Hans Marthaler, Benno Jakob, Reto Reuter ALGEBRA. Operationen, Gleichungen, Funktionen + DATENANALYSE

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1 Hans Marthaler, Benno Jakob, Reto Reuter ALGEBRA + DATENANALYSE Operationen, Gleichungen, Funktionen y x

2 VORWORT Mathematik ist ein wichtiges Hilfsmittel und Werkzeug, um naturwissenschaftliche und technische Fragestellungen zu verstehen. Mit den beiden Bänden Algebra und Geometrie lassen sich jene fachlichen Kompetenzen erwerben, die für verschiedene berufliche Tätigkeiten, insbesondere im technischen und naturwissenschaftlichen Bereich, gefordert werden. Im vorliegenden Band wird das Grundwissen der Algebra anschaulich und praxisnah vermittelt. Das Lehrmittel eignet sich als Lehr- und Arbeitsbuch im Unterricht oder für das Selbststudium. Mit zahlreichen Abbildungen und vielen gelösten Beispielen werden mathematische Zusammenhänge verdeutlicht und vertieft. Dieser theoretische Lehrinhalt kann anhand der Übungen gefestigt und auf unterschiedliche Fragestellungen angewendet werden. Die Lösungen der Übungsaufgaben stehen kostenlos zur Verfügung unter Neben den Grundlagen der Algebra behandelt das Buch auch die Datenanalyse. Das Buch macht die Lernenden mit spezifischen Methoden der Mathematik vertraut. Die heutigen technischen Hilfsmittel ermöglichen die Veranschaulichung der Mathematik und unterstützen die Erforschung von mathematischen Sachverhalten. Für viele Aufgaben ist der Einsatz von Taschenrechner und Computer sinnvoll, andere können problemlos ohne Hilfsmittel gelöst werden. Juli 2016 Hans Marthaler, Benno Jakob, Reto Reuter Dr. Hans Marthaler unterrichtete Mathematik an verschiedenen Berufsmaturitätsschulen in den Kantonen Bern, Luzern und Aargau. Heute ist er Rektor am Berufsbildungszentrum Fricktal in Rheinfelden. Benno Jakob, Reto Reuter und Matthias Burkhardt sind langjährige Mathematiklehrer an der Berufsmaturitätsschule der GIBB in Bern und haben grosse Erfahrung in unterschiedlichen Berufsmaturitätsausrichtungen. 5

3 INHALTSVERZEICHNIS Grundlagen und Grundoperationen Zahlenmengen und Terme Zahlenmengen Zahlenstrahl Terme Polynome Zahlenfolgen Übungen Grundoperationen Addition und Subtraktion Multiplikation Rechengesetze Das Pascalsche Dreieck Faktorisieren Übungen Dividieren Schreibweise von Brüchen Brüche erweitern und kürzen Brüche addieren und subtrahieren Brüche multiplizieren und dividieren Polynomdivision Übungen

4 Rechnen mit Potenzen Potenzieren Potenzen mit natürlichen Exponenten Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Potenzen addieren und subtrahieren Potenzgesetze Stellenwertsysteme Das Zehnersystem Exponentenschreibweise im Zehnersystem Andere Stellenwertsysteme Übungen Radizieren Quadratwurzel Allgemeine Wurzeln Potenz- und Wurzelgesetze Weiterführende Aufgaben Übungen Logarithmieren Einführung Logarithmengesetze Basiswechsel Anwendungsaufgaben Übungen

5 INHALTSVERZEICHNIS Gleichungen Allgemeine Einführung Aussagen und Aussageformen Gleichungen Ungleichungen Übungen Lineare Gleichungen Lineare Gleichungen ohne Parameter Lineare Gleichungen mit Parameter Bruchgleichungen Bruchungleichungen Textaufgaben Übungen Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Grundform eines linearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten Herkömmliche Lösungsverfahren Substitution von nicht linearen Gleichungssystemen Cramersche Regel Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems Lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten Einsetzmethode Additionsmethode Textaufgaben Übungen Quadratische Gleichungen der quadratischen Gleichung Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen Reinquadratische Gleichungen Quadratische Ergänzung

