Einführung in die linearen Funktionen. Autor: Benedikt Menne

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Einführung in die linearen Funktionen. Autor: Benedikt Menne"

Transkript

1 Einführung in die linearen Funktionen Autor: Benedikt Menne

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort... 3 Allgemeine Definition Bestimmung der Steigung einer linearen Funktion Bestimmung der Steigung m durch zwei bekannte Punkte Bestimmung der Steigung m durch einen bekannten Punkt und b Bestimmung der Verschiebungskonstanten Bestimmung der Verschiebungskonstanten durch zwei bekannt Punkte Bestimmung der Verschiebungskonstanten durch einen bekannten Punkt und m Bestimmung der Nullstelle einer linearen Funktion Bestimmung der Nullstellen mit bekannter Steigung m und b Bestimmung der Nullstellen mit zwei bekannten Punkten Bestimmung des Schnittpunktes zweier linearer Funktionen Feststellung der Parallelität zweier linearer Funktionen Feststellung der Orthogonalität zweier linearer Funktionen... 0 Seite von

3 Vorwort Dieses Skript zur Einführung in die linearen Funktionen soll eine kleine Übersicht über den Umgang mit Funktionen linearer Natur bieten und verschiedene Möglichkeiten zur Berechnung deren Elemente aufzeigen. Besonders geeignet ist dieses Skript zur Auffrischung bereits behandelter Inhalte, da es auf nachvollziehbare Art gängige mathematische Operationen Schritt für Schritt erklärt. Allgemeine Definition Eine lineare Funktion definiert sich auf Grund des mathematischen Konsenses wie folgt: Somit ist eine jede lineare Funktion als Polynom ersten Grades zu anzusehen. In der Graphentheorie wird häufig die folgende Form genutzt: In der Regel wird der y-wert einer Funktion mit f(x), gesprochen f von x, bezeichnet. Die obige Form definiert nun vier Elemente: x, y, m, b. Die Elemente x und y sind selbsterklärend und drücken die jeweiligen Koordinatenwerte aus. Das Element m definiert die Steigung der linearen Funktion. Das Element b gibt die Translation, also die Verschiebung, auf der Y- Achse an. Nachstehende Abbildung verdeutlicht einen Graphen einer linearen Funktion und visualisiert die verschiedenen eben besprochenen Elemente: Abbildung. Graph einer linearen Funktion Seite 3 von

4 Es ist klar ersichtlich, dass der Graph eine Verschiebung um + besitzt und somit definiert sich das Element b = +. Es ist unbedingt das Vorzeichen der Konstante b zu beachten. Eine negative Konstante würde eine Translation um den Wert zwei nach unten ausdrücken. Die Steigung m = ½ definiert sich, wie das Element b, auch durch den Graphen. Würde der Graph m = definieren, stiege die lineare Funktion pro horizontalem Kästchen um ein vertikales Kästen. Ist somit m = steigt die Funktion um 45 oder um arctan(). 3 Bestimmung der Steigung einer linearen Funktion Eines der wichtigsten Elemente einer linearen Funktion ist deren Steigung m, deren Anwendung man auch später in der Differenzialrechnung häufig benötigt. Folgend werden zwei Möglichkeiten aufgezeigt um die allgemein mit m beschriebene Steigung zu bestimmen. 3. Bestimmung der Steigung m durch zwei bekannte Punkte Um eine beliebige Steigung einer linearen Funktion zu ermitteln müssen zwei ihrer Punkte mit vollständigem Koordinatenpaar vorliegen. Verfolgt man das obige Beispiel weiter und liest zwei beliebige Punkte des Graphen aus der Abbildung ab ergeben sich beispielhaft folgende Koordinatenpaare: P (;) und P (;3) Wird nun P und P in diese Gleichung eingesetzt ergibt sich als dessen Resultat die Steigung m. Die Herleitung der Formel zur Berechnung der Steigung m wird durch die Abbildung. dieses Kapitels deutlich (Steigungsdreieck). Da eine lineare Funktion stets linear ist, muss m also konstant sein. 3. Bestimmung der Steigung m durch einen bekannten Punkt und der Verschiebungskonstanten b Ist ein Koordinatenpaar und die Verschiebungskonstante b bekannt lässt sich die Steigung m in sehr trivialer Form bestimmen. Als Ursprungsgleichung wird erneut die Normalform der linearen Funktion herangezogen: Seite 4 von

5 Nun werden alle bekannten Werte in die Gleichung eingesetzt und das Element m bestimmt. Die beispielhaften Werte werden aus dem vorherigen Abschnitt übernommen. Somit ergeben sich P (;3) und b =. 3 = m + = m = m 4 Bestimmung der Verschiebungskonstanten Als weitere wichtige Eigenschaft einer linearen Funktion ist dessen Verschiebungskonstante b zu sehen. Sie gibt die konstante Verschiebung für den Graphen auf der Y-Achse an. Die nachstehende Abbildung illustriert diese treffend: Abbildung 4. Verschiebungskonstante 4. Bestimmung der Verschiebungskonstanten durch zwei bekannt Punkte Die Verschiebungskonstante b, in der Literatur häufig als die Inhomogenität bezeichnet, lässt sich mit Hilfe der Steigung m = ½ und zwei bekannten Punkten P (-;) und P (;3) berechnen, indem in jeweils in die Normalform f(x) = mx + b eingesetzt wird. Somit ergeben sich nachstehenden Funktionen: = m + b Seite 5 von

