F u n k t i o n e n Lineare Funktionen

Transkript

1 F u n k t i o n e n Lineare Funktionen Dieses Muster entstand aus der Drehung einer Geraden um einen kleinen Kreis. Dieser kleine Kreis dreht wiederum um einen grösseren Kreis.

2 ADSL Internetanschlüsse Ich habe auf dem Internet folgende Angebote für einen ADSL-Anschluss gefunden: Angebot A: Sie bezahlen für die transportierte Datenmenge. Der Preis beträgt 0.4 Fr. pro MB. Angebot B: Sie bezahlen nur 0.2 Fr pro MB. Zusätzlich müssen sie jedoch eine Grundgebühr von 10 Franken pro Monat bezahlen. Angebot C: Sie bezahlen 50 Franken pro Monat. Die Datenmenge ist gratis. Aufgabe 1: Zeichne den Preis für einen Monat y in Abhängigkeit der Datenmenge x. Aufgabe 2: Welches Angebot ist das günstigste? Aufgabe 3: Stelle für die drei Angebote Funktionsgleichungen auf. Aufgabe 4: Versuche jeweils die Antwort aus der Figur herauszulesen und sie auch zu berechnen. a) Welchen Preis bezahlt man beim Angebot B, wenn man eine Datenmenge von 110 MB herunterladet? b) Wie viel MB kann man für 25 Franken beim Angebot B herunterladen? c) Bei welcher Datenmenge und welchem Preis sind Angebot A und B gleich? d) In einem Internet-Kaffee können sie 100 MB für 35 Franken herunterladen. Entspricht dies einem der Angebote. Ist es günstiger oder teurer als die Angebote A, B und C? Aufgabe 5: Was ist an den Funktionsgleichungen und den Funktionsgrafen der drei Angebote gleich? Findest du eine allgemeine Funktionsgleichung? Funktionen: Lineare Funktionen Seite 2 (November 11)

3 Lineare Funktionen Definition: Eine lineare Funktion hat die Funktionsgleichung Der Funktionsgraf ist eine Spezialfälle: Ist = 0, so handelt es sich um eine Proportionalität mit y = Ist = 0, so handelt es sich um eine konstante Funktion mit y = Aufgabe 6: Zeichne die Grafen dieser Funktionen in das nebenstehende Koordinatensystem. Was fällt dir auf? Markiere die Spezialfälle. y = 0.5x + 1 y = 0.5x 2 y = 0.5x y = 0.5x 1 y = 0.5x + 3 Aufgabe 7: Zeichne die Grafen dieser Funktionen in das nebenstehende Koordinatensystem. Was fällt dir auf? Markiere die Spezialfälle. y = 0.5x + 1 y = x + 1 y = 2x + 1 y = 1.5x + 1 y = 1 Funktionen: Lineare Funktionen Seite 3 (November 11)

4 Merke: Bei einer linearen Funktion f(x) = m x + q ist m die und q der Definition: Die Steigung ist m = Ist m > 0, so ist die Gerade Ist m < 0, so ist die Gerade Ist m = 0, so ist die Funktion Aufgabe 8: Was gehört zusammen (Graf, Gleichung und Tabelle)? a) x ) Gleichung y = x y b) x ) Gleichung y = 2 / 5 x + 2 y c) x ) Gleichung y = 1 / 3 x 1 y 5 / / 3 2 / 3 7 / 3 d) x ) Gleichung y = 2.5 y e) x ) Gleichung x = 2 y f) x ) Gleichung y = 3 / 4 x + 4 y Aufgabe 9: Zeichne folgende Funktionen in das Koordinatensystem ein. Die notwendigen Zahlen kannst du ohne zu rechnen der Funktionsgleichung ablesen. a) f(x) = 3x 1 b) f(x) = 1 / 3 x 1 Funktionen: Lineare Funktionen Seite 4 (November 11)

5 c) f(x) = 3x 1 d) f(x) = 1 / 3 x 1 e) f(x) = 2x + 3 f) f(x) = ½x + 3 g) f(x) = ¾x h) f(x) = ¾x + 2 i) f(x) = 1.5x + 1 j) f(x) = 2.25x + 4 Funktionen: Lineare Funktionen Seite 5 (November 11)