6 10.3 Lösungsformel für quadratische Gleichungen Aufgaben mit Parametern Satz von Vieta Substitutionsaufgaben Quadratische Ungleichungen Textaufgaben Übungen Wurzelgleichungen Einführung Lösungsverfahren Übungen Exponential- und logarithmische Gleichungen Exponentialgleichungen Lösungsverfahren Weiterführende Beispiele Logarithmische Gleichungen Übungen Funktionen Grundlagen Das kartesische Koordinatensystem Relationen und ihre Graphen Funktionen Einführung Darstellungsarten von Funktionen Funktionen erkennen Eigenschaften von Funktionen Übungen

7 INHALTSVERZEICHNIS 14 Lineare Funktionen Einführung Steigung und Ordinatenabschnitt Schnittprobleme Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Schnittpunkte zweier Geraden Spezielle Lagen zweier Geraden Verzweigte Funktionsvorschriften Übungen Quadratische Funktionen Grundform der quadratischen Funktion Normalparabel Scheitelform der quadratischen Funktion Beziehung zwischen Scheitelform und Grundform Schnittpunkte Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Schnittpunkte zweier Graphen Extremalaufgaben Übungen Umkehrfunktionen Umkehrbarkeit von Funktionen Bestimmen der Umkehrfunktion Übungen Potenz- und Wurzelfunktionen Potenzfunktionen Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten Potenzfunktionen mit negativen Exponenten Wurzelfunktionen Wurzelfunktionen und Potenzfunktionen Eigenschaften von Wurzelfunktionen Grafische Lösung von Wurzelgleichungen Übungen

8 18 Polynomfunktionen Einführung Extremalstellen und Nullstellen Übungen Exponential- und Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen Einführung Eigenschaften von Exponentialfunktionen Schieben und Strecken von Exponentialfunktionen Die natürliche Exponentialfunktion Logarithmusfunktionen Einführung Eigenschaften von Logarithmusfunktionen Schieben und Strecken von Logarithmusfunktionen Die natürliche Logarithmusfunktion Übungen Wachstum und Zerfall Exponentielle Prozesse Wachstumsmodelle Übungen Datenanalyse Einführende Beispiele Smartphone Kniearthrose Warenhaus Kaffee Weitsprung Übergewicht und Bluthochdruck Freiwurf-Contest Blut Schwertlilien E-Bike

9 INHALTSVERZEICHNIS Münze Bierfest Lohn Datengewinnung Methoden der Datengewinnung Fehler bei der Datengewinnung Grundbegriffe Grundgesamtheit und Stichprobe Datensatz Variablentypen Geordnete Stichprobe und Rang Grafische Darstellungen Säulen- und Balkendiagramm Kreisdiagramm Streifenplot Histogramm Boxplot Streudiagramm Kennzahlen Lagekennzahlen Kennzahlen für die zentrale Lage Extremwerte und Quantile Streuungskennzahlen Übungen Register

10 Zahlenmengen und Terme 1 Grundlagen und Grundoperationen 1 Zahlenmengen und Terme Im Zentrum dieses Kapitels stehen die elementaren Zahlenmengen N, Z, Q und R. Weiter werden die Grundlagen für den Umgang mit Termen gelegt. 1.1 Zahlenmengen Um Gegenstände wie Steine, Computer oder Flugzeuge zu zählen, braucht man die natürlichen Zahlen. Menge der natürlichen Zahlen N = {0; 1; 2; 3; } (1) = bedeutet «definierte Gleichheit» und wird ausschliesslich für en verwendet. Zur Beschreibung von Zahlenmengen werden geschweifte Klammern verwendet. Die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null sind: N * = N\{0} = {1; 2; 3; } (2) Eine Primzahl p P N ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern: P = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; } (3) Das Ergebnis einer Addition von zwei natürlichen Zahlen ist stets wieder eine natürliche Zahl. Die Operation ist somit innerhalb von N uneingeschränkt durchführbar. Dies ist bei der Subtraktion, der Umkehroperation der Addition, nicht immer der Fall: = 8 Damit uneingeschränkt subtrahiert werden kann, muss der Zahlenraum erweitert werden. Menge der ganzen Zahlen Z = { ; 3; 2; 1; 0; + 1; + 2; + 3; } (4) Während die Addition, die Subtraktion und die Multiplikation in Z uneingeschränkt durchführbar sind, ist dies bei der Division, der Umkehroperation der Multiplikation, nicht immer der Fall: 8 : 20 = 8 20 = 0.4 Damit uneingeschränkt dividiert werden kann, muss der Zahlenraum erweitert werden. Menge der rationalen Zahlen Q = { x x = a b mit a P Z und b P N * } (5) 13

