Korrektur: Lineare Regression in Excel

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1 Korrektur: Lineare Regression in Excel Doppelsummenkurve 1 8 kum. Abfluss Juni kum. Niederschlag 1

2 PDFA Abfluss Lange Bramke 4 kum. Stabw Feb Zum Vergleich: Wiederkehrdiagramm

3 Zeitreihen Niederschlag 2 Abfluss PDFA Niederschlag und Temperatur Niederschlag Temperatur kum. Stabw kum. Stabw

4 Extremwerte Motivation: Oft sind nicht Mittelwerte, sondern die Extrema von Interesse Fragestellung: Lässt sich aus der Verteilung der beobachteten (Jahres)Maxima die Wahrscheinlichkeit extrem seltener Maxima (z.b. HQ 1 ) abschätzen? Problem: Extrema sind sehr schwer zu schätzen Spannweite der Werte steigt mit zunehmendem Stichprobenumfang (keine Sättigung der Statistik) Kleine Änderungen der Parametrisierungen angepasster Häufigkeitsverteilungen wirken sich sehr stark auf die Wahrscheinlichkeit der Extremwerte aus Extrema sind selten Zwei verschiedene Ansätze 1. BlockExtrema (Fenster gleicher Länge; Bsp.: Jahresmaxima): GEV 2. Schwellwertüberschreitungen (POT = Peak over Threshold): GPD 4

5 Annahmen Verteilung der x(t) ist nicht bekannt unabhängige und gleichverteilte Maxima (i.i.d. = independent and identically distributed) Extreme Ereignisse sind unkorreliert: Asymptotic Independence of Maxima Theorem (AIMTheorem) Approximation für n Allgemeine Extremwertverteilung (GEV = General Extreme Value Distribution) GEV ξ, x, σ x: Mittelwert (Lageparameter) σ: Standardabweichung (Skalenparameter) ξ: Formparameter ( x) = e x x 1+ ξ σ e 1/ ξ x x σ für ξ = : Exponential Tail (GumbelVerteilung) e für ξ für ξ = für ξ > : Heavy Tail für ξ < : Finite Tail (FréchetVerteilung) (neg. WeibullVerteilung) 5

6 GEV: 3 Typen.7.6 Gumbel; ξ= Fréchet; ξ=,8 Weibull; ξ=,8.5 pdf (GEV(x,,1,ξ)) x (Endres 25) Verallgemeinerte ParetoVerteilung (GPD = Generalized Pareto Distribution) für x = Schwellwert: GPD x x 1/ ξ ξ, σ ( x x ) = 1 (1 + ξ ) σ 3 Spezialfälle: für ξ = : Exponential Tail (ExponentialVerteilung, GP) für ξ > : Heavy Tail für ξ < : Finite Tail (ParetoVerteilung, GP1) (BetaVerteilung, GP2) 6

7 GPD: 3 Typen (Endres 25) GEV vs. GPD Zusammenhang: GPD( x) = 1+ loggev ( x) für loggev ( x) > 1 Ausnutzung der Daten: bestimmt durch Fensterlänge (GEV) oder Schwellwert (GPD); jeweils so zu wählen, dass die Extrema voneinander unabhängig sind Präferenzen: Kontinuierliche Messungen: GEV, z.b. Abflussganglinien Protokollierung der Extremereignisse: GPD, z.b. Schadensmeldungen der Versicherungen 7

8 Anpassung der theoretischen Verteilung (Endres 25) Problem: Langreichweitige Korrelationen Normierte Wiederkehrintervalle der Schwellwertüberschreitungen (Endres 25) 8

9 Übersicht 1. Definition und Eigenschaften von Zeitreihen 2. Tests und Trenderkennung für Zeitreihen 3. Fourriertransformation, Powerspektrum 4. Wavelets 5. Zeitreihenmodellierung der ARMAKlasse (kurzes Gedächtnis) 6. Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis 7. Komplexität und Information von Zeitreihen 8. Wiederkehranalyse 9. Singuläre System 1. Bruchpunktanalyse 11. Extremwertanalyse Zeitreihen Eine Zeitreihe ist eine Menge von Werten, die in einer festgelegten (und bekannten!) Reihenfolge vorliegen. Zeitreihen rechtfertigen eigene statistische Verfahren (und eine eigene Vorlesung), weil sie in der Regel autokorreliert sind. Gegenbeispiel: Weißes Rauschen 9

10 Korrelation etc. Varianz Maß für Streuung um den Mittelwert Mathematisch mittlere quadrierte Abweichung Kovarianz Korrelation Regression Faltung Enge des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen Enge des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen Art des Zusammenhangs zwischen mehreren Größen Enge des Zusammenhangs zweier Zeitreihen bzw. Funktionen mittlere quadrierte Abweichung zweier Variablen jeweils von ihrem Mittelwert auf [1;1]normierte Kovarianz (Teilung durch das Produkt der Standardabweichungen) Funktion gemitteltes Produkt zweier gegeneinander verschobener Zeitreihen bzw. Funktionen Übersicht Verfahren Ziel / Instationaritäten Periodizitäten (saisonaler) KendallTest des Mittelwerts Bartlett, LeveneTest der Varianz Stationaritätstest nach Witt der Verteilung Fourierspektrum, Periodogramm Frequenzscharf (harmonische) PowerSpektrum Frequenzscharf (allgemein) Wavelet des Frequenzspektrums Frequenzscharf (harmonische) ARIMAModelle Modellierung HurstKoeffizient (langreichweitige Korrelationen) Komplexität und Information Wiederkehranalyse der Dynamik (Attraktoren) annähernd Singuläre System der Dynamik (Attraktoren) annähernd Doppelsummenkurve des Verhältnisses zweier Variablen Bruchpunktanalyse (i.e.s.) Lokal des Mittelwertes Progressive Detrended Fluctuation Analysis der Varianz, der Korrelationen Extremwertanalyse 1

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