6 3 = m + b Nun stellt man eine dieser Gleichungen nach m um und setzt diese in die zweite Gleichung ein. Dieses Verfahren ist allgemein als Einsetzungsverfahren bekannt. Selbstverständlich ist auch jedes andere Verfahren, zum Beispiel das Gleichsetzungsverfahren zulässig. Wird die zweite Gleichung nach m umgestellt ergibt sich folgendes Bild: 3 b = m 3 b = m Nun ist diese umgestellte Gleichung in die erste Gleichung einzusetzen und zu vereinfachen. 3 = b + b 3 b = + b = 6 + b + b = 3 + b + b = 3 + b 4 = b = b Es ergibt sich als Resultat des Gleichungssystems das b dem Wert + zugeordnet ist, was auch eindeutig mit der Abbildung übereinstimmt. 4. Bestimmung der Verschiebungskonstanten durch einen bekannten Punkt und der Steigung m Ist von der linearen Funktion f(x) ein Punkt P und die Steigung m bekannt kann analog zu. verfahren werden. Es seien die exemplarischen Werte P (;3) und m = / bekannt: 3 = + b 3 = + b = b Seite 6 von

7 4.3 Bestimmung der Nullstelle einer linearen Funktion Eine jede Funktion besitzt mindestens eine Nullstelle. Als Nullstelle wird jener Punkt bezeichnet, in der ein jeweiliger Graph die X-Achse schneidet und somit f(x), also y, den Wert Null zugeteilt bekommt. Eine Funktion hat maximal so viele Nullstellen wie ihr grad hoch ist. Beispielsweise besitzt eine quadratische Gleichung maximal zwei Nullstellen, da ihr höchster Exponent ist. Abbildung 4. - Nullstelle einer Funktion Wie obig aus der Visualisierung des Graphen hervorgeht liegt dessen Nullstelle bei x = -4. Da der Graph nicht immer modelliert werden kann und sollte muss nun eine Formel gefunden werden, mit welcher sich die Nullstelle bestimmen lässt. Generell existieren mehrere Möglichkeiten eine Nullstelle einer linearen Funktion zu bestimmen. Folgend sollten zwei dieser Möglichkeiten vorgestellt werden Bestimmung der Nullstellen mit bekannter Steigung m und der Verschiebungskonstanten b Ist die Steigung m und die Verschiebungskonstante b einer linearen Funktion bekannt gestaltet sich die Berechnung der Nullstelle X 0 äußerst trivial wie folgende Formel illustriert: x 0 = b m Es sind nun bekannte Werte in die Formel einzuführen. Zu Demonstrationszwecken sei hier m = ½ und b =. x 0 = 0,5 Seite 7 von

8 x 0 = 0, Bestimmung der Nullstellen mit zwei bekannten Punkten Sind zwei Punkte der linearen Funktion bekannt ist zuerst, wie in Kapitel behandelt, die Steigung und die Verschiebungskonstante zu ermitteln. Nun kann analog zu. mit Hilfe der beiden errechneten Elemente die Nullstelle berechnet werden. 5 Bestimmung des Schnittpunktes zweier linearer Funktionen Um den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen festzustellen müssen zunächst deren Geradengleichungen bekannt sein. Beispielhaft seinen hier folgende Gleichungen angeführt: y = x y = x + Nun werden diese beiden Funktionen nach den Regeln des Gleichsetzungsverfahrens behandelt. Somit ergibt sich: x = x + x = 4 x = Das resultierende x ist nun der X-Wert des Schnittpunktes. Um den noch fehlenden Y-Wert zu ermitteln wird der eben berechnete X-Wert in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt: y = x + y = 3 + y = 3 3 Seite 8 von

9 Nun wurde der Schnittpunkt mit den Werten S(3;) vollständig bestimmt. Zur Kontrolle ist es nun ratsam den ermittelten X-Wert in die andere Funktionsgleichung einzusetzen und zu prüfen ob dessen Ergebnis äquivalent zu dem Resultat des ersten Einsetzvorganges ist. y = x y = 3 y = 6 Feststellung der Parallelität zweier linearer Funktionen Zur Feststellung der Parallelität zweier linearer Funktionen ist kein mathematischer Aufwand notwendig. Liegt bei beiden Funktionen die Steigung m vor muss diese verglichen werden. Ist nun die Steigung der ersten Funktion äquivalent zur Steigung der zweiten Funktion sind beide Funktionen parallel zueinander. m = m Anhand einer fiktiven grafischen Darstellung wird der Parallelitätsnachweis noch einmal verdeutlicht: Abbildung 6. - Parallele lineare Funktionen Seite 9 von

10 7 Feststellung der Orthogonalität zweier linearer Funktionen Stehen zwei lineare Funktionen orthogonal, also rechtwinklig, zu einander ergibt sich grafisch folgendes Bild: Abbildung 7. - Orthogonalität zweier Funktionen Stehen zwei lineare Funktionen also orthogonal zu einander steht eine Funktion sozusagen rechtwinklig auf der anderen Funktion. Um nun einen mathematischen Ansatz zur Orthogonalitätsfeststellung anzuführen müssen, ähnlich wie beim Parallelitätsnachweis, die beiden Steigungen der Funktionen betrachtet werden. Ist deren Produkt -, ist der Orthogonalitätsnachweis erbracht: m m = Nun ist in der Mathematik häufig ein lineare Funktion zu bestimmen, welche durch einen spezifizieren Punkt P verlaufen und gleichzeitig orthogonal zu einer anderen Gerade stehen soll. Gegeben sei ein Punkt P (4;5) und die lineare Funktion f(x) = x +. Soll nun die lineare Funktion einer Geraden bestimmt werden, welche durch den Punkt P verläuft und rechtwinklig zu f(x) = x + steht berechnet werden kann wie folgt vorgegangen werden: Zuerst muss die Steigung m der neuen Funktion, bezeichnen wir sie mit g(x), berechnet werden. Da das Produkt beider Steigungen - ergeben muss und eine der Steigungen bekannt ist wird folgender formaler Aufbau benötigt: m m = m = m Seite 0 von

11 m = m = Nun ist die Steigung der neuen Funktion g(x) bekannt und es ist noch die Verschiebungskonstante b zu ermitteln. Da drei Elemente der neuen Funktion bereits vorhanden sind bietet sich der Einsatz der Normalform an: g ( x) = m x + b 5 = 4 + b 5 = + b 7 = b Seite von

Regel Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind.

