Prof. Dr.-Ing. A. Schmitt. Ermittlung der Eigenkreisfrequenzen und Eigenschwingungsformen eines Torsionsschwingungssystems *)

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1 Fahbereih Mashinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Shmitt Ermittlung der Eigenkreisfrequenzen und Eigenshwingungsformen eines Torsionsshwingungssystems * * Auszug aus einer Laborarbeit im Labor Antriebstehnik der FH-Lippe Maasböl, P.G.; Winkelhake, G.. Einleitung In dieser Laborarbeit soll das dynamishe Verhalten einer Torsionsshwingerkette untersuht werden, d. h. Ermittlung der Eigenkreisfrequenzen und der zugehörigen Eigenshwingungsformen. Das dämpfungsfreie Torsionsshwingungssystem ist analytish zu berehnen und anshließend mit einem Simulationsprogramm zu modellieren (ITI-SIM. der Fa. ITI, Dresden. Ein Abgleih der theoretishen Ergebnisse mit denen der Simulation ist zu erstellen. Folgendes Shwingungssystem ist gegeben. Einspannung Bild : Abbildung der Torsionsshwingerkette : Massenträgheitsmomente der Drehmassen : Federsteifigkeiten der Wellenabshnitte - : Drehwinkel. Analytishe Berehnung der Shwingerkette Es gibt mehrere Möglihkeiten die Eigenkreisfrequenzen des dargestellten Systems zu berehnen. Eine besteht in der Aufstellung und Lösung der sogenannten Frequenzgleihung (Koeffizienten-Determinante, deren Berehnung jedoh reht aufwendig ist. Weiterhin können die Eigenkreisfrequenzen und -shwingungsformen z.b. über das Approximationsverfahren nah Holzer-Tolle berehnet werden, wie hier beshrieben.. Approximationsverfahren nah Holzer-Tolle: Das Näherungsverfahren liefert für ein -Massensystem fünf miteinander gekoppelte Bewegungsgleihungen. Es ist in diesem Fall erforderlih eine sehste Gleihung aufzustellen, um den Wellenabshnitt zu berüksihtigen. Dabei wird die feste Einspannung durh eine sehste Massenträgheit simuliert, deren Wert gegenüber den anderen Drehmassen um ein Vielfahes größer ist. Bewegungsgleihungen: & + & + & + & + ( & + & ( =

2 Fahbereih Mashinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Shmitt Mit dem Lösungsansatz: = osωt & = ˆ osωt ˆ ˆ = ˆ = osωt & osωt ( = osωt & = ˆ osωt ˆ Lösungsansatz einsetzen in die Bewegungsgleihungen und ordnen: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ ˆ + ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( Nah Holzer-Tolle erfolgt die Auflösung des obigen Gleihungssystems nah den Shwingungsausshlägen ˆ, ˆ... ˆ und setzt sie ins Verhältnis zum Ausshlag ˆ verhältnismäßige Ausshläge: ˆ ˆ = = ; = ;... ˆ ˆ ˆ = ( ˆ Damit ergibt sih folgendes Gleihungssystem = = = + = ω + + = ω + + = ω = ω ( Addiert man alle Bewegungsgleihungen (, so erhält man n i i= & & ( i Diese Gleihung ergibt sih aus der Überlegung, daß bei einer freien Shwingung in einer Eigenkreisfrequenz die Summe aller Trägheitsdrehmomente gleih null sein

3 Fahbereih Mashinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Shmitt muß, da bei einem dämpfungsfreien System kein äußeres Moment zur Aufrehterhaltung der Eigenshwingung notwendig ist. Bei Einführung des Lösungsansatzes bzw. der verhältnismäßigen Ausshläge folgt: n i= i i (7 Diese Gleihung ist nur erfüllt, wenn ω die Werte der Eigenkreisfrequenzen ω i annimmt. Stimmt ω niht mit einer Eigenkreisfrequenz überein, so erhält man ein sogenanntes Restmoment M R. Da dieses Restmoment stark mit ω zunimmt, trägt man besser das Verhältnis M R /ω in Abhängigkeit von ω auf. Bei der vorliegenden Shwingerkette werden folgende Vereinfahungen angenommen. = = = = = = = = = =, ˆ (zur Simulation der festen Einspannung Damit ergeben sih X = / folgende verhältnismäßige Ausshläge: = = X = X + X = X + X X (8 = X + X 7X + X = X + X 8X + 9X X Unter Verwendung von Gl. (7 folgt: n i= i i = [ X + X 8X + X ] + [ X + X 8X + 9X X ] (9 Mit der Annahme folgender Werte..., kgm²... Nm/rad kgm² ergibt sih der Restmomentverlauf nah Bild. Die Nullstellen sind die gesuhten Eigenkreisfrequenzen.

