Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014

Transkript

1 Mathematik für Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014

2 Inhalt der Vorlesung 1. Gleichungen und Summen 2. Grundlagen der Funktionslehre 3. Rechnen mit Funktionen 4. Optimierung von Funktionen 5. Funktionen mit mehreren Variablen 6. Optimierung unter Nebenbedingungen 7. Matrixalgebra 2

3 Gleichungen und Summen Kapitel 1 3

4 1.1 GLEICHUNGEN 4

5 Gleichungen 5

6 Gleichungen mit Klammern und Brüchen 6

7 lineare Gleichungen in zwei Variablen 7

8 Beispiel 1: Makroökonomisches Modell 8

9 Beispiel 1: Aufgabe 9

10 10

11 Quadratische Gleichung in (a, b)- und (p, q)-form 11

12 Methode der quadratischen Ergänzung 12

13 Eine alternative Lösung 13

14 Allgemeiner Fall: Die (p, q) - Formel 14

15 Der allgemeine Fall: Die (a, b)-formel 15

16 Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösungen von 16

17 Methode 1: Einsetzungsmethode 17

18 Methode 2: Eliminationsmethode 18

19 Allgemeine Lösung: Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte 19

20 Kapitel 1.2 SUMMEN 20

21 Definitionen 21

22 Beispiel 1: 22

23 Rechenregeln für Summen 23

24 Nützliche Formeln 24

25 Newtons Binomische Formeln 25

26 Binomialkoeffizienten 26

27 Grundlagen der Funktionslehre Kapitel 2 27

28 Kapitel 2 1. Lineare Funktion 2. Allgemeine quadratische Funktion 3. Kubische Funktion und Polynome 4. Potenz- und Exponenzialfunktion 5. Logarithmus 6. Verschiebung von Funktionsgraphen 28