Regel Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind. Funktionen Station 1 Bestimmung der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind. m = f(x 2 ) f(x 1 )

Mehr

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis Lineare Funktion Wolfgang Kippels. November 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................

Mehr

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 21. März 2011

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 21. März 2011 Lineare Funktion Wolfgang Kippels. März 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................

Mehr

Gleichsetzungsverfahren

Gleichsetzungsverfahren Funktion Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der zu jeder Größe eines ersten Bereichs (Ein gabegröße) genau eine Größe eines zweiten Bereichs (Ausgabegröße) gehört. Eine Funktion wird durch eine Funktionsvorschrift

Mehr

Lineare Funktionen y = m x + n Sekundarstufe I u. II Funktion ist monoton fallend, verläuft vom II. in den IV.

Lineare Funktionen y = m x + n Sekundarstufe I u. II Funktion ist monoton fallend, verläuft vom II. in den IV. LINEARE FUNKTIONEN heißt Anstieg oder Steigung heißt y-achsenabschnitt Graphen linearer Funktionen sind stets Geraden Konstante Funktionen Spezialfall Graphen sind waagerechte Geraden (parallel zur x-achse)

Mehr

f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x + 3,5

f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x + 3,5 11. Lineare Funktionen Übungsaufgaben: 11.1 Zeichne jeweils den Graphen der zugehörigen Geraden a. y = 0,5x 0,25 b. y = 0,1x + 2 c. y = 2x 2 d. 2x + 4y 5 = 0 e. y = x f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y =

Mehr

Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient.

Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient. Seite Definition lineare Funktion Eine Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = m x + b, also der Funktionsgleichung y = m x + b, heißt lineare Funktion. Ihr Graph G f ist eine Gerade mit der Steigung m

Mehr

Übungsaufgaben zur Linearen Funktion

Übungsaufgaben zur Linearen Funktion Übungsaufgaben zur Linearen Funktion Aufgabe 1 Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden mit den Funktionsgleichungen f 1 (x) = 3x + 7 und f (x) = x 13! Aufgabe Bestimmen Sie den Schnittpunkt der

Mehr

FUNKTIONEN. ein Leitprogramm für die Berufsmaturität

FUNKTIONEN. ein Leitprogramm für die Berufsmaturität FUNKTIONEN ein Leitprogramm für die Berufsmaturität von Johann Berger 2000 Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 Arbeitsanleitung 3 1 Der Funktionsbegriff 3 2 Lineare 6 3 Quadratische 10 EINLEITUNG Dieses Leitprogramm

Mehr

Lineare Funktionen. Klasse 8 Aufgabenblatt für Lineare Funktionen Datum: Donnerstag,

Lineare Funktionen. Klasse 8 Aufgabenblatt für Lineare Funktionen Datum: Donnerstag, Lineare Funktionen Aufgabe 1: Welche der folgenden Abbildungen stellen eine Funktion dar? Welche Abbildungen stellen eine lineare Funktion dar? Ermittle für die linearen Funktionen eine Funktionsgleichung.

Mehr

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Anna Heynkes 4.11.2005, Aachen Enthält eine Gleichung mehr als eine Variable, dann gibt es unendlich viele mögliche Lösungen und jede Lösung besteht aus so

Mehr

Geraden. Somit scheiden die Gerade im Punkt N(-b/m; 0) die x-achse.

Geraden. Somit scheiden die Gerade im Punkt N(-b/m; 0) die x-achse. Geraden Eine Gerade wird durch eine Gleichung der Form y = mÿx + b bzw. f(x) = mÿx + b beschrieben. Die Schreibweise f(x) = wird teils erst in der Oberstufe verwendet. b ist der y- Achsenabschnitt, d.h.

Mehr

Einführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten

Einführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten Einführung Zusammenhänge zwischen Größen wie Temperatur, Geschwindigkeit, Lautstärke, Fahrstrecke, Preis, Einkommen, Steuer etc. werden mit beschrieben. Eine Zuordnung f, die jedem x A genau ein y B zuweist,

Mehr

Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner. 17. Oktober Technische Universität München. Die abc-formel. W. Kinzner. Problemstellung.

Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner. 17. Oktober Technische Universität München. Die abc-formel. W. Kinzner. Problemstellung. Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner Technische Universität München 17. Oktober 2013 1 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 2 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 2 2 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 2 3 2 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 2

Mehr

Lernkontrolle Relationen, Funktionen, lineare Funktionen

Lernkontrolle Relationen, Funktionen, lineare Funktionen Lernkontrolle Relationen, Funktionen, lineare Funktionen A 1) Im folgenden Diagramm bedeuten A, B, C, D jeweils die Kinder einer Familie; die Pfeile drücken die Relation "hat als Schwester" aus. a) Wie

Mehr

Quadratische Funktion

Quadratische Funktion Quadratische Funktion sind Funktionen die nur eine Variable enthalten, deren Exponent 2 ist und keine Variable die einen Exponenten enthält, der größer ist als 2. Zum Beispiel die quadratische Funktion

Mehr

f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1

f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1 III. Funktionen und Gleichungen ================================================================== 3.1. Lineare Funktionen Eine Funktion mit der Zuordnungvorschrift f : x y = mx + t und m, t R heißt lineare

Mehr

Parabeln - quadratische Funktionen

Parabeln - quadratische Funktionen Parabeln - quadratische Funktionen Roland Heynkes 9.11.005, Aachen Das Gleichsetzungsverfahren und die davon abgeleiteten Einsetzungs- und Additionsverfahren kennen wir als Methoden zur Lösung linearer

Mehr

Über die Bedeutung der zwei Zahlen m und x 1 für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert.

