Positionen. Um den Wert der Zahl zu ermitteln, muss man die Wertigkeiten der Positionen bzw. die Stellenwerte kennen. Das sind im Mayazahlensystem, we

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1 1 1. Vorlesung: Mayazahlen und die Mathematik Imix Bevor wir uns an den Kalender stürzen, müssen wir erst mal ein paar Worte zu den Mayazahlen und zur Mathematik verlieren. Man könnte diese Kapitel auch überschreiben mit: Pünktchen, Pünktchen, Muschel und Strich mehr braucht der Maya zum Rechnen nicht. Damit ist die gesamte Symbolik der Mayazahlen schon umrissen. Daraus basteln wir jetzt ein Zahlensystem: Die Punkte, Striche und die Muschel sind die Bausteine der 20 Ziffern: 0 1 bis 5: 6 bis 10: 11 bis 15: 16 bis 19: Übrigens habe ich mir mal überlegt, wie die Maya die Zahlen dargestellt haben, wenn sie diese nicht gezeichnet haben. Wie denn? Na, mit Steinchen für die Punkte, und Holzstückchen für die Striche, sowie Muscheln für die Null. Das geht wunderbar. Denn Papier war ja kostbar damals. Die Mayaziffern sind nun die Bausteine von mehrstelligen Mayazahlen. Bei mehrstelligen Zahlen stehen die Ziffern üblicherweise übereinander, quasi in Etagen, man spricht von 11

2 Positionen. Um den Wert der Zahl zu ermitteln, muss man die Wertigkeiten der Positionen bzw. die Stellenwerte kennen. Das sind im Mayazahlensystem, wegen der 20 Ziffern, Potenzen der Zahl 20: Der Zahlenwert in unserem Dezimalsystem ergibt sich dann wie folgt: Ziffer 1 Stellenwert 1 + Ziffer 2 Stellenwert In unserem Beispiel also = Übrigens taucht in der Mayazahl die Ziffer 17 (siehe rechts) zweimal auf, liefert aber durch die unterschiedlichen Positionen unterschiedliche Beiträge zum Wert der Zahl. Wir brauchen diese Umrechnungen der Mayazahlen in unser System, wenn wir z. B. eine Steleninschrift in unser Datum umrechnen wollen. Bei der Verwendung der Zahlen für astronomische Zwecke gilt es allerdings, folgende Besonderheiten zu beachten: 1. Die Ziffern sind anders angeordnet In der Position 2 von unten geht die Zählung nur bis zur Ziffer Dadurch ändern sich alle Stellenwerte der weiter oben liegenden Ziffern. Die 3. Position von unten hat dann den Stellenwert 360 statt 400. Weiter geht s mit 7200, , usw. Nachfolgend ist eine derartige Inschrift aus Oxkintok zu sehen: 12

3 Ein scharfer Blick genügt, um die Ziffern 9, 2, 11, 16 und 17 zu erkennen. Tatsächlich ist hier das Datum abgebildet. Darin verbirgt sich die Anzahl der Tage seit Erschaffung der Welt, die wir wie folgt ermitteln können: =? Ohne Rechner kaum zu bewältigen, oder? In dieser Form stellen sich für uns die Aufgaben, wenn wir Datumsinschriften übersetzen wollen. Darauf gehen wir später noch genauer ein. Wir wissen nun, wie Mayazahlen aufgebaut sind und wie wir solche Zahlen in unser Dezimalsystem umrechnen können, aber wie funktioniert das umgekehrt? Ein Beispiel: Wie sieht die Maya-27 aus? Im Dezimalsystem haben wir 7 Einer und 2 Zehner. Zehner kennen die Maya nicht, Einer kennen sie. Die Frage muss also lauten: Wie viel Einer und wie viele Zwanziger sind das (weil Mayasystem = Zwanzigersystem)? Klar, die Antwort ist simpel: 1 Zwanziger und 7 Einer, ergo ein Punkt in oberer Position und ein Strich mit zwei Punkten darunter. War doch einfach. Die 20 ist also wichtig bzw. welche Zwanzigerpotenz steckt wie oft drin... Zugegeben, da 13

