Grundzüge der Informatik Zahlendarstellungen (7)

Transkript

1 Grundzüge der Informatik Zahlendarstellungen (7) Sylvia Swoboda Überblick Konvertierung von ganzen Zahlen Konvertierung von Festkommazahlen Darstellung negativer Zahlen 1

2 Konvertierung ganzer Zahlen Zahlen im b-ären Zahlensystem: M Z = * i= m i ai b m Anzahl der Nachkommastellen M Anzahl der Vorkommastellen a i aus { 0, 1,, b-1 } Konvertierung von Zahlen Konvertierung von ganzen Zahlen Konvertierung der Nachkommastellen Konvertierung von Zahlen mit Vor- und Nachkommastellen 2

3 Konvertierung ganzer Zahlen Gegeben Zahl u = (u m u 1 u 0 ) b im b-ären System Gesucht Darstellung der Zahl im B-ären System Konvertierung ganzer Zahlen Rechnen im B-ären System über M Z = * i= m i ai b 3

4 Konvertierung ganzer Zahlen U = u m *b m + u m-1 *b m u 1 *b 1 + u 0 *b 0 oder mittels Hornerschema: U = ((((u m *b) + u m-1 )*b + )*b + u 1 )*b + u 0 Anwendungsgebiet: hauptsächlich Umrechnung von beliebigem System ins 10er System Konvertierung ganzer Zahlen gegeben: u = (43892) 12 U = (((4*12 + 3)*12 + 8)*12 + 9)* = = ((51*12 + 8)*12 + 9)* = = (620 * ) * = = 7449 * = (89390) 10 4

5 Konvertierung ganzer Zahlen gegeben: u = (643701) 8 U = 6* * * * * *8 0 = 6* * * * = = (214977) 10 Nachteil: ohne Taschenrechner nicht leicht berechenbar Konvertierung ganzer Zahlen Gegeben Zahl u = (u m u 1 u 0 ) b im b-ären System Gesucht Darstellung der Zahl im B-ären System 5

6 Konvertierung ganzer Zahlen Rechnen im b-ären System Algorithmus: U 0 = u mod B U 1 = u/b mod B U 2 = u/b /B mod B Abbruch wenn u/b /B = 0 Anwendung: Umrechnung von 10er System in beliebiges System Konvertierung ganzer Zahlen gegeben u = (643299) 10 => B = 15 U 0 = mod 15 = 9 U 1 = mod 15 = 1 U 2 = 2859 mod 15 = 9 U 3 = 190 mod 15 = 10 A U 4 = 12 mod 15 = 12 C 6

7 Konvertierung der Nachkommastellen Gegeben Zahl u = (0.u -1 u -m+1 u -m ) b im b-ären System Gesucht Darstellung der Zahl im B-ären System Konvertierung der Nachkommastellen Rechnen im B-ären System U = (((u -m /b + u -m+1 )/b + )/b + u -1 )/b Verwendung: Konversion von beliebigem System in das 10er System 7

8 Konvertierung der Nachkommastellen u = ( ) 3 => 10 U = ((((2/3 + 1)/3 +0)/3 +1)/3 + 2)/3 = = (((5/9 + 0)/3 + 1)/3 + 2)/3 = = ((5/27 + 1)/3 + 2)/3 = = (32/81 + 2)/3 = (194/243) 10 Konvertierung der Nachkommastellen Rechnen im b-ären System Algorithmus U -1 = u*b U -2 = {u*b} * B {u*b} = u*b u*b Abbruch, wenn {..{u*b}* *}B Verwendung: Konversion aus 10er System in beliebiges System 8

9 Konvertierung der Nachkommastellen Bsp: u = (0.3947) 10 => 6, auf 6 Stellen genau U -1 = * 6 = U -2 = * 6 = U -3 = * 6 = U -4 = * 6 = U -5 = * 6 = U -6 = * 6 = U ( ) 6 Zahlen mit Vor- und Nachkommastellen für den Vorkommateil Algorithmus für ganze Zahlen für den Nachkommateil Algorithmus für Nachkommastellen 9

10 Sonderfall: 2er-8er-16er-System Umrechnung kann direkt erfolgen: 2er => 8er-System (3er Blöcke) 2er => 16er-System (4er Blöcke) 8er => 2er-System (1 Stelle entspricht 3 Stellen in Binärzahl 16er => 2er-System (1 Stelle entspricht 4 Stellen Blockbildung links/rechts weggehend vom Komma Sonderfall: 2er-8er-16er-System ( ) 2 10