Über die Bedeutung der zwei Zahlen m und x 1 für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert. Lineare Funktionen - Term - Grundwissen Woran erkennt man, ob ein Funktionsterm zu einer Linearen Funktion gehört? oder Wie kann der Funktionsterm einer Linearen Funktion aussehen? Der Funktionsterm einer

Mehr

1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt

1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt Version vom 4. Januar 2007 Gleichungen von Geraden in der Ebene 1999 Peter Senn * 1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt In dieser Form lautet die Gleichung der Geraden wie folgt: g:

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik

Vorbereitungskurs Mathematik Vorbereitungskurs Mathematik Grundlagen für das Unterrichtsfach Mathematik für die Fachhochschulreifeprüfung Zweijährige Höhere Berufsfachschule Berufsoberschule I Duale Berufsoberschule Inhalt 0. Vorwort...

Mehr

Tipps und Tricks für die Abschlussprüfung

Tipps und Tricks für die Abschlussprüfung Tipps und Tricks für die Abschlussprüfung Rechentipps und Lösungsstrategien mit Beispielen zu allen Prüfungsthemen Mathematik Baden-Württemberg Mathematik-Verlag Vorwort: Sehr geehrte Schülerinnen und

Mehr

Grundwissen Mathematik Klasse 8

Grundwissen Mathematik Klasse 8 Grundwissen Mathematik Klasse 8 1. Funktionen allgemein (Mathehelfer 2: S.47) Erstellen einer Wertetabelle bei gegebener Funktionsgleichung Zeichnen des Funktionsgraphen Ablesen von Wertepaaren ( x / f(x)

Mehr

Lineare Funktionen. 6. Zeichne die zu den Funktionen gehörenden Graphen in ein Koordinatensystem und berechne ihren gemeinsamen Schnittpunkt.

Lineare Funktionen. 6. Zeichne die zu den Funktionen gehörenden Graphen in ein Koordinatensystem und berechne ihren gemeinsamen Schnittpunkt. FrauOelschlägel Mathematik8 Lineare Funktionen Ü Datum 1. Die Punkte A 0 4 und liegen auf der Geraden h. und Q8,5,5 B10 0 liegen auf der Geraden g, die Punkte P 0,5 11 Bestimme durch Rechnung die Funktionsgleichungen

Mehr

Aufgabensammlung zum Üben Blatt 1

Aufgabensammlung zum Üben Blatt 1 Aufgabensammlung zum Üben Blatt 1 Seite 1 Lineare Funktionen ohne Parameter: 1. Die Gerade g ist durch die Punkte A ( 3 4 ) und B( 2 1 ) festgelegt, die Gerade h durch die Punkte C ( 5 3 ) und D ( -2-2

Mehr

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften W. Kippels 10. April 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 1.1 Prinzipielle Vorgehensweise.......................... 2 1.2 Lösungsrezepte................................

Mehr

Download. Hausaufgaben: Lineare Funktionen und Gleichungen. Üben in drei Differenzierungsstufen. Otto Mayr. Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Download. Hausaufgaben: Lineare Funktionen und Gleichungen. Üben in drei Differenzierungsstufen. Otto Mayr. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Download Otto Mar Hausaufgaben: Lineare Funktionen und Gleichungen Üben in drei Differenzierungsstufen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Hausaufgaben: Lineare Funktionen und Gleichungen Üben in drei

Mehr

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl

Mehr

1 Analysis Kurvendiskussion

1 Analysis Kurvendiskussion 1 Analysis Kurvendiskussion 1.1 Allgemeingültige Betrachtungen Die folgenden aufgezeigten Betrachtungen und Rechenschritte gelten für alle Arten von Funktionen. Funktion (z.b. Polynom n-ten Grades) Schreibweise

Mehr

Eigentlich löst man n Gleichungen mit n Unbekannten (die. normalerweise eindeutig lösbar sind) am besten mit Hilfe der

Eigentlich löst man n Gleichungen mit n Unbekannten (die. normalerweise eindeutig lösbar sind) am besten mit Hilfe der Eigentlich löst man n Gleichungen mit n Unbekannten (die normalerweise eindeutig lösbar sind) am besten mit Hilfe der Determinantenmethode (die aber in den Schulen nicht mehr gelernt wird) bzw. am allerschnellsten

Mehr

Die berufsbildenden Schulen im Land Bremen. Handelsschule. Mathematik. Rahmenplan. Freie Hansestadt Bremen. Die Senatorin für Bildung und Wissenschaft

Die berufsbildenden Schulen im Land Bremen. Handelsschule. Mathematik. Rahmenplan. Freie Hansestadt Bremen. Die Senatorin für Bildung und Wissenschaft Die berufsbildenden Schulen im Land Bremen Handelsschule Mathematik Rahmenplan Die Senatorin für Bildung und Wissenschaft Freie Hansestadt Bremen 2 Handelsschule Rahmenplan Mathematik Herausgegeben von

Mehr

4.1. Aufgaben zu linearen Funktionen

4.1. Aufgaben zu linearen Funktionen .. Aufgaben zu linearen Funktionen Aufgabe : Koordinatensystem a) Gib die Koordinaten der Punkte P - P 8 in dem rechts abgebildeten Koordinatensystem an. b) Markiere die Punkte A( ); B( ); C( ); D( );

Mehr

1.1 Direkte Proportionalität

1.1 Direkte Proportionalität Beziehungen zwischen Größen. Direkte Proportionalität Bei einer direkten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen,...wert der einen Größe x der doppelte, dreifache,... Wert der anderen Größe y zugeordnet.