11 I GRUNDLAGEN UND GRUNDOPERATIONEN Jede Zahl der Menge Q lässt sich als Bruch (Quotient) aus zwei ganzen Zahlen darstellen und ist als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch darstellbar. In Q sind die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division uneingeschränkt durchführbar. Damit weitere Operationen wie das Radizieren (Wurzelziehen) uneingeschränkt durchführbar sind, müssen die rationalen um die irrationalen Zahlen erweitert werden. Diese können als unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche dargestellt werden: 2 = Weitere Beispiele für irrationale Zahlen sind 5, ln 4, π, e, sin 7. Menge der reellen Zahlen Die Menge R der reellen Zahlen enthält alle endlichen und alle unendlichen Dezimalbrüche. Menge der irrationalen Zahlen Die Menge R \ Q der irrationalen Zahlen enthält alle Zahlen, die sich als unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche darstellen lassen. Zwischen den oben definierten Mengen bestehen diverse Teilmengenbeziehungen. So gilt zum Beispiel für die natürlichen Zahlen: N, Z, Q, R und somit auch N, Q, N, R und Z, R. Weiter sind die folgenden Teilmengen gebräuchlich: Teilmengen Z + Menge der positiven ganzen Zahlen (= N*). Z 0 + Menge der positiven ganzen Zahlen, inklusive Null (= N). Z Menge der negativen ganzen Zahlen. Z 0 Menge der negativen ganzen Zahlen, inklusive Null. Analog können Teilmengen von Q und R gebildet werden. So ist zum Beispiel Q + die Menge der positiven rationalen Zahlen, R die Menge der negativen reellen Zahlen. 14

12 Zahlenmengen und Terme 1 Beispiele (1) 19 = endlicher Dezimalbruch: rational. 8 (2) 4 33 = = unendlicher, periodischer Dezimalbruch: rational. (3) 5 = unendlicher, nicht periodischer Dezimalbruch: irrational (4) Drücken Sie als Bruch aus. Lösung: Durch zweimaliges Multiplizieren und anschliessendes Subtrahieren fällt die Periode weg: 10000x = x = x = x = = x = 2444 Übungen 1 S Zahlenstrahl Die anschauliche Darstellung einer Zahl erfolgt durch einen Punkt auf dem Zahlenstrahl. Positive Zahlen werden rechts vom Nullpunkt, negative Zahlen links davon abgetragen π Die Zahlen 2 und + 2 haben dabei den gleichen Abstand vom Nullpunkt, nämlich zwei Einheiten. Allgemein lässt sich der Abstand vom Nullpunkt auf dem Zahlenstrahl als Betrag der Zahl notieren, denn 2 = + 2 = 2. a = a +a = a a 0 1 +a Betrag einer Zahl Der Betrag a einer Zahl a ist der Abstand des Punktes vom Nullpunkt auf dem Zahlenstrahl: a für a > 0 a = 0 für a = 0 { a für a < 0 Es gilt: a 0 (6) Der Zahlenstrahl ist durch die Positionen null und eins eindeutig festgelegt. Auf dem Zahlenstrahl können alle Zahlen der Mengen N, Z, Q und R dargestellt werden. 15

