invertieren =( 5) Invertieren

11 2.4 Repräsentation von Dezimalzahlen Wegen Beschränkung auf bestimmte Anzahl von Bits kleiner Ausschnitt von R darstellbar. Festkommadarstellung: x }.{{.. x} x }.{{.. x} v Bits n Bits nicht gebräuchlich, da bei kleinem v keine großen Zahlen darstellbar bei kleinem n keine ganz kleinen Zahlen und Nachkommaanteile sehr ungenau darstellbar Gleitkommadarstellung m Mantisse B Basis e Exponent m B e z.b.: 1, 245 }{{} m 10 }{{} B bzw. im Binärsystem }{{} Vorzeichen } {{} m 2 }{{} B e {}}{ 12 e {}}{ 1010 Darstellung nicht eindeutig: z.b. 1 2 = = =... = =... (Binärsystem) normierte Darstellung z.b. 1 m < 2 19

12 erstes Bit immer 1 kann weggelassen werden (hidden Bit) eine Stelle mehr Genauigkeit, ohne höhere Kosten Seit 1985 IEEE Standard 754 einfache Genauigkeit (float 32Bit) Da man sowohl große wie auch sehr kleine Zahlen darstellen will Exponent positiv und negativ Bei 2er-Komplement 128 e < 127 z.b. Bei Addition muss Exponent verschoben werden Exponent in versetzter Darstellung, d.h. implizit wird 127 abgezogen. z.b.: e = ( ) 2 = = e 128 (eigentlich, aber -127 und 128 für spezielle Werte) normalisierter Bereich Eine mit (se 7...e 0 m 22...m 0 ) dargestellte Gleitkommazahl hat den Wert ( 1) s (1.m 22...m 0 )2 (e 7...e 0 127) Frage: Wie stellt man 0 dar geht so nicht direkt Frage: Warum steht der Exponent vor der Mantisse? Größenvergleich einfacher analog ganze Zahlen, falls man e 7...e 0 m 22...m 0 als ganze Zahl auffasst. 20

13 Neben den normalen Gleitkommazahlen gibt es spezielle Werte Exponent Mantisse Bedeutung -127 (0...0) ±0 (keine normalisierte Darstellung möglich) -127 (0...0) m denormalisierte Zahl +128 (1...1) ± 1:0 > 4 TRUE +128 (1...1) NaN not a number z.b.: 1 doppelte Genauigkeit (double 64 Bit) d.h.: ( 1) s 1.m 2 e < e < 2047 (normalisierte Darstellung) ( 1) s 0.m Falls e=0 (denormalisierte Darstellung) größte darstellbare Zahl: kleinste positive darstellbare Zahl: Gleitkommaoperationen Multiplikation: Addit. der Expon. {}}{ m 1 2 r1 m 2 2 r 2 = m 1 m }{{} 2 2 r 1 + r 2 Multipl. der Mant. 1. Bei Addition der Exponenten muss die versetzte Darstellung beachtet werden, d.h. 2 e1 2 e 2 = 2 r r = 2 r 1+r

14 korrektes Ergebnis aber: 2 r 1+r Addiere beide Exponenten und addiere dann (-127) 2. Multiplikation der Mantissen - evtl. neu normalisieren Addit. der Expon. {}}{ z.b = e Vorzeichen s r = (s 1 + s 2 ) mod 2 Addition: f = s 1 m 1 2 e 1 + s }{{} 2 m 2 2 e 2 }{{} c d Beispiel: (1.625) 10 (7.5) 10 = ( 5, 875) Falls e 2 > e 1 vertausche c und d Falls s 1 s 2 bilde 2er-Komplement von m 2 (Falls m 1 negativ wird das Ergebnis (m 1 m 2 ) später negiert m 2 m 1 ) Inv =m 2 in 2er-Komplement 3. denormalisiere m 2 durch Verschiebung um e 1 e 2 nach rechts beide Exponenten gleich arithm. Verschieben neg. Zahl führende 1 pos. Zahl führende 0 22

15 e 1 e 2 = Addiere beide Mantissen (1) Überlauf ignorieren 5. normalisiere Ergebnis berücksichtige Vorzeichen: Falls s 1 s 2 s 1 = 1 s f = =

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