Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 HÖHENMESSUNGSAUFGABEN

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1 ARBEITSBLATT 5 HÖHENMESSUNGSAUFGABEN Beispiel: Auf einem Fernsehturm befindet sich ein Antennenmast der Höhe h = 75 m. Von einem Geländepunkt wird die Spitze des Mastes unter dem Höhenwinkel = 4,3, der Fußpunkt des Mastes unter dem Höhenwinkel = 7,7 gesehen. Ermittle die Gesamthöhe (Turm samt Mast). Lösung: Zunächst müssen wir einmal einige Begriffe klären: Definition: Unter einem Höhenwinkel versteht man den Winkel zwischen der gedachten Geraden zu einem anvisierten unkt und der Horizontalen, wobei der anvisierte unkt höher als die Horizontale liegt. Beispiel: Wenn also gesagt wird, daß sie die Spitze eines Berges unter dem Höhenwinkel sehen, bildet sich dieser Winkel folgendermaßen: Bergspitze Gedachte horizontale Linie Definition: Unter einem Tiefenwinkel versteht man den Winkel zwischen der gedachten Geraden zu einem anvisierten unkt und der Horizontalen, wobei der anvisierte unkt tiefer als die Horizontale liegt. Beispiel: Wenn also gesagt wird, daß sie von einer Bergspitze aus einen unkt im Tal unter dem Tiefenwinkel sehen, so sieht dies folgendermaßen aus:

2 Gedachte horizontale Linie Bergspitze Definition: Unter einem Sehwinkel versteht man den Winkel zwischen den gedachten Geraden zu zwei anvisierten unkten. Beispiel: Wenn man einen Turm von einem unkt aus unter dem Sehwinkel γ sieht, so zieht man sich eine Linie zum tiefsten unkt des Turms und eine zum höchsten unkt des Turms. Der Winkel zwischen diesen Geraden ist der Sehwinkel γ. γ Anmerkung: Bei uns werden Gegenstände wie ein Turm immer idealisiert, also einfach als senkrechte Linie ohne Breite gezeichnet (In der raxis wäre dies eine Gerade durch die Achse des Turms). So, nun können wir daran gehen, uns eine Skizze für unsere Aufgabe anzufertigen. Vorsicht, bei diesen Aufgaben ist eine Skizze bereits die halbe Rechnung. Nehmen Sie sich also bitte für die Zeichnung genügend Zeit, fertigen Sie diese groß genug an und lesen Sie sich den Text genau durch.

3 S h M x F Zunächst erinnern wir uns wieder, in welchen Fällen wir Dreiecke berechnen können: Ein rechtwinkeliges Dreieck läßt sich auflösen, wenn wir zwei Größen kennen, ein schiefwinkeliges Dreieck, wenn wir drei Größen kennen, wobei jeweils eine Seitenlänge dabei sein muß. Wenn wir nun unser Dreieck MS betrachten, so lassen sich dort drei Größen ermitteln. Die Höhe h ist gegeben. Der Winkel zwischen den Strecken M und S ( = ) ergibt sich aus der Differenz von und. Ich zeichne diesen Winkel ein: Anmerkung: Tragen Sie bitte auf ihrer Skizze immer jene Längen und Winkel ein, die Sie zur Berechnung verwendet haben, da ich ja sonst die Rechnung kaum nachvollziehen kann. S h M x F = = 6, 6 Aber auch der Winkel bei M läßt sich berechnen. Dazu berechnen wir uns zuerst den Winkel zwischen den Strecken M und MF aus dem Dreieck FM (Dieser Winkel ist mit γ benannt). Wenn wir diesen dann haben ergibt sich der obere Winkel (Mit δ benannt) als Supplementärwinkel zu γ. Ich zeichne die Winkel zunächst einmal ein: 3

4 S h δ γ M x F Wir berechnen also γ: γ = 90 = 7, 3 Nun berechnen wir δ: δ = 80 γ = 07, 7 Nun haben wir für das Dreieck MS drei Größen und können mittels des Sinussatzes die Strecke M = a berechnen. Damit wir den Sinussatz richtig ansetzen können, müssen wir vorher noch den Winkel bei der Spitze S (mit τ, sprich Tau, benannt) berechnen. S τ h a δ γ M x F τ = 80 δ = 65, 7 Nun setzen wir den Sinussatz an: a h = sinτ sin Wir setzen bekannte Zahlenwerte ein: a 75 = / sin 65,7 sin 65,7 sin 6,6 75 sin 65,7 a = = 594,7 sin 6,6 4