13 I GRUNDLAGEN UND GRUNDOPERATIONEN Beispiele (1) 7 3 = 4 = 4 und 3 7 = 4 = 4 (2) Welche Zahlen x P Z erfüllen die Gleichung x 1 = 3? Lösung: Aus der von Gleichung (5) müssen zwei Fälle unterschieden werden: x 1 = 3 x = 4 oder x 1 = 3 x = 2 Die Zahlen 2 und 4 erfüllen die Gleichung x 1 = 3. Auf dem Zahlenstrahl gelten die folgenden Ordnungsbeziehungen: a b a < b a kleiner b a, b a = b a gleich b b a a > b a grösser b Ebenfalls gebräuchlich sind: a b a kleiner oder gleich b a b a ungleich b a b a grösser oder gleich b Die kleinere von zwei Zahlen liegt auf dem Zahlenstrahl immer links von der grösseren. Die Zeichen <, >, und lassen sich vorwärts und rückwärts lesen. So bedeutet a < b rückwärts gelesen «b grösser a». Mit den Zeichen <, >, und können Intervalle auf dem Zahlenstrahl bezeichnet werden. a < x < b a b x a x b a b x Das Intervall a < x < b, beziehungsweise x P ]a; b[ enthält die Randwerte a und b nicht. Das Intervall a x b, beziehungsweise x P [a; b] enthält die Randwerte a und b. Mischformen wie a < x b, beziehungsweise x P ]a; b] sind auch möglich. Das Intervall x > a, beziehungsweise x P ]a; [ ist nur linksseitig begrenzt. Das Intervall x a, beziehungsweise x P ] ; a] ist nur rechtsseitig begrenzt. 16

14 Zahlenmengen und Terme 1 Beispiel Notieren Sie die Zahlen a P R, die die Ungleichung a 3 erfüllen. Lösung: a 3 a P [ 3; 3] oder 3 a 3 oder L = {a P R 3 a 3}. Übungen 2 S Terme Werden Zahlen oder Variablen anhand von Operatoren und Klammern sinnvoll verknüpft, entsteht ein algebraischer Term oder ein algebraischer Ausdruck. Term Eine Zahl ist ein Term und eine Variable ist ein Term. Jede sinnvolle Zusammensetzung von Zahlen und Variablen (= Terme) mit Operationszeichen und Klammern ergibt einen Term. Enthält ein algebraischer Term T die Variable a, schreibt man: 3a + 4 T (a) = 3a + 4 Wertet man den Term für a = 5 aus, so notiert man: T (5) = = 19 Alle Zahlen, die man auf diese Weise im Term T einsetzen kann und die zu einem sinnvollen Ergebnis führen, bilden die smenge D des Terms. Terme werden immer nach der zuletzt ausgeführten Operation benannt. Dabei gilt: Hoch vor Punkt vor Strich. Mit Klammern kann diese Reihenfolge durchbrochen werden. Beispiele (1) Die folgenden Terme unterscheiden sich nur durch die Klammern: (a) = = = 3074 (b) 5 (2 + 3) 4 = = 5120 (c) 5 ( ) = (2 + 12) 5 = 14 5 = (d) 2 + (3 ( 4 5 )) = 2 + (3 1024) = = 3074 (e) 5 ((2 + 3) 4) = (5 4) 5 = 20 5 = (2) Gegeben sei der Term T (a) = a 2 3a + 2. Bestimmen Sie T ( 5) und T (0). Lösung: Wir setzen für die Variable a die vorgegebenen Werte ein: a = 5 : T ( 5) = ( 5) 2 3 ( 5) + 2 = 42 T ( 5) = 42 a = 0 : 2 T (0) = = 2 T (0) = 2 (3) 3 a Bestimmen Sie T (3; 2), T ( 1; 1) und T (2; 1), wenn T (a; b) = b 1. 17

