Lineare Gleichungsen + Lineare Funktionen
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- Kora Heidrich
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1 29. Mai 2006
2 Gliederung 1 2
3 Anmerkungen Bitte nummeriert die Zeilen! Bitte benutzt eine Büroklammer! Bitte nicht abschreiben!
4 Anmerkungen Bitte nummeriert die Zeilen! Bitte benutzt eine Büroklammer! Bitte nicht abschreiben!
5 Anmerkungen Bitte nummeriert die Zeilen! Bitte benutzt eine Büroklammer! Bitte nicht abschreiben!
6 Fragen über Fragen Ist die Gleichung 5x + 7y 8yz = 16 linear? Ist x = 3, y = 2, z = 1 eine Lösung von x + 2y 3z = 4? Wie ist allgemein eine Lösung von a 1 x a n x n = b definiert? Falls gilt 0x 1 + 0x x n = b mit b 0. Wieviele Lösungen gibt es? Was ist mit b = 0?
7 Fragen über Fragen Ist die Gleichung 5x + 7y 8yz = 16 linear? Ist x = 3, y = 2, z = 1 eine Lösung von x + 2y 3z = 4? Wie ist allgemein eine Lösung von a 1 x a n x n = b definiert? Falls gilt 0x 1 + 0x x n = b mit b 0. Wieviele Lösungen gibt es? Was ist mit b = 0?
8 Fragen über Fragen Ist die Gleichung 5x + 7y 8yz = 16 linear? Ist x = 3, y = 2, z = 1 eine Lösung von x + 2y 3z = 4? Wie ist allgemein eine Lösung von a 1 x a n x n = b definiert? Falls gilt 0x 1 + 0x x n = b mit b 0. Wieviele Lösungen gibt es? Was ist mit b = 0?
9 Fragen über Fragen Ist die Gleichung 5x + 7y 8yz = 16 linear? Ist x = 3, y = 2, z = 1 eine Lösung von x + 2y 3z = 4? Wie ist allgemein eine Lösung von a 1 x a n x n = b definiert? Falls gilt 0x 1 + 0x x n = b mit b 0. Wieviele Lösungen gibt es? Was ist mit b = 0?
10 Fragen Wie sieht allgemein die Zeilenstufenform einer Matrix aus? Die Zeilenstufenform wird gegeben durch Was ist der Vorteil dieser Zeilenstufen Form?
11 Fragen Wie sieht allgemein die Zeilenstufenform einer Matrix aus? Die Zeilenstufenform wird gegeben durch Was ist der Vorteil dieser Zeilenstufen Form?
12 Fragen Wie sieht allgemein die Zeilenstufenform einer Matrix aus? Die Zeilenstufenform wird gegeben durch Was ist der Vorteil dieser Zeilenstufen Form?
13 Aufgabe Aufgabe Sei das Problem in der Form x = gegeben. Wie lautet die Lösung x = (x 1, x 2, x 3 )? 0 3 6
14 Lösung Aus 2x 3 = 6 folgt x 3 = 2. Setze x 3 in die zweite Zeile ein, dann erhält man Also gilt x 2 = 0. 2x = 3. Die Werte x 2 und x 3 in die erste Zeile einsetzten, dann erhält man 2x = 0 und es gilt x 1 = 9 2.
15 Lösung Aus 2x 3 = 6 folgt x 3 = 2. Setze x 3 in die zweite Zeile ein, dann erhält man Also gilt x 2 = 0. 2x = 3. Die Werte x 2 und x 3 in die erste Zeile einsetzten, dann erhält man 2x = 0 und es gilt x 1 = 9 2.
16 Lösung Aus 2x 3 = 6 folgt x 3 = 2. Setze x 3 in die zweite Zeile ein, dann erhält man Also gilt x 2 = 0. 2x = 3. Die Werte x 2 und x 3 in die erste Zeile einsetzten, dann erhält man 2x = 0 und es gilt x 1 = 9 2.
17 Aufgabe Aufgabe Bring das Problem x 1 + 2x 3 + 5x 5 = 5 2x 1 + 3x 4 + 5x 2 = 0 3x 4 + 5x 2 = 1 in die Matrizenschreibweise.
