Mathematischer Vorkurs Physik A

Transkript

1 Winter Semester 05 Mathematischer Vorkurs Physik A :5 3:00 INF 30 ghs Jörg Marks, Physikalisches Institut, INF 6 marks@physi.uni-heidelberg.de Inhalt Mi 7.0. entfällt Kein Raum Zahlen und Zeichen Gleichungen, Physikalische Einheiten Funktionen Differentialrechnung Integralrechnung Vektoren Weitere Infos im Laufe der Veranstaltung unter Homepage der Physik A Vorlesung

2 Ziel der Veranstaltung Ziel Wiederholen der Konzepte der Kursstufenmathematik im Hinblick auf die Rechenfertigkeiten, die zu Beginn der Physikvorlesung benötigt werden. Keine Beweise! Konzepte so erläutern, dass Sie mit den Erklärungen selbständig kleine Aufgaben lösen können. Ein wichtiger Teil der Physik Vorlesung ist das selbstständige Üben des gelernten Stoffes. Das geht aber nur mit einigen rechnerischen Grundfertigkeiten. Diese wollen wir wiederbeleben. Niveau Wir werden auf dem Level unterhalb des Mathe-Kursstufen-Unterrichts einsteigen. Gute Mathe Schüler werden erst bei den Vektoren etwas Neues lernen! Struktur des Kurses 5 min. Vorlesung 0 min. Lösen von Übungsaufgaben (gemeinsam mit Ihrem Nachbarn!) 5 min. Besprechung der Lösungen

3 Programm Zahlen und Zeichen Zahlenmenge und Zeichen definieren Gleichungen Begriffe, Brüche, Kürzen, Ausklammern, Binomische Formeln Rechnen mit Potenzen Quadratische Gleichungen Physikalische Grössen und Einheiten Umrechnen und Eponenten Funktionen Definition, Beispiele häufig verwendeter Funktionen, Eigenschaften Polynome, Potenzfunktionen, Eponentialfunktion, Graphische Darstellung

4 Zahlen, Zeichen und Einheiten Zahlen Uneingeschränkt ausführbare Rechenoperationen + N = f; ; 3; 4; ::::g N0 = f0; ; ; 3; 4; ::::g Z = f0; ; ; 3; ::::g : Q und irrationale Zahlen R (reelle Zahlen) Anordnung der rellen Zahlen Physikalisch kontinuierliche Vorgänge finden in der Regel in R statt.

5 Mathematische Zeichen N Summenzeichen: a a a... a N, N N i i Summen endlicher Folgen: N i N N ungerade Zahlen i N i N N ( N ) gerade Zahlen i N Produktzeichen: a i a a... a N i Fakultät: N N! N i i Potenzen : n a n a a a... a a, n Z a 0, a n i a := Basis Wurzeln: m a n a n m n = Eponent, a R an := Radikant Binomialkoeffizienten: an m = Wurzeleponent µ n n! = ; k k! (n k)! µ Y k n n k+i = k i i= n k ; n! = 3 ::: n

6 Mathematische Zeichen

7 Gleichungen Begriffe Term: mathematischer Ausdruck aus Variablen, Konstanten und Rechenvorschriften (+, - etc.) in mathematisch zulässiger Anordnung. Gleichung: zwei Terme S und T, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind ( S = T ). Ungleichung: zwei Terme S und T, die durch eines der Relationszeichen >, <,>=, <= oder das Ungleichheitszeichen verbunden sind. Lösung von Gleichungen Rezept: Führe auf beiden Seiten der Gleichung die selben Operationen durch, bis die gesuchte Grösse auf einer Seite isoliert steht. Terme berechnen, Hauptnenner suchen, kürzen, ausklammern, binomische Formeln anwenden,. Beispiel: =a j = a j:a = a Binomische Formeln: allgemein: (a b) = a a b + b a b = (a b) (a + b) n µ X n n k k n (a b) = a b k k=0

8 Rechnen mit Potenzen n, m Z Potenzen gleicher Basis: a m a n a m n Produkt a ::: a} a ::: a} = a {z a {z m am Quotient n a m n Potenzieren a Potenzen mit gleichen Eponenten: m m (a b) a b Produkt n m n (a ) a m Y i= m n a m n = (a) m n = (a) m n =D i= m-te Wurzel aus der n-ten Wurzel von a p q 0, p, q R = a = am+n n Q Lösungen von quadratischen Gleichungen v u p up = u q t4 {z } i= a= m+n Y a m am Quotient ( ) m b b m Die obigen Rechenregel gelten auch für Potenzen mit Beispiel: ³ a n Y D = 0 : Lösung D > 0 : Lösungen D < 0 : keine Lösung in R

9 Physikalische Größen Physikalische Gesetze Die physikalischen Gesetze beschreiben die Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen, die durch mathematische Objekte (Zahlen, Vektoren, Funktionen) und Gleichungen zueinander in Beziehung stehen. Das Ziel ist die eperimentelle Erfassung und Beschreibung der Naturvorgänge aufgrund der ihnen zugrunde liegenden Gesetze. Messungen Messungen vergleichen eine physikalische Größe mit einer definierten Einheit oder einer Menge zusammengesetzter Einheiten. Das Resultat einer Messung besteht also aus Messwert, Einheit und Messfehler