29 Funktion 29

30 Funktion 30

31 Beispiel: Produktionskosten 31

32 Wertebereich (range) einer Funktion 32

33 Monoton wachsende und fallende Funktionen 33

34 Einige wichtige Graphen 34

35 Kapitel 2.1 LINEARE FUNKTION 35

36 Definition 36

37 Steigung 37

38 y-achsenabschnitt 38

39 Graphische Lösung von linearen Gleichungen 39

40 Beispiel 40

41 Lösung 41

42 Kapitel 2.2 ALLGEMEINE QUADRATISCHE FUNKTION 42

43 Definition 43

44 Eigenschaften 44

45 Antwort auf Frage A: Nullstellen der quadratischen Funktion 45

46 Frage B: Bestimmung des Scheitelpunktes für a > 0 46

47 Frage B: Bestimmung des Scheitelpunktes für a < 0 47

48 Maximum und Minimum quadratischer Funktionen 48

49 Beispiel 1: Maximierung einer quadratischen Gewinnfunktion 49

50 Lösung: 50

51 Kapitel 2.3 KUBISCHE FUNKTION UND POLYNOME 51

52 Kubische Funktionen 52

53 Beispiel 1: Kubische Kostenfunktion 53

54 Allgemeine Polynome 54

55 Nullstellen eines Polynoms und Fundamentalsatz der Algebra 55

56 Kapitel 2.4 POTENZ- UND EXPONENZIALFUNKTION 56

57 Definition der allgemeinen Potenzfunktion 57

58 Graphen von Potenzfunktionen 58

59 Definition 59

60 Graphen von Exponentialfunktionen 60

61 Anmerkung 1: Unterschied zwischen Potenz- und Exponentialfunktion 61

62 Verdopplungszeit 62

63 Beispiel 3: Zinseszinsen 63

64 Die allgemeine Exponentialfunktion 64

65 Die natürliche Exponentialfunktion 65

66 Rechenregeln für die e-funktion 66

67 Abb. 3: Graphen der Exponentialfunktionen exp(x) und exp(-x) 67

68 Kapitel 2.5 LOGARITHMUS 68

69 Natürlicher Logarithmus 69

70 Natürlicher Logarithmus 70

71 Beispiel 1: Logarithmen bestimmen 71

72 Rechenregeln für den natürlichen Logarithmus 72

73 Warnung 73

74 Beispiel 2: Verdopplungszeit einer Exponentialfunktion 74

75 Die natürliche Logarithmusfunktion 75

76 Eigenschaften der natürlichen Logarithmusfunktion 76

77 Logarithmen mit anderen Basen als e 77

78 Logarithmen mit anderen Basen als e, einige Beispiele 78

79 Zusammenhang zwischen ln und log 79

80 Rechenregeln für Logarithmen zur Basis a 80

81 Kapitel 2.6 VERSCHIEBUNG VON FUNKTIONSGRAPHEN 81

82 Beispiel 82

83 Beispiel 1: 83

84 Beispiel 1: 84

85 Beispiel 1: 85

86 Beispiel 1: 86

87 Verschiebung des Graphen von y = f(x) 87

88 Beispiel 2 (i): 88

89 Beispiel 2(i): Skizzieren Sie den Graphen 89

90 Rechnen mit Funktionen Kapitel 3 90

91 Kapitel 3 1. Rechenoperationen und Verkettung 2. Inverse Funktionen 3. Ableitung einer Funktion 4. Höhere Ableitungen 5. Ableitung spezieller Funktionen 91

92 Kapitel 3.1 RECHENOPERATIONEN UND VERKETTUNG 92

93 Abbildung 1: Summe 93

94 Summe und Differenz 94

95 Beispiel 1: Durchschnittskosten 95

96 Beispiel 1: Durchschnittskosten 96

97 Beispiel 2: Gewinnfunktion 97

98 Produkte und Quotienten 98

99 Verkettung von Funktionen 99

100 Verkettung von Funktionen 100

101 Verkettung von Funktionen: Notation 101

102 Beispiel 3: Schreiben Sie als Verkettung von Funktionen 102

103 Beispiel 3: Schreiben Sie als Verkettung von Funktionen 103

104 Kapitel 3.2 INVERSE FUNKTIONEN 104

105 Inverse Funktion: Preis als Funktion der Nachfrage 105

106 Umkehrbar eindeutige Funktionen 106

107 Umkehrbar eindeutige Funktionen 107

108 Definition 108

109 Folgerung: Verkettung inverser Funktionen 109

110 Notation der Inversen 110

111 Inverse als Spiegelbilder an der Winkelhalbierenden 111

112 Die natürliche Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion 112

113 Kapitel 3.3 ABLEITUNG EINER FUNKTION 113

114 Steigung = Steigung der Tangente 114

115 Ableitung 115

116 Tangente und Sekante 116

117 Steigung der Sekante 117

118 Definition der Ableitung 118

119 Gleichung der Tangente 119

120 Differentialnotation (Leibniz): 120

121 Beispiel 1: Grenzkosten, Grenzertrag, Grenzgewinn 121

122 Differenzierbarkeit 122

123 Ableitungen mit Konstanten 123

124 Potenzregel 124

125 Summen und Differenzen 125

126 Erweiterung der Summenregel 126

127 Produktregel 127

128 Produktregel, Beispiel: 128

129 Lösung: 129

130 Produktregel für mehr als zwei Faktoren 130

131 Quotientenregel 131

132 Quotientenregel; Beispiel: 132

133 Lösung: 133

134 Ableitung einer verketteten Funktion 134

135 Verallgemeinerte Potenzregel 135

136 Verallgemeinerte Potenzregel; Beispiel: 136

137 Lösung 137

138 Beispiel: Mehrfache Anwendung der Kettenregel 138

139 Mehrfache Anwendung der Kettenregel 139

140 Alternative Formulierung der Kettenregel 140

141 Kapitel 3.4 HÖHERE ABLEITUNGEN 141

142 Zweite Ableitung 142

143 Beispiel 1: 143

144 Lösung 144

145 Notationen für die zweite Ableitung 145

146 Zweite Ableitung; Beispiel: 146

147 Lösung 147

148 Vorzeichen der Ableitung und Steigungsverhalten 148

149 Vorzeichen der 2. Ableitung und Steigungsverhalten der 1. Ableitung 149

150 Definition: Konvexe und konkave Funktionen 150

151 Beispiel: 151

152 Beispiel: Fortsetzung 152

153 Ableitungen n-ter Ordnung 153

154 Beispiel: Ableitungen bis zur vierten Ordnung 154

155 Kapitel 3.5 ABLEITUNG SPEZIELLER FUNKTIONEN 155

156 Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion 156

157 Ableitung komplizierterer e-funktionen 157

158 Beispiel: Differenzieren Sie Bilden sie die erste Ableitung von (b) 158

159 Lösung 159

160 Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion 160

161 Differenzieren allgemeinerer Exponentialfunktionen 161

162 Beispiel: Bestimmen Sie die Ableitungen von 162

163 Natürliche Logarithmus-Funktion 163

164 Ableitung einer mit ln verketteten Funktion 164

165 Beispiel: Definitionsbereich und Ableitung bestimmen 165

166 Logarithmisches Differenzieren, Beispiel: 166

167 Ableitung der Logarithmus-Funktion zur Basis a 167