18 Lösung Die Matrix hat die Form x =
19 Aufgabe Aufgabe Bring die Matrix in Zeilenstufen Form x =
20 Lösung Eine Möglichkeit wäre xneu = wobei x 1neu = x 3alt, x 2neu = x 5alt, x 3neu = x 1alt, x 4neu = x 4alt, und x 5neu = x 3alt ,
21 Aufgabe Aufgabe Sei ad bc 0 und betrachte die linearen Gleichungen L 1 : ax + by = e L 2 : cx + dy = f. Zeige, dass die einzige Lösung x = (de bf ) (ad bc) und y = (af ce) (ad bc) ist.
22 Lösung Beweis: Multipliziere L 1 mit d und L 2 mit b. Dann erhalten wir adx + bdy = de bcx bdy = bf. Addiere die beiden Gleichungen, dann gilt Da ad bc gilt adx bcx = de bf. x = de bf ad bc als eindeutige Lösung. Setzten wir x in L 1 ein, erhalten wir y = (af ce) (ad bc).
23 Lösung Beweis: Multipliziere L 1 mit d und L 2 mit b. Dann erhalten wir adx + bdy = de bcx bdy = bf. Addiere die beiden Gleichungen, dann gilt Da ad bc gilt adx bcx = de bf. x = de bf ad bc als eindeutige Lösung. Setzten wir x in L 1 ein, erhalten wir y = (af ce) (ad bc).
24 Lösung Beweis: Multipliziere L 1 mit d und L 2 mit b. Dann erhalten wir adx + bdy = de bcx bdy = bf. Addiere die beiden Gleichungen, dann gilt Da ad bc gilt adx bcx = de bf. x = de bf ad bc als eindeutige Lösung. Setzten wir x in L 1 ein, erhalten wir y = (af ce) (ad bc).
25 Lösung Beweis: Multipliziere L 1 mit d und L 2 mit b. Dann erhalten wir adx + bdy = de bcx bdy = bf. Addiere die beiden Gleichungen, dann gilt Da ad bc gilt adx bcx = de bf. x = de bf ad bc als eindeutige Lösung. Setzten wir x in L 1 ein, erhalten wir y = (af ce) (ad bc).
26 Lösung Beweis: Multipliziere L 1 mit d und L 2 mit b. Dann erhalten wir adx + bdy = de bcx bdy = bf. Addiere die beiden Gleichungen, dann gilt Da ad bc gilt adx bcx = de bf. x = de bf ad bc als eindeutige Lösung. Setzten wir x in L 1 ein, erhalten wir y = (af ce) (ad bc).
27 Fragen über Fragen Wie ist eine Lineare Abbildung definiert? Eine Abbildung F : V W zwischen K- Vektorräumen V und W heißt linear, wenn F (v + w) = F (v) + F (w) F (λv) = λf (v) für alle v, w V und λ K. Sei F : V W linear. Dann gilt F (0) = 0. Die Funktion F ist lienar. Also gilt F (λv) = λf (v). Mit λ = 0 gilt F (0) = F (0 v) = 0 F (v) = 0. Sei F : V W linear. Dann gilt F ( u) = F (u). Die Funktion F ist lienar. Also gilt F (λv) = λf (v). Mit λ = 1 gilt F ( u) = F ( 1 u) = 1 F (u) = F (u).
28 Fragen über Fragen Wie ist eine Lineare Abbildung definiert? Eine Abbildung F : V W zwischen K- Vektorräumen V und W heißt linear, wenn F (v + w) = F (v) + F (w) F (λv) = λf (v) für alle v, w V und λ K. Sei F : V W linear. Dann gilt F (0) = 0. Die Funktion F ist lienar. Also gilt F (λv) = λf (v). Mit λ = 0 gilt F (0) = F (0 v) = 0 F (v) = 0. Sei F : V W linear. Dann gilt F ( u) = F (u). Die Funktion F ist lienar. Also gilt F (λv) = λf (v). Mit λ = 1 gilt F ( u) = F ( 1 u) = 1 F (u) = F (u).
29 Fragen über Fragen Wie ist eine Lineare Abbildung definiert? Eine Abbildung F : V W zwischen K- Vektorräumen V und W heißt linear, wenn F (v + w) = F (v) + F (w) F (λv) = λf (v) für alle v, w V und λ K. Sei F : V W linear. Dann gilt F (0) = 0. Die Funktion F ist lienar. Also gilt F (λv) = λf (v). Mit λ = 0 gilt F (0) = F (0 v) = 0 F (v) = 0. Sei F : V W linear. Dann gilt F ( u) = F (u). Die Funktion F ist lienar. Also gilt F (λv) = λf (v). Mit λ = 1 gilt F ( u) = F ( 1 u) = 1 F (u) = F (u).