6 Aufgabe 10: Gib für jede Gerade die Funktionsgleichung an. Du kannst die nötigen Zahlen direkt in der Figur ablesen. Aufgabe 11: Gegeben ist eine Gerade mit der Funktionsgleichung y = 60x a) Bestimme die fehlenden Koordinaten so, dass die Punkte auf dem Grafen der Funktion liegen: A(1?), B( 0.5?), C(0?), D(? 0), E(? 20). b) Liegen die Punkte F(5 120), G( 1 30), H( 2 95), I(2 150) auf dem Grafen? Aufgabe 12: Gegeben ist die Funktion f(x)= 3x 4. a) Berechne den Schnittpunkt des Grafen mit der y-achse. b) Berechne die Nullstelle. c) Gegeben ist eine andere Funktion g(x)= x 12. In welchen Punkt schneiden sich die beiden Funktionen f(x) und g(x)? d) Befindet sich der Punkt P(6 6) auf dem Funktionsgrafen von f oder von g? e) Überprüfe deine Resultate, indem Du die Grafen und die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnest. Aufgabe 13: Gegeben ist die lineare Funktion f(x) = 5 / 6 x a) Wo schneidet die Funktion die y-achse (y-achsenabschnitt)? b) Wo schneidet der Funktionsgraf die x-achse (Nullstelle)? c) Liegt der Punkt P(60 67) auf dem Graf? Merke: Der Schnittpunkt einer Funktion f(x) mit der x-achse heisst, wobei gilt f(x) =. Der Schnittpunkt einer Funktion f(x) mit der y-achse heisst, wobei gilt x =. Aufgabe 14: Eine Gerade geht durch den Punkt P(2 6) und hat den y-achsenabschnitt 2. Bestimme ihre Funktionsgleichung. Aufgabe 15: Der Graf der linearen Funktion f hat die Steigung 2 und verläuft durch den Punkt P(2 6). Wie lautet die Funktionsgleichung? Aufgabe 16: Für die lineare Funktion f(x) = 2 x + q gilt f( 6) = 0. Berechne q und f(12). 3 Aufgabe 17: Für die lineare Funktion f(x) = m x + 4 gilt f(2.5) = 9. Berechne m und f( 5). Funktionen: Lineare Funktionen Seite 6 (November 11)

7 Aufgabe 18: Vom Grafen einer linearen Funktion kennt man zwei Punkte A und B. Wie lautet die Funktionsgleichung? a) A(0 0), B(1 2) b) A(0 3), B(1 5) c) A(0 3), B( 3 0) d) A( 1 7), B(4 7) Aufgabe 19: Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden mit den Gleichungen y = 2x 4 und y = x Aufgabe 20: Gegeben sind zwei Funktionen f(x)= x+2 und g(x)= 5 / 3 x. Berechne deren Schnittpunkt. Merke: Die Schnittstelle zweier Funktionen f(x) und g(x) wird bestimmt, indem dem wir die Gleichung lösen. Aufgabe 21: Gegeben ist eine Gerade y = ½x 3. Skizzen helfen beim Überlegen. a) Spiegle die Gerade an der y-achse. Gib die Funktionsgleichung dieser Geraden an. b) Spiegle die Gerade an der x-achse. Gib die Funktionsgleichung dieser Geraden an. Aufgabe 22: Gegeben ist eine Gerade y = 2 x durch den Ursprung des Koordinatensystems. a) Gib die Funktionsgleichung der Geraden, die senkrecht auf der Geraden y = 2 x steht und ebenfalls durch den Mittelpunkt des Koordinatensystems geht. b) Beantworte dieselben Fragen für eine Gerade, deren Steigung nicht den Wert 2, sondern den allgemeinen Wert m hat. Wir suchen also die Senkrechte auf y = m x. Aufgabe 23: Gegeben ist die Gerade y = x + 1. a) Spiegle die Gerade an der y-achse und gib die Funktionsgleichung dieser Geraden an. b) Spiegle die Gerade an der x-achse und gib die Funktionsgleichung dieser Geraden an. Aufgabe 24: Gegeben ist die Gerade y = 3 / 2 x + 1. a) Spiegle die Gerade an der y-achse und gib die Funktionsgleichung dieser Geraden an. b) Spiegle die Gerade an der x-achse und gib die Funktionsgleichung dieser Geraden an. c) Auf der Geraden y = 3 / 2 x + 1 wird im Schnittpunkt mit der y-achse eine Senkrechte gelegt. Gib deren Funktionsgleichung an. Merke: Wird die Gerade f(x) = m x + q gespiegelt, so hat die gespiegelte Gerade die Gleichung für die Spieglung an der x-achse. für die Spieglung an der y-achse. Merke: Die Gerade g, die zur Geraden f(x) = m x + 1 senkrecht steht, hat die Steigung Aufgabe 25: Löse die vorhergehende Aufgabe für die Gerade y = 2x 3. Funktionen: Lineare Funktionen Seite 7 (November 11)