5 Nun läßt sich mit dem unteren rechtwinkeligen Dreieck die Länge FM = y berechnen: y sin = / a a y = a sin = 80,8 Und nun wissen wir die Höhe: x = h + y = 55, 8m Übungen: Übungsblatt 5; Aufgaben 6 9 robleme bei der Anwendung des Sinussatzes Die Tatsache, dass die Winkelfunktionen nicht bijektiv sind (nähere Erläuterungen dazu werden demnächst erfolgen), erzeugt beim Sinussatz ein roblem. Nehmen Sie an, Sie möchten bei einem schiefwinkeligen Dreieck mittels des Sinussatzes den größten Winkel berechnen. Sie erhalten dabei bei der Berechnung immer einen Ausdruck der Form sin = 0, 6. Mittels der Arcusfunktion liefert uns der Taschenrechner den Winkel. Nun ist es aber so, dass der Sinus im. Und. Quadranten positiv ist (Siehe Arbeitsblatt zur Quadrantenregel), was bedeutet, dass es eigentlich zwei Winkel gibt, welche die angegebene Sinuslänge haben. Je nachdem, ob es sich um ein spitz- oder stumpfwinkeliges Dreieck handelt, müssen wir immer selber feststellen, welcher der beiden Winkel nun der richtige ist. Dabei ist ein Satz besonders praktisch: Trigonometrischer Monotoniesatz: In jedem Dreieck liegt der größte Winkel der größten Seite, der kleinste Winkel der kleinsten Seite gegenüber. D.h.: a b c γ 5

6 Sehen wir uns dies an einem Beispiel an: Beispiel: Von einem Dreieck kennt man die Seiten b=4 cm, c= cm und den Winkel = 70. Berechne die Seite a und die Winkel und γ. Lösung: Wir fertigen wieder eine Zeichnung an: Wir setzen den Sinussatz an: b c = sin sinγ Wir setzen bekannte Werte ein: 4 = sin 70 sinγ Wir multiplizieren kreuzweise: 4 sin γ = sin 70 / : 0 sin 70 γ = arcsin = 53, 65 4 Da wir diesen Winkel mittels des Sinussatzes berechnet haben, müssen wir noch überprüfen, ob die Größe auch stimmen kann. Laut Angabe ist die Seite b länger als die Seite c. Da der Winkel γ der Seite c gegenüberliegt, kann dies folglich laut dem Satz über die trigonometrische Monotonie kein stumpfer Winkel sein, also stimmt die berechnete Größe. Übung: Übungsblatt 5; Aufgaben 0 6

7 WEITERE TRIGONOMETRISCHE AUFGABEN Beispiel: Ein Grundstück hat die Form eines Vierecks mit a=40 m, b=30 m, c= 60 m, d= 0m und =0. Berechne a) die Länge der Diagonale f b) den Flächeninhalt des Grundstücks c) Eine durch den Eckpunkt D und die Seite b gehende Gerade soll das Viereck in zwei gleich große Flächen unterteilen. Wie weit von B entfernt schneidet diese Teilungslinie die Seite b? Lösung: Die Teile a) und b) sind bereits bekannt und sollen von Ihnen selbst nachgerechnet werden. Als Lösungen erhalten wir Folgendes: f = 5,9 A = 39,74 Für den unkt c) fertigen wir uns eine Skizze an: Wir erhalten durch diese Teilungslinie ein Dreieck CDT von dem wir die Seite c=60, den Winkel γ=6,83 kennen. Da das Viereck außerdem in zwei flächengleiche Teile zerlegt werden soll, muss die Fläche dieses Dreiecks die Hälfte der Fläche des Vierecks sein, also A = A = 569, 7 Da wir aber nun den Flächeninhalt kennen wenden wir auf dieses Dreieck die trigonometrische Flächenformel an: g c sin γ A = Wir setzen bekannte Werte ein: g 60 sin 683, 569, 7= / / : 60 / : sin 6, , 7 g = = 54, 60 sin 683, Damit wir nun die gewünschte Länge wissen, brauchen wir x nur mehr von b abzuziehen: BT = b g = 8,46 Übung: Übungsblatt 5; Aufgabe 7

8 Nun folgen einige weitere Aufgaben, die sie lösen sollen: Bei diesen Aufgaben müssen Sie sich meist bestimmte Winkel mittels logischer Überlegungen zusammendenken. Hilfreich ist dabei insbesondere der Satz über so genannte arallelwinkel. Satz: Zwei Winkel sind dann arallelwinkel wenn ihre Schenkel paarweise parallel sind. arallelwinkel sind immer gleich groß oder supplementär. Man merkt sich diesen Satz auch gerne als die so genannte Z-Regel. Wir zeichnen uns einmal ein solches Z: Ich zeichne nun zwei solche arallelwinkel ein: und sind hier arallelwinkel, weil jeweils ein Schenkel des einen Winkels parallel zu einem Schenkel des anderen Winkels ist (bzw. ident). Folglich können die beiden Winkel nur gleich groß oder supplementär sein. Da aber beide Winkel hier spitz sind, müssen sie folglich gleich groß sein. Nun zeichne ich aber in unserem Z einen supplementären arallelwinkel zu ein: 8

9 Auch hier sind und arallelwinkel. Da aber spitz ist und stumpf, muss = 80 groß sein. Übung: Übungsblatt 5; Aufgaben 3-6 9