30 Fragen über Fragen Wie ist eine Lineare Abbildung definiert? Eine Abbildung F : V W zwischen K- Vektorräumen V und W heißt linear, wenn F (v + w) = F (v) + F (w) F (λv) = λf (v) für alle v, w V und λ K. Sei F : V W linear. Dann gilt F (0) = 0. Die Funktion F ist lienar. Also gilt F (λv) = λf (v). Mit λ = 0 gilt F (0) = F (0 v) = 0 F (v) = 0. Sei F : V W linear. Dann gilt F ( u) = F (u). Die Funktion F ist lienar. Also gilt F (λv) = λf (v). Mit λ = 1 gilt F ( u) = F ( 1 u) = 1 F (u) = F (u).
31 Fragen über Fragen Wie ist eine Lineare Abbildung definiert? Eine Abbildung F : V W zwischen K- Vektorräumen V und W heißt linear, wenn F (v + w) = F (v) + F (w) F (λv) = λf (v) für alle v, w V und λ K. Sei F : V W linear. Dann gilt F (0) = 0. Die Funktion F ist lienar. Also gilt F (λv) = λf (v). Mit λ = 0 gilt F (0) = F (0 v) = 0 F (v) = 0. Sei F : V W linear. Dann gilt F ( u) = F (u). Die Funktion F ist lienar. Also gilt F (λv) = λf (v). Mit λ = 1 gilt F ( u) = F ( 1 u) = 1 F (u) = F (u).
32 Fragen über Fragen Wie ist eine Lineare Abbildung definiert? Eine Abbildung F : V W zwischen K- Vektorräumen V und W heißt linear, wenn F (v + w) = F (v) + F (w) F (λv) = λf (v) für alle v, w V und λ K. Sei F : V W linear. Dann gilt F (0) = 0. Die Funktion F ist lienar. Also gilt F (λv) = λf (v). Mit λ = 0 gilt F (0) = F (0 v) = 0 F (v) = 0. Sei F : V W linear. Dann gilt F ( u) = F (u). Die Funktion F ist lienar. Also gilt F (λv) = λf (v). Mit λ = 1 gilt F ( u) = F ( 1 u) = 1 F (u) = F (u).
33 Fragen über Fragen Ist f : R R mit f (x) = x + 1 linear? Nein. f (2 + 3) = 6 f (2) + f (3) = = 7 Für welche a R gilt f (x) = x + a linear? Ist f : R R mit f (x) = 3x lienar? Ja. Für x, y R gilt f (x + y) = 3(x + y) = 3x + 3y = f (x) + f (y). Außerdem gilt f (λx) = 3(λx) = (3λ)x = λf (x). Gilt allgemein f : R R, dass f (x) = a x mit a R linear ist. ( ) x Ist f : R 2 R 3 x1 mit 2x x 2 linear? 2 x 1 + x 2
34 Fragen über Fragen Ist f : R R mit f (x) = x + 1 linear? Nein. f (2 + 3) = 6 f (2) + f (3) = = 7 Für welche a R gilt f (x) = x + a linear? Ist f : R R mit f (x) = 3x lienar? Ja. Für x, y R gilt f (x + y) = 3(x + y) = 3x + 3y = f (x) + f (y). Außerdem gilt f (λx) = 3(λx) = (3λ)x = λf (x). Gilt allgemein f : R R, dass f (x) = a x mit a R linear ist. ( ) x Ist f : R 2 R 3 x1 mit 2x x 2 linear? 2 x 1 + x 2
35 Fragen über Fragen Ist f : R R mit f (x) = x + 1 linear? Nein. f (2 + 3) = 6 f (2) + f (3) = = 7 Für welche a R gilt f (x) = x + a linear? Ist f : R R mit f (x) = 3x lienar? Ja. Für x, y R gilt f (x + y) = 3(x + y) = 3x + 3y = f (x) + f (y). Außerdem gilt f (λx) = 3(λx) = (3λ)x = λf (x). Gilt allgemein f : R R, dass f (x) = a x mit a R linear ist. ( ) x Ist f : R 2 R 3 x1 mit 2x x 2 linear? 2 x 1 + x 2