4 muss man sich schon ein bisschen strecken. Oder man arbeitet, wie im folgenden Beispiel gezeigt, Schritt für Schritt den Algorithmus ab: Umzurechnen ist die Zahl = Rest = 3286 Rest = 164 Rest = 8 Rest = 0 Rest 8 Der Algorithmus bricht ab, wenn der Quotient Null geworden ist. Als Umrechnungsergebnis interessieren uns die Reste in umgekehrter Reihenfolge, also Besonders einfach geht die Umrechnung natürlich mit dem Computer. Dazu habe ich ein Teilprogramm dem Kalenderrechner Faszination2012 beigefügt. Ebenso gibt s dort ein Teilprogramm für die umgekehrte Umrechnung. Diese fällt uns aber auch so nicht schwer, weil wir ja wissen, dass wir die Mayaziffern nur mit ihrem Stellenwert multiplizieren müssen, um letztlich die Summe aus all diesen Produkten zu bilden. Ich beginne mal von unten: = Das stimmt! (siehe oben) So wäre das schön einfach, aber wir wissen ja, in der Kalendermathematik gibt s doch diese Ausnahme: zweite Position nur bis 17 und dritte Position einmalig ein Faktor 18 statt der sonst immer üblichen 20. Für unser Beispiel bedeutet das: = Rest = 3651 Rest = 182 Rest = 9 Rest = 0 Rest 9 Damit ergibt sich das Datum der Langen Zählung: Kommt uns das nicht irgendwie bekannt vor? Richtig. Das ist das Inschriftendatum der vorhergehenden Seiten. Zu den Grundrechenarten +,, und mit Mayazahlen sei folgendes gesagt: Für die Arbeit mit Datumsangaben auf Codices oder Inschriften ist es oft hilfreich, die Addition und die Subtraktion von Mayazahlen möglichst ohne den Umweg über das Dezimalsystem zu beherrschen.. 14

5 Beginnen wir mit der Addition im Bereich der Ziffern, also bis 19 und ohne Übertrag in die höhere Position: + = Ist doch klar, aus fünf Punkten muss ein Strich werden. Mit Übertrag in eine höhere Position sieht das so aus: + = Da wieder fünf Punkte zu einem weiteren Strich werden, hätten wir vier Striche. Eine solche Ziffer gibt es nicht. Wir haben also die erste zweistellige Mayazahl. Ein Punkt für einen Übertrag erscheint in der höheren Position, während in der unteren Position in diesem Fall eine Null, also eine Muschel zu schreiben ist. Bei mehrstelligen Zahlen müssen wir wieder unterscheiden, ob wir uns im reinen Zwanzigersystem oder in der Kalendermathematik befinden. + Basis 20: Wir addieren erst die Einer (unten). Ein Übertrag entsteht im Zwanzigersystem immer dann, wenn wir vier Striche hochreichen können, woraus in der darüberliegenden Position ein zusätzlicher Punkt wird. Nun die für uns relevante Kalendermathematik: + Basis 20: = =? 15

6 Wir addieren die Einer. Vier Striche werden in der Ziffer darüber zu einem Punkt. Dadurch entsteht aber die Ziffer 18. Diese kommt aber im Kalender an der zweiten Position von unten nicht vor! An dieser Position darf höchstens eine 17 stehen. Was nun? Ja, jetzt wird der Übertrag noch eine Position nach oben geschoben. An dieser zweiten Position muss man in der Kalendermathematik sehr aufpassen. Zusammengefasst: Schritt 1: Vier Striche werden zu einem Übertrag nach oben, es bleibt ein Strich mit zwei Punkten in der ersten Position. Schritt 2: Position 2 ist nun derart aufgefüllt, dass daraus ein Übertrag für Position 3 wird. In Position 2 verbleibt die Muschel. Das prinzipielle Vorgehen beim Addieren von Mayazahlen dürfte damit klar sein. Nun ist die Subtraktion auch kein Problem mehr. Nehmen wir gleich die bekannten Beispiele. Das erleichtert das Verständnis für den Einsteiger, aber auch das Aufschreiben für mich. Wir wissen bereits: Das gilt aber nur für das reine Zwanzigersystem! Links sind weniger Einer als rechts, wir müssen also von der darüber liegenden Position einen Punkt wegnehmen, der unten vier Striche hinzufügt. Die nunmehr fünf vorhandenen Striche und zwei Punkte minus zwei Striche und zwei Punkte lassen drei Striche übrig. Nehmen wir mal noch die folgende Aufgabe und sehen uns den Unterschied zwischen Zwanzigersystem und Kalendermathematik anhand von Zeichnungen der gedachten Zwischenschritte an.. = 16

