Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik

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1 Aufgabe 2 Wetterstation Aufgabe aus der scriftlicen Abiturprüfung Hamburg 05. In einer Wetterstation wird die Aufzeicnung eines Niedersclagmessgeräts vom Vortag (im Zeitraum von 0 Ur bis Ur) ausgewertet. Das Regenmessgerät bestet aus einem nac oben offenen zlinderförmigen Gefäß mit einer Grundfläce von 1 m 2. Die Wassermenge wird vom Gerät automatisc aufgezeicnet. Es folgt eine Aufzeicnungsskizze der Wetterstation. Der Grap zeigt die Wassermenge im Gefäß in Abängigkeit von der Zeit in Stunden (-Acse: 1 Eineit entsprict 2 Stunden). a) Interpretieren Sie den Grapen im Hinblick auf folgende Fragen für den Zeitraum von 0 bis Ur: Wann at es geregnet? In welcem Zeitraum at es stark, in welcem Zeitraum scwac geregnet? Die Niedersclagsmenge wird in Millimetern oder aber in Litern pro Quadratmeter angegeben. b) Zeigen Sie, dass die aufgefangene Niedersclagsmenge von 1 Liter Wasser ein Ansteigen des Wasserstands im Gefäß von 1mm bedeutet. (Dieses Messgerät ermöglict also beide Angaben für die Niedersclagsmenge.) 15

2 Zentrale scriftlice Abiturprüfungen im Fac Matematik Die Kurve in der Aufzeicnungsskizze der Wetterstation entsprict dem Grapen der Funktion f mit 2 f( ) = 80e 40, für [0;]. c) Tragen Sie die felenden Skalen auf den Acsen ein. Berecnen Sie, wie viele Liter Wasser zwiscen 0 und Ur in das Gefäß gefallen sind. Zeicnen Sie die Gerade durc den Anfangs- und Endpunkt der Kurve und interpretieren Sie die Bedeutung dieser Geraden im Saczusammenang der Aufgabe. d) Untersucen Sie f auf Wendestellen im betracteten Intervall. e) Interpretieren Sie die Bedeutung der 1. Ableitung und die Bedeutung der Wendestelle im Sackontet der Aufgabe. f) Wie könnte man den Begriff momentane Regenstärke definieren. Wie stark at es nac irer Definition um 18 Ur geregnet? Wie groß war die minimale momentane Regenstärke? Geben Sie dazu auc eine sinnvolle Maßeineit an. Berecnen Sie auc mit Hilfe der Integralrecnung die mittlere Regenstärke in dem betracteten Zeitintervall von 0 bis Ur. Beacten Sie, dass man dabei nict ernstaft recnen muss. g) Skizzieren Sie in der nacfolgenden Darstellung den prinzipiellen Verlauf des Grapen für die Aufzeicnung eines Niedersclagsmessgerätes, der folgende Wettersituation insictlic der Niedersclagsmenge bescreibt: Wolkenbruc Nieselregen Sonnenscein bei wolkenlosem Himmel. (Ablauf in der angegebenen Reienfolge und one zeitlice Unterbrecungen) 16

3 Erwartungsorizont a) Die Aufzeicnung zeigt, dass es wärend des gesamten Zeitraumes geregnet at, weil der Grap streng monoton ansteigt (auf keinem Intervall konstant ist). Es at ab dem früen Nacmittag immer stärker geregnet, da der Grap im letzten Teil stark steigt. Wenig geregnet at es von etwa 4 Ur bis etwa 14 Ur; auf diesem Intervall steigt der Grap scwac b) Ein Zlinder mit einer Grundfläce von 1 m 2 = cm 2 und dem Volumen 1l = cm 3 at die Höe = cm = 0,1 cm = 1 mm. 5 c) Berecnung der Wassermenge: f (0) = 80 40= 40; der Anfangspunkt ist der Scnittpunkt mit der -Acse: S (0 40). f 2 () 80e ,124 = ; der Endpunkt der Kurve ist ( 151). Insgesamt sind im Beobactungszeitraum = 111 Liter Regen gefallen. Die Bedeutung der Geraden kann untersciedlic interpretiert werden. Möglice Antworten: Die Steigung der Geraden gibt die durcscnittlice Regenstärke wärend des gesamten Zeitraumes an. Wäre die Gerade die vom Messgerät aufgezeicnete Kurve, ätte es im gesamten Beobactungszeitraum gleicmäßig stark geregnet