36 Fragen über Fragen Ist f : R R mit f (x) = x + 1 linear? Nein. f (2 + 3) = 6 f (2) + f (3) = = 7 Für welche a R gilt f (x) = x + a linear? Ist f : R R mit f (x) = 3x lienar? Ja. Für x, y R gilt f (x + y) = 3(x + y) = 3x + 3y = f (x) + f (y). Außerdem gilt f (λx) = 3(λx) = (3λ)x = λf (x). Gilt allgemein f : R R, dass f (x) = a x mit a R linear ist. ( ) x Ist f : R 2 R 3 x1 mit 2x x 2 linear? 2 x 1 + x 2
37 Fragen über Fragen Ist f : R R mit f (x) = x + 1 linear? Nein. f (2 + 3) = 6 f (2) + f (3) = = 7 Für welche a R gilt f (x) = x + a linear? Ist f : R R mit f (x) = 3x lienar? Ja. Für x, y R gilt f (x + y) = 3(x + y) = 3x + 3y = f (x) + f (y). Außerdem gilt f (λx) = 3(λx) = (3λ)x = λf (x). Gilt allgemein f : R R, dass f (x) = a x mit a R linear ist. ( ) x Ist f : R 2 R 3 x1 mit 2x x 2 linear? 2 x 1 + x 2
38 Fragen über Fragen Ist f : R R mit f (x) = x + 1 linear? Nein. f (2 + 3) = 6 f (2) + f (3) = = 7 Für welche a R gilt f (x) = x + a linear? Ist f : R R mit f (x) = 3x lienar? Ja. Für x, y R gilt f (x + y) = 3(x + y) = 3x + 3y = f (x) + f (y). Außerdem gilt f (λx) = 3(λx) = (3λ)x = λf (x). Gilt allgemein f : R R, dass f (x) = a x mit a R linear ist. ( ) x Ist f : R 2 R 3 x1 mit 2x x 2 linear? 2 x 1 + x 2
39 Fragen über Fragen Ist f : R R mit f (x) = x + 1 linear? Nein. f (2 + 3) = 6 f (2) + f (3) = = 7 Für welche a R gilt f (x) = x + a linear? Ist f : R R mit f (x) = 3x lienar? Ja. Für x, y R gilt f (x + y) = 3(x + y) = 3x + 3y = f (x) + f (y). Außerdem gilt f (λx) = 3(λx) = (3λ)x = λf (x). Gilt allgemein f : R R, dass f (x) = a x mit a R linear ist. ( ) x Ist f : R 2 R 3 x1 mit 2x x 2 linear? 2 x 1 + x 2
40 Aufgabe Aufgabe Seien f, g : R n R m zwei lineare Funktionen. Dann ist h := f + g auch linear.
41 Lösung Beweis: Sei x, y R. Dann gilt h(x + y) = (g + f )(x + y) = g(x + y) + f (x + y) = g(x) + g(y) + f (x) + g(y) = (g + f )(x) + (g + f )(y) = h(x) + h(y). Genauso kann man zeigen, dass h(λx) = λh(x) gilt.
42 Lösung Beweis: Sei x, y R. Dann gilt h(x + y) = (g + f )(x + y) = g(x + y) + f (x + y) = g(x) + g(y) + f (x) + g(y) = (g + f )(x) + (g + f )(y) = h(x) + h(y). Genauso kann man zeigen, dass h(λx) = λh(x) gilt.
43 Lösung Beweis: Sei x, y R. Dann gilt h(x + y) = (g + f )(x + y) = g(x + y) + f (x + y) = g(x) + g(y) + f (x) + g(y) = (g + f )(x) + (g + f )(y) = h(x) + h(y). Genauso kann man zeigen, dass h(λx) = λh(x) gilt.
44 Aufgabe Aufgabe Seien V und W Vektorräume über Q. Sei weiterhin f : V W ein Gruppenhomomorphismus von (V, +) nach (W, +). Beweise, dass f linear ist.
45 Lösung Beweis: Sei f ein Homomorphismus. Also gilt f (x + y) = f (x) + f (y), d.h. die erste Bedingung für lineare Funktionen ist schon erfüllt. 1. z.z. f (kx) = kf (x) mit k N. I.A.: n = 1: f (1x) = 1f (x). IS: n n + 1: f ((n + 1)x) = f (x + nx) = f (x) + f (nx) }{{} = f (x) + nf (x) = IV (n + 1)f (x).