11 Sonderfall: 2er-8er-16er-System ( ) 2 5 Sonderfall: 2er-8er-16er-System ( ) 2 13 D 5 11

12 Sonderfall: 2er-8er-16er-System ( ) D 5 Sonderfall: 2er-8er-16er-System ( ) D 5 12

13 Sonderfall: 2er-8er-16er-System ( ) D 5 6 Sonderfall: 2er-8er-16er-System ( ) D

14 Sonderfall: 2er-8er-16er-System ( ) D D Sonderfall: 2er-8er-16er-System ( ) (A4E.3764) 16 14

15 Sonderfall: 2er-8er-16er-System ( ) (A4E.3764) 16 (1110.) 2 Sonderfall: 2er-8er-16er-System ( ) (A4E.3764) 16 ( ) 2 15

16 Sonderfall: 2er-8er-16er-System ( ) (A4E.3764) 16 ( ) 2 Sonderfall: 2er-8er-16er-System ( ) (A4E.3764) 16 ( ) 2 16

17 Sonderfall: 2er-8er-16er-System ( ) (A4E.3764) 16 ( ) 2 Sonderfall: 2er-8er-16er-System ( ) (A4E.3764) 16 ( ) 2 17

18 Sonderfall: 2er-8er-16er-System ( ) (A4E.3764) 16 ( ) 2 Rechnungsarten Addition Subtraktion Multiplikation Division 18

19 Addition notwendige Operationen: = = = = 10 (Übertrag von 1) ======= Das bedeutet: = 10 0 hinschreiben 1 geht als Übertrag weiter 19

20 ======= 0 Das bedeutet: = 0 Übertrag von voriger Stelle = = 1 1 hinschreiben 0 geht als Übertrag weiter ======= 10 Das bedeutet: = 1 Übertrag von voriger Stelle = = 1 1 hinschreiben 0 geht als Übertrag weiter 20

21 ======= 110 Das bedeutet: = 1 Übertrag von voriger Stelle = = 1 1 hinschreiben 0 geht als Übertrag weiter ======= 1110 Das bedeutet: = 1 Übertrag von voriger Stelle = = 1 1 hinschreiben 0 geht als Übertrag weiter 21

22 ======= Das bedeutet: = 1 Übertrag von voriger Stelle = = 1 1 hinschreiben 0 geht als Übertrag weiter =======

23 Subtraktion notwendige Operationen 0 0 = = = =? (ist nicht definiert, zur Berechnung muss 1 von der nächsten Stelle "ausgeborgt" werden) Daher: immer größere Zahl kleinere Zahl ======= Das bedeutet: 1-1 = 0 0 hinschreiben 23

24 ======= 0 Das bedeutet: 0 0 = 0 0 hinschreiben ======= 00 Das bedeutet: 1-0 = 1 1 hinschreiben 24

25 ======= 100 Das bedeutet: 0-1 =? 1 ausleihen und 10 1 = 1 berechnen 1 hinschreiben 1 Übertrag wird zur unteren Ziffer in der nächsten Stelle addiert ======= 1100 Das bedeutet: 1 Übertrag addieren zu = =? => 1 ausleihen = 0 0 hinschreiben 1 Übertrag 25

26 ======= Das bedeutet: 1 Übertrag addieren zu = = 0 0 hinschreiben ======= Führende Nullen können hier weggelassen sind, weil wir ohnehin nur mit positiven Zahlen rechnen 26

27 Multiplikation notwendige Operationen 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 *

28 * *

29 * Zeilen können weggelassen werden. nicht vergessen! nach rechts rücken *

30 * *

31 * Division einfacher als im 10er System, es gibt nur teilbar => Zahl größer gleich nicht teilbar => Zahl kleiner Vorgehensweise bei Division durch n stellige Zahl: betrachte erste n Stellen der Zahl, die dividiert wird. schaue, ob sie größer/kleiner ist. 31

32 :1010 = :1010 = 1 32

33 :1010 = :1010 =

34 :1010 = :1010 =

35 :1010 = :1010 =

36 :1010 = :1010 =

37 :1010 = :1010 =

38 :1010 = :1010 =

39 :1010 = Bsp: :1010 =

40 Bsp: :1010 = Bsp: :1010 =

41 Bsp: :1010 = Bsp: :1010 =

42 Bsp: :1010 = R