8 Aufgabe 26: Elektrischer Strom kann von zwei verschiedenen Firmen bezogen werden. Firma A: 30 Fr. jährliche Grundgebühr, zusätzlich 0.10 Fr. pro kwh Firma B: 10 Fr. jährliche Grundgebühr, zusätzlich Fr. pro kwh. a) Gib für jede Firma die Gleichung der Funktion, mit der der Preis p aus der Energie e berechnet wird an. b) Wie viel bezahlen sie für kwh bei den beiden Firmen? c) Wie viel Energie können sie für 100 Fr. bei den beiden Firmen beziehen? d) Für welchen Energieverbrauch liefert die Firma A billiger als die Firma B? Aufgabe 27: In einer schriftlichen Mathematikprüfung gibt die Lehrerin für 0 Punkte die Note 1 und für die maximale Punktzahl (25 Punkte) die Note 6. a) Gib die Gleichung der linearen Funktion an, die die Note n aus der Punktzahl p berechnet. b) Welche Note erhält ein Schüler mit 18.5 Punkten? c) Welche Punktzahl muss für eine genügende Note (4.0) mindestens erreicht werden? Aufgabe 28: In Tropfsteinhöhlen bilden sich durch kalkhaltiges Wasser hängende Tropfsteine, Stalaktiten, und vom Boden aufsteigende Tropfsteine, Stalagmiten. In 5'000 Jahren wächst ein Stalagmit 20 cm, ein Stalaktit in 10'000 Jahren 60 cm. Die Höhle ist 4m hoch. Der Stalagmit liegt genau unter dem Stalaktiten. Das Wachstum erfolgt linear. a) Gib die Funktionsgleichungen für das Wachstum der beiden Tropfsteine an. Die Funktion soll die Höhe h der Spitze des Tropfsteins über dem Boden in Zentimeter in Abhängigkeit der Zeit t in Jahren angeben. b) Nach wie vielen Jahren bilden zwei Tropfsteine eine zusammenhängende Säule? c) Wie weit sind die beiden Tropfsteine nach Jahren voneinander entfernt? d) Wie lange geht es, bis ein Tropfstein von der Decke bis zum Boden gewachsen ist, wenn ihm kein Stalagmit entgegen wächst? Aufgabe 29: Die Temperatur kann in Grad Celsius, Grad Fahrenheit und in Kelvin angegeben erden. Die beiden Fixpunkte für die Celsius-Skala ist der Gefrierpunkt ist (0 C = K = 32 F) und der Siedepunkt (100 C = K = 212 F) von Wasser. Dazwischen ist die Skala von Andres Celsius linear aufgeteilt. a) Wie lautet die Funktionsgleichung für die Bestimmung der Temperatur T in Kelvin, wenn die Temperatur ϑ C in Grad Celsius bekannt ist? b) Wie lautet die Funktionsgleichung für die Bestimmung der Temperatur T in Grad Fahrenheit ϑ F, wenn die Temperatur in Grad Celsius ϑ C bekannt ist? Funktionen: Lineare Funktionen Seite 8 (November 11)

9 Aufgabe 30: Ein leerer Benzinkanister mit Fassungsvermögen 20 Liter wiegt 1.6 kg. 1 Liter Benzin hat eine Masse von 0.7 kg. a) Gib die Funktion an, die die Masse m in Abhängigkeit der Benzinmenge V beschreibt. b) Wie schwer ist ein gefüllter Kanister? c) Wie viel Benzin befindet sich im Kanister, wenn er auf der Waage 10 kg anzeigt? Aufgabe 31: Zwei Fussgängerinnen befinden sich in 3.2 km Entfernung. Zur Zeit t = 0 starten beide und gehen einander entgegen. Die erste geht mit der Geschwindigkeit 4.5 km / h, die zweite mit der Geschwindigkeit 3.5 km / h. Wann und wo treffen sie sich? Stelle zuerst die Funktionsgleichungen auf, die den Zusammenhang zwischen Weg und Zeit beschreiben. Funktionen: Lineare Funktionen Seite 9 (November 11)