10 Internationales Einheitensystem (SI) Nach internationaler Vereinbarung hat man in der Physik sieben Basisgrößen (Grundgrößen) mit den zugehörigen Basiseinheiten eingeführt (954 auf der 0. Generalkonferenz für Maß und Gewicht (CGPM) in Paris). Basisgröße Basiseinheit Einheitenzeichen Länge Meter m Masse Kilogramm kg Zeit Sekunde s Elektrische Stromstärke Ampere A Thermodynamische Temperatur Kelvin K Stoffmenge Mol mol Lichtstärke Candela cd Die. Generalkonferenz für Maß und Gewicht (CGPM) hat 960 zwei ergänzende SI-Einheiten festgelegt: Einheit Einheitenzeichen Ebener Winkel Radiant rad Räumlicher Winkel Steradiant sr Größe Abgeleitete physikalische Einheiten mit besonderen Einheitennamen

11 Einheitenname Zeichen Größe Beziehung Becquerel Bq Aktivität Bq = s- Coulomb C elektr. Ladung C = A s Dioptrie* dpt Brechkraft dpt = m- Farad F elektr. Kapazität F = C V- = A s4 m- kg- Grad Celsius C Celsius-Temperatur C = K *** Gray Gy Energiedosis Gy = J kg- = m s- Henry H Induktivität H = Wb A- = m kg s- A- Hertz Hz Frequenz Hz = s- Joule J Energie, Arbeit, Wärmemenge J = kg m s- Katal kat katalytische Aktivität kat = mol s- Lumen lm Lichtstrom lm = cd sr Lu l Beleuchtungsstärke l = lm m- = cd sr m- Newton N Kraft N = kg m s- Newtonmeter* N m Drehmoment N m = kg m s- Ohm Ω elektr. Widerstand Ω = V A- = kg m A- s-3 Pascal Pa Druck Pa = N m- = kg m- s- Radiant** rad ebener Winkel rad = m m- Siemens S elektr. Leitwert S = A V- = A s3 m- kg- Sievert Sv Äquivalentdosis Sv = J kg- = m s- Steradiant** sr Raumwinkel sr = m m- Tesla T magnet. Flussdichte T = Wb m- = kg A- s- Var* var elektr. Blindleistung var = W = kg m s-3 Volt V elektr. Spannung, elektr. Potential V = J C- = kg m A- s-3 Voltampere* VA elektr. Scheinleistung VA = W = kg m s-3 Watt W Leistung, Energiestrom W = J s- = kg m s-3 Weber Wb magnet. Fluss Wb = V s = kg m A- s-

12 Eponenten Schreibweise

13 Beispiel Die Betrachtung von Einheiten gibt Hinweise, welche Abhängigkeiten eine physikalische Größe haben kann. Fadenpendel: Schwingungsdauer t? [t] = T l [l] = L m g [m] = M L [g] = T t» g m l T» L T M L T» L + T M Durch Koeffizientenvergleich =0 = = g =) t» g l = s l g Die Konsistenz der Einheiten ist auf jeden Fall eine notwendige Bedingung für die Beschreibung eines physikalischen Vorganges.

14 Kleinste Strukturen 7000 Kupferatome Quarks / mm Durchmesser Spiralgalaie NGC 3 Radiogalaien Entferntestes Objekt 30 kpc Große Distanzen 00 kpc Entfernung von MACS0647-JD 40 Millionen Jahre nach Urknall Übungsaufgaben I: Gleichungen und Einheiten

15 Funktionen Einführung Weg s [m] Eperiment: Rollender Ball Messe Weg und Zeit Zeit t Weg s s.0m s 3s 4s 3.9m 6.05m 8.m 5s 9.95m Bestimme aus der Messung s (t ) t Zuordnungsvorschrift Die Zuordnung s=f(t) heißt Funktion. Mathematische Schreibweise: f: R R, t t oder f: y = Zu jeder Funktion eistiert ein Graph Zeit t [s] Zuordnung und Graphische Darstellung Beispiele häufig auftretender Funktionen Konstante Funktion y = constant Lineare Funktion y=m+b Parabel y = a0 + a + a y N Polynom n-ten Grades y ai i i 0

16 Verschiedene Potenzfunktionen Potenzfunktionen a zunehmend f() f() f() = () a zunehmend a f() = ()a a natürliche Zahl gerade ungerade Wurzeln f() Hyperbeln f() f() = ()a f() = ()a a rationale Zahl a < 0 ganze Zahl

17 Funktionen - Eigenschaften Punktsymmetrie Achsensymmetrie f() f() gerade Funktionen ungerade Funktionen f() = f(-) f() = -f(-) Periodische Funktionen f() Gleiche f() wiederholen sich immer wieder: p f(+p) = f()