46 Lösung Beweis: Sei f ein Homomorphismus. Also gilt f (x + y) = f (x) + f (y), d.h. die erste Bedingung für lineare Funktionen ist schon erfüllt. 1. z.z. f (kx) = kf (x) mit k N. I.A.: n = 1: f (1x) = 1f (x). IS: n n + 1: f ((n + 1)x) = f (x + nx) = f (x) + f (nx) }{{} = f (x) + nf (x) = IV (n + 1)f (x).
47 Lösung Beweis: Sei f ein Homomorphismus. Also gilt f (x + y) = f (x) + f (y), d.h. die erste Bedingung für lineare Funktionen ist schon erfüllt. 1. z.z. f (kx) = kf (x) mit k N. I.A.: n = 1: f (1x) = 1f (x). IS: n n + 1: f ((n + 1)x) = f (x + nx) = f (x) + f (nx) }{{} = f (x) + nf (x) = IV (n + 1)f (x).
48 Lösung Beweis: Sei f ein Homomorphismus. Also gilt f (x + y) = f (x) + f (y), d.h. die erste Bedingung für lineare Funktionen ist schon erfüllt. 1. z.z. f (kx) = kf (x) mit k N. I.A.: n = 1: f (1x) = 1f (x). IS: n n + 1: f ((n + 1)x) = f (x + nx) = f (x) + f (nx) }{{} = f (x) + nf (x) = IV (n + 1)f (x).
49 Lösung Beweis: Sei f ein Homomorphismus. Also gilt f (x + y) = f (x) + f (y), d.h. die erste Bedingung für lineare Funktionen ist schon erfüllt. 1. z.z. f (kx) = kf (x) mit k N. I.A.: n = 1: f (1x) = 1f (x). IS: n n + 1: f ((n + 1)x) = f (x + nx) = f (x) + f (nx) }{{} = f (x) + nf (x) = IV (n + 1)f (x).
50 Lösung Beweis: Sei f ein Homomorphismus. Also gilt f (x + y) = f (x) + f (y), d.h. die erste Bedingung für lineare Funktionen ist schon erfüllt. 1. z.z. f (kx) = kf (x) mit k N. I.A.: n = 1: f (1x) = 1f (x). IS: n n + 1: f ((n + 1)x) = f (x + nx) = f (x) + f (nx) }{{} = f (x) + nf (x) = IV (n + 1)f (x).
51 Lösung Beweis: Sei f ein Homomorphismus. Also gilt f (x + y) = f (x) + f (y), d.h. die erste Bedingung für lineare Funktionen ist schon erfüllt. 1. z.z. f (kx) = kf (x) mit k N. I.A.: n = 1: f (1x) = 1f (x). IS: n n + 1: f ((n + 1)x) = f (x + nx) = f (x) + f (nx) }{{} = f (x) + nf (x) = IV (n + 1)f (x).
52 Lösung Beweis: Sei f ein Homomorphismus. Also gilt f (x + y) = f (x) + f (y), d.h. die erste Bedingung für lineare Funktionen ist schon erfüllt. 1. z.z. f (kx) = kf (x) mit x N. Sei x V, λ Q mit λ = p q, q 0. Betrachte y := 1 q x V. Dann gilt f (qy) = qf (y) und damit 1 q f (qy) = f (y). Also gilt 1 q f (x) = f ( 1 q x). Damit erhalten wir f (λx) = f ( p q x) = pf ( 1 q x) = p q f (x). Die zweite Bedingung einer linearen Abbildung ist ebenfalls erfüllt.
53 Lösung Beweis: Sei f ein Homomorphismus. Also gilt f (x + y) = f (x) + f (y), d.h. die erste Bedingung für lineare Funktionen ist schon erfüllt. 1. z.z. f (kx) = kf (x) mit x N. Sei x V, λ Q mit λ = p q, q 0. Betrachte y := 1 q x V. Dann gilt f (qy) = qf (y) und damit 1 q f (qy) = f (y). Also gilt 1 q f (x) = f ( 1 q x). Damit erhalten wir f (λx) = f ( p q x) = pf ( 1 q x) = p q f (x). Die zweite Bedingung einer linearen Abbildung ist ebenfalls erfüllt.