Mehr

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2 Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4

Mehr

Übungsaufgaben Analysis hilfsmittelfrei

Übungsaufgaben Analysis hilfsmittelfrei Übungsaufgaben Analysis hilfsmittelfrei Aufgabe 1 Der Graph der Funktion f (x) = 0,5x3+ 1,5x2+ 4,5x 3,5 hat im Punkt T( 1 6) einen relativen (lokalen) Tiefpunkt und im Punkt H(3 10) einen relativen (lokalen)

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

Basistext Funktionen. Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus einer Definitionsmenge D f genau ein Wert y zu.

Basistext Funktionen. Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus einer Definitionsmenge D f genau ein Wert y zu. Basistext Funktionen Definition Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus einer Definitionsmenge D f genau ein Wert y zu. Man schreibt: f: x -> y mit y = f(x) Die Wertemenge einer Funktion f besteht aus

Mehr

Üben. Lineare Funktionen. Lösung. Lineare Funktionen

Üben. Lineare Funktionen. Lösung. Lineare Funktionen Zeichne die drei Graphen jeweils in dasselbe Koordinatensstem und beschreibe, worin sich die Graphen jeweils gleichen und worin sie sich unterscheiden. a) b) f : x x f : x x f f f : x : x : x x x x 0,

Mehr

Einführungsphase Mathematik. Thema: Quadratische Funktionen. quadratische Gleichungen

Einführungsphase Mathematik. Thema: Quadratische Funktionen. quadratische Gleichungen Thema: Quadratische Funktionen quadratische Gleichungen Normalform einer linearen Funktion Normalform einer quadratischen Funktion Handelt es sich um quadratische Funktionen??? Ja, denn a = 3, b = 0, c

Mehr

Kurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung

Kurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung Kurvendiskussion Gesetzmäßigkeiten Lineare Funktionen Funktionsgleichung y = mx + c m: Steigung c: y-achsenabschnitt (Funktionswert für y, bei dem der Graph die y-achse schneidet Beispiel : y = x 3 mit

Mehr

Zusammengesetzte Übungsaufgaben lineare Funktionen

Zusammengesetzte Übungsaufgaben lineare Funktionen Zusammengesetzte Übungsaufgaben lineare Funktionen Nr Aufgabe Lösung 1 Gegeben ist die Funktion g mit g ( x ) = 3 x + 9 a) Geben Sie die Steigung und den y- Achsenabschnitt an. (Begründung) c) Bestimmen

Mehr

Analytische Geometrie I

Analytische Geometrie I Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend

Mehr

MATHEMATIK G10. (1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte

MATHEMATIK G10. (1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte (c) A( 1 1 ) geht. 1 MATHEMATIK G10 GERADEN (1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte P und Q: a) P ( 5), Q(4 7) b) P (3 11), Q(3, 1) c) P (3 5), Q( 1 7) d) P ( 0), Q(0 3) e) P (3

Mehr

a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) =

a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) = 50 Kapitel 2: Rationale Funktionen und ihre Anwendungen 2.2.5 Orthogonale Geraden Geraden, die senkrecht aufeinander stehen, werden als zueinander orthogonale Geraden bezeichnet. Der Graph von g entsteht

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 6. Semester ARBEITSBLATT 5. Kurvendiskussion

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 6. Semester ARBEITSBLATT 5. Kurvendiskussion ARBEITSBLATT 5 Kurvendiskussion Die mathematische Untersuchung des Graphen einer Funktion heißt Kurvendiskussion. Die Differentialrechnung liefert dabei wichtige Dienste. Intuitive Erfassung der Begriffe

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Quadratische Funktionen Das kennen wir bereits aus dem vergangenen Unterricht: Funktionen, deren Graph eine Gerade darstellen, nennen wir lineare Funktionen. Sie haben die allgemeine Form: y = mx + b Detlef

Mehr

1. Gegeben sind die Scheitelpunkte von Parabeln. Gib die Funktionsgleichungen an. a) S(-3/5) b) S(-1/-8) c) S(1/-0,5) d) S(0,5/0,2)

1. Gegeben sind die Scheitelpunkte von Parabeln. Gib die Funktionsgleichungen an. a) S(-3/5) b) S(-1/-8) c) S(1/-0,5) d) S(0,5/0,2) Vermischte Übungen (1) Verschiebung der Normalparabel 1. Gegeben sind die Scheitelpunkte von Parabeln. Gib die Funktionsgleichungen an. a) S(-3/5) b) S(-1/-8) c) S(1/-0,5) d) S(0,5/0,). In der Abbildung

Mehr

Mathematik Einführungsphase. Plenum Lineare Funktionen. Lineare Funktionen. Eine kurze Wiederholung

Mathematik Einführungsphase. Plenum Lineare Funktionen. Lineare Funktionen. Eine kurze Wiederholung Lineare Funktionen Eine kurze Wiederholung Mathematik Einführungsphase Eine lineare Funktion ist zunächst einmal eine Funktion, d.h. eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem x-wert aus einem Definitionsbereich