4 Zentrale scriftlice Abiturprüfungen im Fac Matematik d) Bestimmung der Wendestelle: Es gilt: f = e ( ) 8 2 f = e Für f ( ) = 0 gilt: ( ) 0,8 2 0,1 0,1 0,8 e = 2 e = 2,5 = ln(2,5) = 10 ln(2,5) 9,163 Nacweis der Wendestelle durc Argumentation mit der grafiscen Darstellung bzw. über die 3. Ableitung: f ( ) = 0,08e. Die Wendestelle liegt bei 9,2. e) Die erste Ableitung gibt die Stärke des Regens zum jeweiligen Zeitpunkt an. In der Wendestelle at die erste Ableitung eine Etremstelle, im Fall der gegebenen Funktion eine Minimalstelle. Dies bedeutet, dass der Regen kurz nac 9 Ur am scwäcsten war. 10 f) Wir definieren entsprecend e) die Werte der ersten Ableitung als momentane Regenstärke zu den entsprecenden Zeitpunkten. Es gilt: f ( 18 ) 12, 4. Die zugeörige ier passende Maßeineit ist mm pro Stunde [ mm ]. Um 18 Ur betrug die momentane Regenstärke also 12,4 mm. Um 9.12 Ur war nac e) die momentane Regenstärke minimal. Einsetzen dieses Wertes in f ergibt: f ( 92, ) 17,, Um 9.12 Ur betrug die Regenstärke nur 1,7 mm. Mit einer Betractung der mittleren Regenstärke scließt sic der Kreis: Scon in der Antwort zu c) aben wir die Steigung der Geraden, also den Quotienten = 555, als mittlere Regenstärke interpretiert. f( ) f( 0 ) Diese Recnung entsprict einer Grundvorstellung (one Differential- und Integralrecnung), die sic nur auf die gefallene Regenmenge also auf die Funktion f beziet. Allgemein kann man den Mittelwert einer beliebigen stetigen (integrierbaren) Funktion g auf einem Intervall [ a ; b ] sinnvoll durc b g()d a b a definieren. 18

5 In unserem Fall bezieen wir diesen Ansatz auf die momentane Regenstärke, also auf die Funktion f. So geseen muss dann also werden. 0 f ()d 0 berecnet Nun ist aber f eine Stammfunktion von f, es muss also tatsäclic wieder nur f( ) f( 0 ) 555, berecnet werden. Die mittlere Regenstärke im Zeitraum von 0 bis Ur betrug also auc in dieser Interpretation etwa 5,55 mm. Bemerkung: Diese Aufgabe ist besonders gut geeignet, Grundvorstellungen der Differential- und Integralrecnung erauszuarbeiten, und sie mact auc den Hauptsatz besonders anscaulic. Da ausdrücklic in der Aufgabenstellung f) auf die Integralrecnung verwiesen wird, sollte eine Antwort, in der nur der scon in c) betractete Quotient berecnet wird, in der nur eine Teilpunktzal ergeben g) Beispiel: Wolkenbruc: stark ansteigende Kurve Nieselregen: scwac ansteigende Kurve Sonnenscein: Kurve at die Steigung 0. Es wird nict erwartet, dass keine Knicke im Grapen auftreten(stetigkeit der Regenstärke) und dass der Grap in der Wolkenbrucpase einen Wendepunkt at, aber der gesamte Grap sollte bis zum Sonnenscein streng monoton steigen, insgesamt in der Wolkenbrucpase steiler sein als in der Nieselregenpase, beim Nieselregen annäernd linear sein und natürlic in der Sonnensceinpase konstant sein Insgesamt 100 BWE

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