54 Lösung Beweis: Sei f ein Homomorphismus. Also gilt f (x + y) = f (x) + f (y), d.h. die erste Bedingung für lineare Funktionen ist schon erfüllt. 1. z.z. f (kx) = kf (x) mit x N. Sei x V, λ Q mit λ = p q, q 0. Betrachte y := 1 q x V. Dann gilt f (qy) = qf (y) und damit 1 q f (qy) = f (y). Also gilt 1 q f (x) = f ( 1 q x). Damit erhalten wir f (λx) = f ( p q x) = pf ( 1 q x) = p q f (x). Die zweite Bedingung einer linearen Abbildung ist ebenfalls erfüllt.
55 Lösung Beweis: Sei f ein Homomorphismus. Also gilt f (x + y) = f (x) + f (y), d.h. die erste Bedingung für lineare Funktionen ist schon erfüllt. 1. z.z. f (kx) = kf (x) mit x N. Sei x V, λ Q mit λ = p q, q 0. Betrachte y := 1 q x V. Dann gilt f (qy) = qf (y) und damit 1 q f (qy) = f (y). Also gilt 1 q f (x) = f ( 1 q x). Damit erhalten wir f (λx) = f ( p q x) = pf ( 1 q x) = p q f (x). Die zweite Bedingung einer linearen Abbildung ist ebenfalls erfüllt.
56 Lösung Beweis: Sei f ein Homomorphismus. Also gilt f (x + y) = f (x) + f (y), d.h. die erste Bedingung für lineare Funktionen ist schon erfüllt. 1. z.z. f (kx) = kf (x) mit x N. Sei x V, λ Q mit λ = p q, q 0. Betrachte y := 1 q x V. Dann gilt f (qy) = qf (y) und damit 1 q f (qy) = f (y). Also gilt 1 q f (x) = f ( 1 q x). Damit erhalten wir f (λx) = f ( p q x) = pf ( 1 q x) = p q f (x). Die zweite Bedingung einer linearen Abbildung ist ebenfalls erfüllt.
57 Lösung Beweis: Sei f ein Homomorphismus. Also gilt f (x + y) = f (x) + f (y), d.h. die erste Bedingung für lineare Funktionen ist schon erfüllt. 1. z.z. f (kx) = kf (x) mit x N. Sei x V, λ Q mit λ = p q, q 0. Betrachte y := 1 q x V. Dann gilt f (qy) = qf (y) und damit 1 q f (qy) = f (y). Also gilt 1 q f (x) = f ( 1 q x). Damit erhalten wir f (λx) = f ( p q x) = pf ( 1 q x) = p q f (x). Die zweite Bedingung einer linearen Abbildung ist ebenfalls erfüllt.
58 Aufgabe Aufgabe Löse ( das Gleichungssystem ) ( ) 2i 5 2 = 4 i 0
59 Lösung Bringe die Matrix auf die Form: ( i ) i = mit 1 i = i. ( i 0 Subtrahiere erste von der zweiten Zeile: ( i ) ( i i = i ) ). Damit ergibt sich x 2 = 4 11 und x 1 = 1 11 i
60 Lösung Bringe die Matrix auf die Form: ( i ) i = mit 1 i = i. ( i 0 Subtrahiere erste von der zweiten Zeile: ( i ) ( i i = i ) ). Damit ergibt sich x 2 = 4 11 und x 1 = 1 11 i
61 Lösung Bringe die Matrix auf die Form: ( i ) i = mit 1 i = i. ( i 0 Subtrahiere erste von der zweiten Zeile: ( i ) ( i i = i ) ). Damit ergibt sich x 2 = 4 11 und x 1 = 1 11 i
62 Aufgabe Aufgabe Sei X eine Menge und V der R Vektorraum aller Funktionen f : X R. Zeige: Ist ϕ : X X eine beliebige Abbildung, so ist die Abbildung F ϕ : V V, f f ϕ R linear.
63 Lösung Beweis: Für alleλ 1, λ 2 R und alle f 1, f 2 V gilt F ϕ (λ 1 f 1 + λ 2 f 2 )(x) = (λ 1 f 1 + λ 2 f 2 ) ϕ(x) = (λ 1 f 1 + λ 2 f 2 )(ϕ(x)) = λ 1 f 1 (ϕ(x)) + λ 2 f 2 (ϕ(x)) = λ 1 F ϕ (f 1 )(x) + λ 2 F ϕ (f 2 )(x) = (λ 1 F ϕ (f 1 ) + λ 2 F ϕ (f 2 ))(x)
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