Mehr

7 Aufgaben im Dokument. Aufgabe P5/2010

7 Aufgaben im Dokument. Aufgabe P5/2010 Aufgabe P5/2010 7 Aufgaben im Dokument Die nach unten geöffnete Parabel hat die Gleichung 5. Zeichnen Sie die Parabel in ein Koordinatensystem. Die Gerade hat die Steigung und schneidet die -Achse im Punkt

Mehr

Mathematik Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf die 3. Klausur Lösung. 1. Formen Sie die Scheitel(punkt)form der quadratischen Funktion

Mathematik Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf die 3. Klausur Lösung. 1. Formen Sie die Scheitel(punkt)form der quadratischen Funktion Datum:.0.0 Thema: Quadratische Funktionen. Formen Sie die Scheitel(punkt)form der quadratischen Funktion f mit f(x) = ( x ) + in die Polynomdarstellung um und bestimmen Sie die Nullstellen und den Schnittpunkt

Mehr

1. Funktionen. 1.3 Steigung von Funktionsgraphen

1. Funktionen. 1.3 Steigung von Funktionsgraphen Klasse 8 Algebra.3 Steigung von Funktionsgraphen. Funktionen y Ist jedem Element einer Menge A genau ein E- lement einer Menge B zugeordnet, so nennt man die Zuordnung eindeutig. 3 5 6 8 Dies ist eine

Mehr

QUADRATISCHE UND KUBISCHE FUNKTION

QUADRATISCHE UND KUBISCHE FUNKTION QUADRATISCHE UND KUBISCHE FUNKTION Quadratische Funktion 1. Bedeutung der Parameter Als quadratische Funktionen werde alle Funktionen bezeichnet, die die Form y = a*x² + b*x + c aufweisen, also alle, bei

Mehr

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002 Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von

Mehr

Übungsaufgaben zum Aufstellen von ganzrationalen Funktionsgleichungen

Übungsaufgaben zum Aufstellen von ganzrationalen Funktionsgleichungen Übungsaufgaben zum Aufstellen von ganzrationalen Funktionsgleichungen Aufgabe : Eine zum Ursprung symmetrische ganzrationale Funktion.Ordnung hat im Ursprung die Tangente mit der Gleichung y = 7x und in

Mehr

Mathematik für das Ingenieurstudium

Mathematik für das Ingenieurstudium Mathematik für das Ingenieurstudium von Martin Stämpfle, Jürgen Koch 2., aktual. Aufl. Hanser München 2012 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 446 43232 1 Zu Inhaltsverzeichnis schnell

Mehr

Lineare Funktion Aufgaben und Lösungen

Lineare Funktion Aufgaben und Lösungen Lineare Funktion Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch. November 0 Inhaltsverzeichnis Ursprungsgerade. y = m x...................................................... Aufgaben.................................................

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung II

Differenzial- und Integralrechnung II Differenzial- und Integralrechnung II Rainer Hauser Dezember 011 1 Einleitung 1.1 Ableitung Die Ableitung einer Funktion f: R R, x f(x) ist definiert als f (x) = df(x) dx = d f(x + h) f(x) f(x) = lim dx

Mehr

1 Koordinatensystem. Grundlagen der Funktionentheorie Lineare Funktionen. Schuljahr 2016/2017. Inhalt

1 Koordinatensystem. Grundlagen der Funktionentheorie Lineare Funktionen. Schuljahr 2016/2017. Inhalt Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt - Schuljahr 06/07 Kurs: Mathematik AHR Kurslehrer: Langenbach Grundlagen der Funktionentheorie

Mehr

Beispielaufgabe zur Untersuchung ganzrationaler Funktionen

Beispielaufgabe zur Untersuchung ganzrationaler Funktionen Beispielaufgabe zur Untersuchung ganzrationaler Funktionen 3 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung: f ( x ) = x,75 x + 6 x. 3 Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f '. f (x)'(

Mehr

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der

Mehr

QUADRATISCHE FUNKTIONEN (Funktionen des 2 e Grades)

QUADRATISCHE FUNKTIONEN (Funktionen des 2 e Grades) QUADRATISCHE FUNKTIONEN (Funktionen des 2 e Grades) I. Einführung: Allgemeine Funktionsgleichung: y = ax 2 + px + q Aufgabe 2 1 (Westermann EK, S.14) II. Terminologie: a.) Abhängige Variable (erklärte

Mehr

2. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner

2. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner . Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner Arbeitszeit: 50 Minuten Lernstoff: Mathematische Grundkompetenzen: AG1.1 Wissen über die Zahlenmengen,,, verständig einsetzen können

Mehr

GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard GRUNDWISSEN MATHEMATIK 8 Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E S - N E P

Mehr

Lösen einer Gleichung

Lösen einer Gleichung Zum Lösen von Gleichungen benötigen wir: mindestens einen Term eine Definition der in Frage kommenden Lösungen (Grundmenge) Die Grundmenge G enthält all jene Zahlen, die als Lösung für eine Gleichung in

Mehr

Lineare Funktionen Geraden zeichnen Lage von Geraden Geradengleichung aufstellen

Lineare Funktionen Geraden zeichnen Lage von Geraden Geradengleichung aufstellen Geradengleichungen und lineare Funktionen Lese- und Lerntext für Anfänger Lineare Funktionen Geraden zeichnen Lage von Geraden Geradengleichung aufstellen Geraden schneiden Auch über lineare Gleichungssystem

Mehr

M_G7 EF Pvn Klausurvorbereitung: Lösungen 13. Oktober Klausurvorbereitung. Lösungen

M_G7 EF Pvn Klausurvorbereitung: Lösungen 13. Oktober Klausurvorbereitung. Lösungen Klausurvorbereitung Lösungen I. Funktionen Funktionen und ihre Eigenschaften S. 14 Aufg. 2 f(-2)=0,5 f(0,1)=-10 f(78)= 1 78 g(-2)=-7 g(0,1)=-2,8 g(78)=153 h(-2)=57 h(0,1)=23,82 h(78)=11257 D f = R/{0}