18 Funktionen - Eigenschaften Skalierung Verschiebungen f() f() f() = (+) +4 f() = () f() = f() = Umkehrfunktionen f() Rezept: Auflösen nach : = f-(y) Vertauschen von mit y: y = f-() f() f()- Graphisch: Umkehrfunktion durch spiegeln an f()= Übungsaufgaben II: Funktionen

19 Verknüpfung von Funktionen Verkettung Df ; Dg µ R f : Df! R; g : Dg! R g(f ) = g ± f : Df ±g! R! g(f ()) Summe, Differenz und Produkt g f : Df g! R! g() f () Quotient g : Df! R g f g()! f ()

20 Eponentialfunktion () Eponentielles Wachstum Das Wachstum einer Bakterienkultur ist durch Folgendes charakerisiert: In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um den gleichen Faktor Zu Beginn besteht die Kultur aus 000 Bakterien. Anzahl der Bakterien Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl der Bakterien. Anzahl N der Bakterien nach t Stunden N (t) = 000 t N (4) = = Radioaktiver Zerfall Anzahl der Kerne N nach t Stunden N (t) = 000 ( )t Eponentialfunktion Anzahl der Kerne In gleich großen Intervallen ändert sich der Funktionswert um den gleichen Faktor f () = c ab f () = c ab = c (ab ) = c A b > 0 : Wird um den Wert /b erhöht, so ändert sich f um den Faktor a b < 0 : Wird um den Wert /b erhöht, so ändert sich f um den Faktor /a

21 Eponentialfunktion () Eulersche Zahl e ist die einzige Zahl für die gilt: e > + 8 R e = lim ( + n! n ) = : ::: n e wird häufig in der Physik als Basis verwendet, z.b. zur Beschreibung von Zerfallsprozessen: f (t) = f (0) ep( t) = f (0) e t Logarithmus Umkehrfunktion der Eponentialfunktion Logarithmus von b zur Basis a a = b = a log(b) Logarithmus zur Basis 0: Zehner-Logarithmus (lg) Logarithmus zur Basis e: natürlicher Logarithmus (ln) Basen sind nicht eindeutig: Jede Eponentialfunktion kann auf jede Basis c log(b) c bezogen werden a log(a) log(b) = a =c t f (t) = f (0) s! f (t) = f (0) e t = ln s c log(a)

22 Trigonometrische Funktionen Definition: Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck a : Ankathete b a cos( ) : sin( ) : b : Gegenkathete c c c c : Hypothenuse b SI Einheit Radian tan( ) Satz des Pythagoras sin ( ) cos ( ) a b c a sin( ) cos( ) Einheitskreis y cos( ) : a sin( ) : b a - b Führe periodische Funktionen ein f : f ( ) sin( ) g : f ( ) cos( ) Illustration: - Wertebereich: 0 < < cos( ) sin( )

23 Formeln für trigonometrische Funktionen sin( y) = sin() cos(y) cos() sin(y) cos( y) = cos() cos(y) sin() sin(y) sin() = sin() cos() cos() = cos () sin () sin( ) = r ( cos()) sin() sin(y) = sin( sin(3) = 3 sin() 4 sin3 () cos(3) = 4 cos3 () 3 cos() cos( ) = r y y ) cos( ) [cos( y) cos( + y)] cos() cos(y) = [cos( y) + cos( + y)] sin() cos(y) = [sin( y) + sin( + y)] sin() sin(y) = ( + cos())

24 Trigonometrische Funktionen in der Physik Fadenpendel: Federpendel: Viele Schwingungsvorgänge in der Natur werden durch komplizierte periodische Funktionen beschrieben, bei denen sich Amplitude und Periode zeitlich ändern können. So zum Beispiel bei gekoppelten oder erzwungenen Schwingungen. Gekoppelte Schwingungen: Erzwungene Schwingungen: Resonanz Katastrophe: Windentfachte Schwingung der Tacoma Bridge Allgemeine Funktion zur Beschreibung einfacher Schwingungsvorgänge: A(t) = A0 sin(! t + Á0 ) A0 : ma. Amplitude Kreisfrequenz Phase hängt vom schwingfähigen System ab, z.b. Fadenlänge, Masse,.. 0 wird durch die Anfangsbedingungen festgelegt

25 Trigonometrische Funktionen Beschreibung einfacher Schwingungsvorgänge s(t) = A sin ( t + 0) Änderung der Amplitude A Änderung der Phase 0 s(t) s(t) t t Änderung der Kreisfrequenz s(t) t Übungsaufgaben III: Funktionen

26 Funktionen - graphische Darstellung Funktionsplotter in Java Mathematische Software Pakete Maima freie Software Maple Mathematica Stehen in den Fakultäten oder im URZ zur Verfügung?? Sehr mächtiges Werkzeug Einführung mit Beispiel notebooks z.b. unter Nützliche und sehr gute Dokumentation. One Minute Demo: Führen Sie dieses File aus mit installiertem mathematica aus

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29 Formelsammlung Trigonometrische Funktionen sin(t ) cos(t ) sin(t ) sin(t ) cos(t ) cos(t ) sin( t ) sin(t ) cos( t ) cos(t ) sin(t ) 0 t m, m ganze Zahl, m ganze Zahl sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos(t ) 0 t (m )