7 =? Linke Einer minus rechte Einer geht nicht. Wir nehmen darüber, also in der zweiten Position, einen Punkt weg, der uns unten vier weitere Striche bringt. Geht ja auch nicht. Nehmen wir also den Punkt aus der dritten Etage... Hier die gedachten Zwischenschritte zur Umgestaltung des Minuenden: So reicht man in Gedanken Werte von oberen an weiter unten liegende Positionen durch. Die so aufgeschriebenen Zahlen gibt es ja nicht wirklich. Dann funktioniert die Aufgabe so: = 17

8 = Okay, soweit zur Basis 20. Nun zur Kalendermathematik. Hier sieht die Reihe der gedachten Umformungen anders aus: Dabei entspricht der Punkt der dritten Position nicht der Maya-20, sondern der Maya-18 in der zweiten Position. Zur Erinnerung: Die höchstmögliche Zahl in der zweiten Position ist in der Kalendermathematik die Maya-17. Dann folgt: = 18

9 = Diese Methoden sollten ausreichen, um wesentliche Berechnungen ausführen zu können. Man kann auch den Kalenderrechner nutzen. Regeln zur Multiplikation und Division werden wir nicht brauchen. Apropos brauchen, das ist ja doch ziemlich trockener Stoff hier. Braucht man das? Als ich mit diesem Buch begann und dieses Kapitel schrieb, quälte mich ein bisschen der Gedanke, dass ich mit solcherart Theorie potentielle Mayainteressenten eher abschrecke als anlocke. Das mag für den oberflächlich interessierten Ich-will-von-allem-ein-bisschen-wissen,-um-überall-mitredenzu-können-Leser sogar zutreffen. Wenn ich mich aber auch frage, für wen wir dieses Buch denn tatsächlich schreiben, habe ich das beste Gefühl bei der Vorstellung, hiermit den von jeglicher Leistung dieser einzigartigen Hochkultur faszinierten und innerlich bewegten Typen zu erwischen, dem es Freude bereitet, sich ganz in diese Mayawelt hineinzuversetzen. Jenem wollen wir die uns bekannten Puzzleteile liefern, um das ganze Bild erkennen zu können. 19

10 Für das praktische Rechnen werden wir dann allerdings auf entsprechende Teilprogramme von Faszination 2012 zurückgreifen. 20

11 Neben diesen Zahlenumrechnern habe ich auch Teilprogramme zum Addieren bzw. Subtrahieren usw. eingebaut. Bei Verwendung dieser Zahlenumrechner ist unbedingt zu beachten, dass die Voreinstellung Mathematik zur Basis 20 zwar wunderbar das Zwanziger-Positionssystem demonstriert, aber nicht der üblichen kalendergebundenen Mayamathematik entspricht. Dazu muss man die Option Mayamathematik wählen. Genau, Jens. Übrigens, wenn es etwas Wichtiges zu bemerken gibt, wie in diesem Fall, soll es sofort geschehen, auch wenn wir uns gerade in der Vorlesung befinden. Wichtig ist unter anderem die Unterbringung des Maya-Forschenden im Mayaland: Dient das jetzt dem betrachteten Sachverhalt? Was soll diese Frage? Es dient dem Überleben des Maya-Forschenden. Imix ist der esoterische Name der Ceiba, des Heiligen Baumes der Maya, welcher die Dualität Himmel Erde symbolisiert, also den Ursprung des Lebens. Die direkte Bedeutung ist Krokodil, Symbol der Erde, der Fruchtbarkeit und des Überflusses. Die unter diesem Zeichen geborene Person liebt Kinder und achtet die Familie. Manchmal sucht sie Konflikte und ist unentschlossen. 21