Wohin mit den Hubschraubern? Standortplanung in der Mathematik

Transkript

1 3. Runde Landeswettbewerb Mathematik Rheinland-Pfalz April 2004 Wohin mit den Hubschraubern? Standortplanung in der Mathematik Workshop Silvia Schwarze Simone Horn

2 Die Aufgabe: Hubschrauber positionieren in den Bergen Gegeben: 109 Einsatzorte 3 Hubschrauber Anzahl der Einsätze je Ort Gesucht??? X Y Alle Pelikan 1 Pelikan 2 Aiut Alpin Einsätze Abtei 116, Ahrntal 131,25 11, Aldein 76, Algund 57,5 47, Altrei 77,5 92, Andrian 66,25 66, Auer 62, Barbian 87,5 56, Bozen 76 68, Branzoll 63,75 78, Brenner 81, Brixen 97,5 43, Bruneck , Corvara , Deutschnofen 81,25 77, Enneberg 118, Eppan 68,75 73, Feldthurns 93,75 48, Franzensfeste 93,75 36, Freienfeld 85 27, Gais Gargazon 63, Glurns 13,75 51, Graun 12,5 36, Gsies 137,5 36, Hafling 65 52, Innichen 146, Jenesien 73,

3 Das sollte man sich vorab überlegen Gibt es weitere Angaben zu dem Problem? für Standorte verbotene Regionen Gebiete die umflogen werden müssen wo liegen Krankenhäuser unterschiedliche Geschwindigkeiten der Hubschrauber... Woran messen wir einen guten Standortplan? der Abstand zu jedem Einsatzort darf nicht größer als... sein der mittlere Abstand zu den Einsatzorten soll möglichst klein sein...

4 Die Modellierung Erster Schritt: Vereinfachen!!!! welche Faktoren sind charakteristisch für das Problem? welche Faktoren können (für den Moment) vernachlässigt werden? Zweiter Schritt: Basismodel Unser erstes Modell besteht aus: drei Einsatzorten (gegeben Koordinaten, ohne Anzahl der Einsätze) einem Hubschrauber Ziel: den Abstand zum am weitest entfernten Einsatzort so gering wie möglich machen?

5 Das Basismodell Frage: Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten? Antwort: Satz von Pythagoras!

6 Der Satz von Pythagoras Wie errechne ich die Entfernung d(a,b) zwischen zwei Punkten A und B? B (B 1 -A 1 )² +(B 2 -A 2 )² B A d(a,b) =? A (B 2 -A 2 )² (B 1 -A 1 )²

7 Das Basismodell Frage: Es gibt einen Punkt, der zu allen drei Einsatzorten den gleichen Abstand hat. Wo liegt er?

8 Das Basismodell Antwort: Auf dem Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten zu A B, A C, B C.

9 Der Umkreismittelpunkt Der Punkt, der zu allen drei Einsatzorten den gleichen Abstand hat heißt Umkreismittelpunkt Die Punkte A, B, C liegen auf einem Umkreis um diesen Punkt und haben damit den gleichen Abstand zum Umkreismittelpunkt.

10 Umkreismittelpunkt Sonderfall: stumpfwinkliges Dreieck Im stumpfwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Als Standort für den Hubschrauber ist er ungünstig. Der optimale Standort liegt hier in der Mitte der Dreiecksseite gegenüber des stumpfen Winkels.

11 Und jetzt in Formeln Aufgabe: Finde einen Punkt x, dessen Entfernung zu dem am weitesten entfernten Punkt so klein wie möglich ist. 2 2 Entfernung von x nach A: d( x, A) = ( A x ) + ( A x ) 2 2 Entfernung von x nach B: d( x, B) = ( B x ) + ( B x ) 2 2 Entfernung von x nach C: d( x, C) = ( C x ) + ( C x ) Entfernung von x zum am weitesten entfernten Punkt: max { d( x, A), d( x, B), d( x, C) } Die Aufgabe läßt sich also so formulieren: Minimiere max { d( x, A), d( x, B), d( x, C) }

12 Minimiere den maximalen Abstand zu den Einsatzorten Der Umkreismittelpunkt ist der Standort für den Hubschrauber, an dem der maximale Abstand minimal wird. Er löst damit die Aufgabe: Minimiere den maximalen Abstand zu den Einsatzorten Minimiere max d( x, A), d( x, B), d( x, C) { }

13 Gruppenarbeit Gruppe A: Wie plant man für vier Standorte, wie für beliebig viele Standorte? Gruppe B: Wie plant man, wenn für die drei Standorte unterschiedliche Einsatzzahlen bekannt sind? Gruppe C: Wie plant man, wenn manche Regionen als Standorte nicht geeignet sind?

14 Das war es für heute Bisherige Ergebnisse: Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnet man mit dem Satz des Pythagoras Alle Standorte, die zu einem Punkt den gleichen Abstand haben, liegen auf einer Kreislinie um diesen Punkt. Alle Standorte, die zu zwei Punkten den gleichen Abstand haben, liegen auf der Mittelsenkrechten der beiden Punkte Der Standort, der zu drei Punkten den gleichen Abstand hat, ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten und gleichzeitig der Umkreismittelpunkt Alle Standorte, die von einem Punkt höchstens den Abstand r haben sollen, liegen innerhalb eines Kreises mit Radius r um diesen Punkt

15 Was kommt morgen? Wie geht es weiter? Weiterarbeit in den Gruppen Kann man Abstand auch anders messen? Vorbereitung Präsentation