Mehr

Exemplar für Prüfer/innen

Exemplar für Prüfer/innen Exemplar für Prüfer/innen Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Juni 2016 Mathematik Kompensationsprüfung 3 Angabe für Prüfer/innen Hinweise zur

Mehr

1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel:

1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel: 1. Zahlenmengen Wissensgrundlage Aufgabenbeispiele Gib die jeweils kleinstmögliche Zahlenmenge an, welche die Zahl enthält? R Q Q oder All diejenigen Zahlen, die sich nicht mehr durch Brüche darstellen

Mehr

Fit für die MSS? Wiederholungsaufgaben aus Klasse 8-10

Fit für die MSS? Wiederholungsaufgaben aus Klasse 8-10 Fit für die MSS? Wiederholungsaufgaben aus Klasse 8-0 Aufgaben Richtig Themengebiet : Terme /. Vereinfache: (9x ) + 3x xy + x ( 3xy) (x + 3) (x ) + (x + 3)² abc 5x 0 3yx x +. Kürze: a) b) c) d) 5a² b 5

Mehr

Als Untersuchungsbeispiel diene die Funktion: f(x) = x 6x + 5

Als Untersuchungsbeispiel diene die Funktion: f(x) = x 6x + 5 R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 07..009 Achsenschnittpunkte quadratischer Funktionen y P y ( 0 y ) s P ( 0) S y s f() P ( 0) s Bei der Betrachtung des Graphen in nebenstehender Abbildung fallen

Mehr

Mathematik im Berufskolleg I

Mathematik im Berufskolleg I 1 Bohner Ott Deusch Mathematik im Berufskolleg I Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab 6. Auflage 2016 ISBN 978-3-8120-0234-9 Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt.

Mehr

WM.3.1 Die Polynomfunktion 1. Grades

WM.3.1 Die Polynomfunktion 1. Grades WM.3.1 Die Polynomfunktion 1. Grades Wenn zwischen den Elementen zweier Mengen D und W eine eindeutige Zuordnungsvorschrift vorliegt, dann ist damit eine Funktion definiert (s. Abb1.), Abb1. wobei D als

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Exemplar für Prüfer/innen

Exemplar für Prüfer/innen Exemplar für Prüfer/innen Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Juni 2015 Mathematik Kompensationsprüfung Angabe für Prüfer/innen Hinweise zur Kompensationsprüfung

Mehr

Grundwissen Mathematik JS 11

Grundwissen Mathematik JS 11 GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math-naturw u neusprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 957 PEGNITZ FERNRUF 94/48 FAX 94/564 Grundwissen Mathematik JS Was versteht man allgemein unter einer

Mehr

A2.3 Lineare Gleichungssysteme

A2.3 Lineare Gleichungssysteme A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen

Mehr

Die lineare Funktion:

Die lineare Funktion: Die lineare Funktion:. Die allgemeine Form: y=mx+b Sonderfälle: y=b chsenabschnitt b Steigungsdreick m y-änderung sp.: y= - - - - x-änderung x=z - - -. chsenabschnitt b: - x - - sp.: x= Der chsenabschnitt

Mehr

1 Funktionen. 1.1 Definitionen und Bezeichnungen

1 Funktionen. 1.1 Definitionen und Bezeichnungen 1 1 Funktionen 1.1 Definitionen und Bezeichnungen Eine Funktion f ist eine eindeutige Abbildung einer Menge X in eine andere Y. Ist x X, dann ist f(x) y Y das Bild des Elementes x. x heißt das Urbild des

Mehr

Geradengleichung. c Roolfs

Geradengleichung. c Roolfs Geradengleichung a) b) c) d) Welche Beziehung ( =...) besteht zwischen den Koordinaten und der Punkte A( ), die auf der Geraden liegen? Tipp: Betrachte die Gerade unter a) und frage dich, wie sich die

Mehr

Grundwissen. 8. Jahrgangsstufe. Mathematik

Grundwissen. 8. Jahrgangsstufe. Mathematik Grundwissen 8. Jahrgangsstufe Mathematik Grundwissen Mathematik 8. Jahrgangsstufe Seite 1 1 Proportionalität 1.1 Direkte Proportionalität Eigenschaften: y Quotientengleichheit Bei kommt immer das Gleiche

Mehr

Unterlagen für die Lehrkraft Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2011 Mathematik

Unterlagen für die Lehrkraft Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2011 Mathematik ZK M A1 (mit CAS) Seite 1 von 5 Unterlagen für die Lehrkraft Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 011 Mathematik 1. Aufgabenart Analysis. Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe. Materialgrundlage

Mehr

Mathematische Funktionen

Mathematische Funktionen Mathematische Funktionen Viele Schüler können sich unter diesem Phänomen überhaupt nichts vorstellen, und da zusätzlich mit Buchstaben gerechnet wird, erzeugt es eher sogar Horror. Das ist jedoch gar nicht

Mehr

Lösen von linearen Gleichungen und Gleichungssystemen

Lösen von linearen Gleichungen und Gleichungssystemen - 1 - VB 2004 Lösen von linearen Gleichungen und Gleichungssystemen Inhaltsverzeichnis Lösen von linearen Gleichungen und Gleichungssystemen... 1 Inhaltsverzeichnis... 1 Einführung... 2 Lösen einfacher

