Lektion 1: Zahlensysteme und Binärdarstellung. Übersicht Lektion 1

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1 Lektion 1: Zahlensysteme und Binärdarstellung Helmar Burkhart Departement Informatik Universität Basel Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-1 Übersicht Lektion 1 Von Ziffern zu Zahlen: Geschichtliches Dezimalzahlen und das Dualsystem Bitfolgen und Masszahlen der Informatik Gängige Zahlensysteme Konversion zwischen Zahlensystemen Zahlenkomplement Binär codierte Dezimalzahlen Gebrochene Zahlen Gleitpunktzahlen Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-2

2 Ziffern und Zahlen früher Kulturen Alle frühgeschichtlichen Zahlensysteme bauen auf der natur-gegebenen Fingerzahl der menschlichen Hand auf (5er, 10er, 20er und 60er Systeme): Sumerer Ägypter Maya Chinesen Quelle: E.P. Vorndran Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-3 Römische Zahlen (1) Die römischen Zahlzeichen werden heute oft noch verwendet: I V X L C D M Aneinanderreihung: I, II, III, X, XX, XXX Position wichtig : IV = 4, VI = 6, XL = 40, LX = 60 Stets vereinfachen : XXXXX L, LL C, DD M Umwandlungsbeispiel: MCM XC IX = Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-4

3 Römische Zahlen (2) Mit römischen Zahlen kann gerechnet werden, aber der Prozess ist mühsam: 364 = CCC LX IV 288 = CC LXXX VIII Erste Summe Reduzieren Resultat Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-5 Indisch-Arabisches Zahlensystem Unser dezimales Zahlensystem entstand im 6. bis 8. Jahrhundert in Indien. Es ist ein Stellenwertsystem bei dem der Wert der 10 Ziffern 0, 1, 2,... 9 von der Position abhängig ist. Jede Ziffer wird mit einer Zehnerpotenz multipliziert = 2004 = 2004 = Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-6

4 Rechnen mit Dezimalzahlen Das Addieren einzelner Ziffern wird durch die eindeutigen Stellenpositionen vereinheitlicht: In Deutschland durch die Rechenbücher des Adam Ries ( ) verbreitet. Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-7 Duales Zahlensystem Gottfried Wilhelm von Leibnitz schuf mit seiner Schrift De Progressione Dyadica im Jahre 1679 die Grund-lagen des dualen Zahlenssystems (Ziffern 0 und 1) = 1 x x x x 2 0 entspricht der Dezimalzahl 11. Exakte Notation: Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-8

5 Rechnen im Dualsystem (1) Beispiel: Addition = = Rechenregeln = = = = 10 Addition zweier Binärstellen mit Übertrag Volladdierer Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-9 Rechnen im Dualsystem (2) Beispiel: Multiplikation = = Rechenregeln 0 0 = = = = 1 Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-10

6 Bitfolgen Ein Bit (Binary digit) ist die kleinste Darstellungseinheit für Daten: 0 und 1. Eine Bitfolge ist die Aneinanderreihung einzelner Bits. Es gibt 2 n Bitfolgen der Länge n. n Informationen durch log 2 n Bits bei fixer Kodierung dargestellt. DNA-Baustein Adenin Cytosin Guanin Thymin Abk. Kodierung Binär Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-11 Byte; Masszahlen der Informatik Ein Byte ist eine Aneinanderreihung von 8 Bits: b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 Meistens wird nicht ein einzelnes Byte sondern eine grössere Anzahl Bytes angesprochen: z.b. Kilobytes Kilo 2 10 = 1'024 1K Mega 2 20 = 1'048'576 1M Giga G Tera T Peta P Exa E Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-12

7 Hexadezimalziffern 4 Binärstellen = 1 Hexadezimalziffer. Kodierungstabelle: 0=0000 1=0001 2=0010 3=0011 4=0100 5=0101 6=0110 7=0111 8=1000 9=1001 A=1010 B=1011 C=1100 D=1101 E=1110 F=1111 Kodierungsbeispiel: Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-13 Gängige Zahlensysteme (1) Ziffernfolge der Länge m: x 0 x 1 x m-1 Stellenwertsystem mit Basis b x b = x 0 b 0 + x 1 b 1 + x 2 b x m-1 b m-1 Dezimal: x i {0, 1,...9} b = 10 Dual: x i {0, 1} b = 2 Hexadezimal: x i {0, 1,...9, A, B,...F} b = 16 Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-14

8 Gängige Zahlensysteme (2) Dezimal Dual Hexadezimal A Dezimal Dual Hexadezimal B C D E F FF Die Ziffernfolge 10 ist mehrdeutig. Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-15 Umrechnungen bei Zahlensystemen Dezimal binär: Binär dezimal: Hexadezimal binär: Binär hexadezimal: Fortgesetztes Abziehen von 2-er Potenzen bzw. fortgesetztes Teilen durch 2 Aufaddieren der 2-er Potenzen mit x i = 1 bzw. fortgesetztes Multiplizieren mit 2 Jede Hexziffer ergibt 4 Binärstellen Jeweils 4 Binärstellen ergeben Hexziffer Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-16

9 Wie wird subtrahiert? Gewöhnliche Subtraktion Addition des Zehnerkomplements Subtraktion ausgeführt durch Addition des Zehnerkomplements: Jede Dezimalziffer wird ersetzt durch die Differenz zur Ziffer 9 (Neunerkomplement). Es wird noch 1 addiert (Zehnerkomplement). Gewöhnliches Addieren wobei bertrag entfällt. Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-17 Vom Rezept zur Erklärung Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-18

10 Zweierkomplement Jede Binärziffer wird negiert (Einerkomplement). Es wird 1 addiert (Zweierkomplement). bertrag entfällt. Subtraktion 8 = = = 0010 mittels Addition Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-19 Zahlenkreis neg. Zahlen pos. Zahlen Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-20

11 BCD-Ziffern Binary-Coded-Decimal Ziffern (BCD-Ziffern) sind binär kodierte Dezimalziffern. 0 = = = = = = = = = = 1001 Bsp : Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-21 Gebrochene Zahlen Im Prinzip können gebrochene Zahlen durch ein Festpunkt-format dargestellt werden: Ziffernfolge: x b.y 1 y 2... y n Wert: x b + y 1 b -1 + y 2 b y n b -n Binär Dezimal In der Praxis aber Darstellung als Gleitpunktzahl. Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-22

12 Gleitpunktzahlen Grosse Zahlen werden mittels Exponenten dargestellt: Lichtgeschwindigkeit = 3 x 10 5 km/s. Gleitpunktzahlen im Rechner: Mantisse und Exponent. Mantisse 10 Bit Exponent 6 Bit Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-23 Normalisierung Exponent E wird so gewählt, dass die Zahl in der Form gespeichert ist. 1.m 1 m 2...m n x 2 E Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-24

13 Gleitpunktzahlen: Addition Addition zweier normalisierter Gleitpunktzahlen: Exponentenangleich Addition der Mantissen Normalisierung = = 1. Operand 2. Operand Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1: Zahlensysteme 1-25