15 I GRUNDLAGEN UND GRUNDOPERATIONEN Lösung: T (3; 2) 3 3 = 2 1 = = 9 = 9 1 T (3; 2) = T ( 1; 1) = 1 1 = = 3 2 = 3 2 T ( 1; 1) = 3 2 T (2; 1) 3 2 = 1 1 = = 6 0 Der Ausdruck ist nicht definiert. (4) Der Ausdruck (a) (x 1) ist eine Summe, denn zuletzt wird addiert. (b) x + y x y ist ein Quotient, denn zuletzt wird dividiert. 3 (c) 2 x ist ein Produkt, denn zuletzt wird multipliziert. (d) 2 (3x y) ist eine Potenz, denn zuletzt wird potenziert. (e) 2x y 3 x ist eine Differenz, denn zuletzt wird subtrahiert. Übungen 3 S Polynome In der Mathematik tauchen oft Ausdrücke auf wie x 1 ; 5 x x + 7x + 2 ; x + 4x + 4 ; (7) Diese Ausdrücke lassen sich in eine allgemeine Form bringen: Polynom Ein Ausdruck der Form P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 + a n x n n = a k x k (8) mit der Variablen x heisst Grundform eines Polynoms. n P N : Grad des Polynoms k = 0 a k P R : Koeffizienten, mit k = 0; 1; 2; ; n und a n 0 Polynome n-ten Grades werden oft mit dem Summenzeichen Σ geschrieben. Der Parameter k durchläuft die ganzzahligen Werte von 0 bis n und kommt als Index beim Koeffizienten a k und im Exponenten der Potenz x k vor. Jeder Wert des Parameters k ergibt einen der n + 1 Summanden. 18

16 Zahlenmengen und Terme 1 Beispiele (1) 3x 1 ist ein Polynom ersten Grades oder ein lineares Polynom: n = 1. Die Koeffizienten sind a 1 = 3 und a 0 = 1. 2 (2) x + 4x + 4 ist ein Polynom zweiten Grades oder ein quadratisches Polynom: n = 2. Die Koeffizienten sind a 2 = 1, a 1 = 4 und a 0 = 4. 3 (3) 5 x 7 x + π ist ein Polynom dritten Grades oder ein kubisches Polynom: n = 3. Die Koeffizienten sind a 3 = 5, a 2 = 0, a 1 = 7 und a 0 = π. 4 2 (4) 5 x x + 7x + 2 ist ein Polynom vierten Grades: n = 4. Die Koeffizienten sind a 4 = 5, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 7 und a 0 = 2. (5) Der Ausdruck x 5 x 2 ist kein Polynom, da er sich nicht in die Grundform (8) verwandeln lässt. Steht die Variable x im Nenner eines Bruchs oder unter einer Wurzel, kann es sich nicht um ein Polynom handeln. (6) 2x (3 x) ist ein quadratisches Polynom. Durch Ausmultiplizieren erhält man die Grundform 2x (3 x) = 6x 2 x 2 = 2 x 2 + 6x. 4 (7) Berechnen Sie die Summe s = (2k 1). k = 1 Lösung: Wir schreiben die Summe aus und erhalten: 4 s = (2k 1) = (2 1 1) + (2 2 1) + (2 3 1) + (2 4 1) k = 1 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 = = 16 Übungen 4 S Zahlenfolgen Bei den Zahlenmengen aus Kapitel 1.1 spielte die Reihenfolge der Elemente keine Rolle. Spezielle Mengen, bei denen die Anordnung wesentlich ist, heissen Zahlenfolgen. Zahlenfolge Eine reelle Zahlenfolge { a n } ist eine Menge reeller Zahlen, deren Elemente in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind: { a n } = a 1 ; a 2 ; a 3 ; ; a n ; n P N*, a k P R (9) Die Elemente a 1 ; a 2 ; a 3 ; heissen Glieder und das n-te Glied a n steht für ein beliebiges Glied der Zahlenfolge. Eine Zahlenfolge kann aus endlich oder unendlich vielen Gliedern bestehen. 19