4 Fahbereih Mashinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Shmitt Mr/w [kgm ],E+,E+,E+,E+,E+ -,E+ ω ω ω ω ω,e+ w,e+,e+,e+,e+ 8,E+,E+,E+,E+ [s - ] -,E+ -,E+ -,E+ -,E+ Bild : Darstellung der Restmomentenkurve Die Auswertung der Restmomentenkurve ergibt folgende Nullstellen: Lfd. Nr. Drehfrequenz Winkelgeshw. ω M R /ω f [Hz] ω[/s] [/s ] [kgm ],, 7 7, 79,7 9, 7, 779,7 97, 9 7,7 7,9 7 Mit den Eigenkreisfrequenzen ω i ergeben sih die relativen Winkelausshläge i zu: Lfd. Nr. Drehfrequenz f [Hz] Winkelgeshwindigkeit relative Auslenkung der Drehmassen ω[/s],,,99,7,,8 7, 79,7,97 -,9 -,88 -,88, 7, -,7 -,,78,97,7 97, -,88,,979 -,8 7,7 7,9 -,8, -,87,99

5 Fahbereih Mashinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Shmitt Die grafishe Darstellung der auf = normierten Shwingungsausshläge zeigt Bild. Shwingungsform bei: ω ω ω ω ω Bild : Shwingungsformen der Eigenkreisfrequenzen. Untersuhung der Shwingerkette mit dem Simulationsprogramm ITI-SIM. Die Shwingerkette wird mit dem Simulationsprogramm nah Bild modelliert. Dabei werden die Wellenabshnitte durh rotatorishe Federn mit den Drehsteifigkeiten und die Drehmassen durh rotatorishe Knoten mit den Massenträgheiten abgebildet. Um ein Eingangssignal (Testsignal in die Struktur einleiten zu können, ist es notwendig das Symbol der Momenteinleitung zu verwenden. Eingangssignal Einspannung Momenteinleitung Bild : Simulationsmodell der Shwingerkette

6 Fahbereih Mashinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Shmitt Der Simulation liegen wieder folgende Parameter zugrunde:..., kgm²... Nm/rad Als Anregungssignal (Testsignal wird ein Impuls verwendet. Die Antwortsignale (Drehwinkel der Drehmassen und sind in Bild und dargestellt und zeigen die Überlagerung der einzelnen Eigenkreisfrequenzen. Das Frequenzspektrum der Drehmasse zeigt Bild 7. Drehwinkel s. Bild : Zeitverhalten der Drehmasse (Impulsantwort Drehwinkel s. Bild : Zeitverhalten der Drehmasse (Impulsantwort

7 Fahbereih Mashinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Shmitt. Frequenzspektrum Drehwinkel -... e- Hz Bild 7: Frequenzspektrum der Drehmasse Die Berehnung der Eigenfrequenzen f bis f und der relativen Ausshläge erfolgt durh das Programm automatish. Dabei wird jeweils die größte Auslenkung bei der jeweiligen Eigenfrequenz auf den Wert Eins normiert. Die anderen Auslenkungen werden relativ dazu angegeben. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse. Lfd. Nr. Drehfrequenz f [Hz] relative Auslenkung der Drehmassen (größte Auslenkung auf den Wert Eins normiert,,99,7,,8 7, -,99 -,8,,7,,7 -, -,99,8, -, -,8 -,7,99 7,,8 -,7 -,99, Die Darstellung der Shwingungsformen der einzelnen Eigenkreisfrequenzen mit dem Simulationsprogramm ITI-SIM. zeigt Bild 8. 7

8 Fahbereih Mashinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Shmitt Auslenkung: f =,Hz Auslenkung (f =. [Hz] Auslenkung: f = 7,Hz Auslenkung (f = 7. [Hz] - Auslenkung: f,hz Auslenkung (f. [Hz] - Auslenkung (f =. [Hz] Auslenkung: f =,Hz - Auslenkung: f = 7,Hz Auslenkung (f = 7. [Hz] - Bild 8: Darstellung der Shwingungsformen (nah ITI-SIM. 8

9 Fahbereih Mashinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Shmitt. Zusammenfassung Die Gegenüberstellung der berehneten Werte zeigt wie zu erwarten eine totale Ü- bereinstimmung hinsihtlih der Eigenkreisfrequenzen. Beim Vergleih der Shwingungsformen lassen sih Untershiede feststellen. Nah Holzer-Tolle normiert man die Shwingungsform der Drehmasse unabhängig von der Eigenkreisfrequenz jeweils auf den Wert, während das Simulationsprogramm ITI-SIM. die größte Shwingamplitude auf den Wert setzt. Ein Vergleih der Ausshläge ist jedoh leiht durh eine Umrehnung möglih. 9