Mehr

Geradengleichungen. Anna Heynkes. 21.9.2005, Aachen

Geradengleichungen. Anna Heynkes. 21.9.2005, Aachen Geradengleichungen Anna Heynkes 21.9.2005, Aachen Wegen des Überspringens einer Jahrgangsstufe habe ich den Mathematik- Unterricht verpasst, in dem die Geradengleichungen behandelt wurden. Deshalb musste

Mehr

Werratalschule Heringen Gesamtschule mit gymnasialer Oberstufe. Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung

Werratalschule Heringen Gesamtschule mit gymnasialer Oberstufe. Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung Werratalschule Heringen Gesamtschule mit gymnasialer Oberstufe Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung Mathematik Einführungsphase gymnasiale Oberstufe Seite 1 Hinweise zum Umgang mit dem Aufgabenmaterial

Mehr

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften Aufgabe 1 Ein Polynom 3. Grades hat eine Nullstelle bei x 0 = 0 und einen Wendepunkt bei x w = 1. Die Gleichung der Wendetangente lautet

Mehr

2. Schulaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise

2. Schulaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise 2. Schulaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise Gruppe A (a) Allgemein ist eine Geradengleichung in der Form g(x) = m x+b gegeben, wobei m die Steigung der Geraden und b der y-achsenabschnitt, also

Mehr

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse

Mehr

DOWNLOAD. Vertretungsstunden Mathematik Klasse: Lineare Funktionen. Marco Bettner/Erik Dinges. Downloadauszug aus dem Originaltitel:

DOWNLOAD. Vertretungsstunden Mathematik Klasse: Lineare Funktionen. Marco Bettner/Erik Dinges. Downloadauszug aus dem Originaltitel: DOWNLOAD Marco Bettner/Erik Dinges Vertretungsstunden Mathematik 8 8. Klasse: auszug aus dem Originaltitel: Gehört der Punkt zum Funktionsgraph?. Betrachte die Funktion y = x +. Gehört der Punkt P(/5)

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Zuordnungen. 2 x g: y = x + 2 h: y = x 1 4

Zuordnungen. 2 x g: y = x + 2 h: y = x 1 4 Zuordnungen Bei Zuordnungen wird jedem vorgegebenen Wert aus einem Bereich ein Wert aus einem anderen Bereich zugeordnet. Zuordnungen können z.b. durch Wertetabellen, Diagramme oder Rechenvorschriften

Mehr

6 Bestimmung linearer Funktionen

6 Bestimmung linearer Funktionen 1 Bestimmung linearer Funktionen Um die Funktionsvorschrift einer linearen Funktion zu bestimmen, muss man ihre Steigung ermitteln. Dazu sind entweder Punkte gegeben oder man wählt zwei Punkte P 1 ( 1

Mehr

Abitur Mathematik Baden-Württemberg 2012

Abitur Mathematik Baden-Württemberg 2012 Abitur Mathematik: Baden-Württemberg 2012 Im sind keine Hilfsmittel zugelassen. Aufgabe 1 1. SCHRITT: STRUKTUR DER FUNKTION BESCHREIBEN Der Funktionsterm von f ist die Verkettung der Potenzfunktion g(x)

Mehr

KOMPETENZHEFT ZU LINEAREN FUNKTIONEN

KOMPETENZHEFT ZU LINEAREN FUNKTIONEN KOMPETENZHEFT ZU LINEAREN FUNKTIONEN 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Gib die Gleichung der dargestellten Gerade in Normalform an. a) b) Aufgabe 1.2. Ein Skatepark ist ein speziell für Skater/innen eingerichteter

Mehr

Skript Mathematik Klasse 10 Realschule

Skript Mathematik Klasse 10 Realschule Skript Mathematik Klasse 0 Realschule Das vorliegende Skript wurde erstellt durch: Marco Johannes Türk marco.tuerk@googlemail.com Die aktuellste Version dieses Skriptes ist online auf www.marco-tuerk.de

Mehr

Inhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente:

Inhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente: Inhalt: Punkte im Koordinatensstem Funktionen und ihre Schaubilder Punktprobe und Koordinaten berechnen Proportionale Funktionen 5 Steigung und Steigungsdreieck 6 Die Funktion = m + b 7 Funktionsgleichungen

Mehr

Lineare Funktionen. Dirk Sewohl und Carola Willgeroth

Lineare Funktionen. Dirk Sewohl und Carola Willgeroth Dirk Sewohl und Carola Willgeroth Proportionalität vs. Lineare Funktion Arbeitsauftrag: Schaut euch die Aufgaben an und überlegt, welche Station die Proportionalität und welche die lineare Funktion behandelt.

Mehr

Aufgaben. zu Inhalten der 5. Klasse

Aufgaben. zu Inhalten der 5. Klasse Aufgaben zu Inhalten der 5. Klasse Universität Klagenfurt, Institut für Didaktik der Mathematik (AECC-M) September 2010 Zahlbereiche Es gibt Gleichungen, die (1) in Z, nicht aber in N, (2) in Q, nicht

Mehr

R. Brinkmann Seite

R. Brinkmann  Seite R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 9..8 Linearen Funktion Aus der Sekundarstufe I sind Ihnen die Graphen linearer Funktionen als Geraden bekannt und deren Funktionsgleichungen als Geradengleichungen.

Mehr

Aufgabe 2 Tippkarte. Aufgabe 1 Tippkarte. Aufgabe 4 Tippkarte. Aufgabe 3 Tippkarte

Aufgabe 2 Tippkarte. Aufgabe 1 Tippkarte. Aufgabe 4 Tippkarte. Aufgabe 3 Tippkarte Aufgabe 1 Aufgabe 2 Die Funktion f ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Die Summanden sind nicht in der richtigen Reihenfolge und müssen deshalb nach absteigenden x- Potenzen geordnet werden.

Mehr