Summe und Teilbarkeit

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Waltraud Winkler
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1 BIP Kreativitätsgymnasium Leipzig Schuljahr 009/10 Begabtenförderung Mathematik - Klassenstufe 8 Summe und Teilbarkeit Matthias Richter 19. März 010 Aufgabenstellung Betrachten die Summe von n aufeinander folgenden Zahlen. Wann ist diese Summe durch n teilbar? Denition 1 Seien a, b N. Man nennt a einen Teiler von b (symbolisch: a b), wenn gilt: b = q a q N (1) Empirische Beispiele Betrachten zunächst die Summe dreier aufeinander folgender Zahlen (also n = 3). Beispiel 1 Wählen verschiedene Startpunkte: = 1 und = 39 und 3 39, da 39 = Diese Beispiele lassen vermuten: Lemma 1 Die Summe dreier aufeinander folgender Zahlen ist durch 3 teilbar. Beweis: Wählen als Startzahl k N. Dann sind die drei aufeinander folgenden Zahlen: k+ i = k + (k + 1) + (k + ) = 3k + 3 = 3 (k + 1) i=k D. h. die Summe dreier aufeinander folgender Zahlen ist ein Vielfaches von 3, m. a. W. durch 3 teilbar. Betrachten als nächstes die Summe von vier aufeinander folgenden Zahlen. Beispiel Wählen verschiedene Startpunkte: = 18 und = 54 und 4 54 Durch die beiden Gegenbeispiele ist gezeigt, dass die Vermutung für n = 4 nicht erfüllt ist. Eher ist k + (k + 1) + (k + ) + (k + 3) = 4k + 6 da 4 6 kann die Summe von 4 aufeinander folgenden Zahlen nicht durch 4 teilbar sein. Für n = 5 ergibt sich: Beispiel 3 Wählen verschiedene Startpunkte: 1

2 = 5 und = 70 und 7 70 Dies lässt vermuten: Lemma Die Summe von fünf aufeinander folgender Zahlen ist durch 5 teilbar. Beweis der Vermutung analog zum obigen Fall für n = 3: Beweis: Wählen k N als Startpunkt der Zahlenfolge. Dann ist: k+4 i = k + (k + 1) + (k + ) + (k + 3) + (k + 4) = 5k + 10 = 5 (k + ) i=k Überlegung zur Verallgemeinerung Bei der Summierung von n aufeinander folgender Zahlen mit Startpunkt k ergibt sich S = k + (k + 1) + (k + ) (k + n 1) () In dieser Reihe kommt n mal Startsummand k vor und die Summe der ersten n 1 Zahlen, d. h. k 1 S = nk + i (3) Oensichtlich gilt: n nk. Daher muss noch geprüft werden, ob der zweite Summand ebenfalls durch n teilbar ist. Für diese Berechnung der Summe der ersten n Zahlen gibt es eine nette Anekdote. Der weltberühmte geniale deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauÿ bekam als 9-jähriger von seinem Lehrer die Aufgabe gestellt alle Zahlen zwischen 1 und 100 zusammenzuzählen, also zu rechnen. Mathematisch kann man dies einfach mit dem Summenzeichen ausdrücken Was zunächst sehr leicht klingt, bereitet aber den Mitschülern von Gauÿ Schwierigkeiten, denn ein kleiner Fehler durch eine Unachtsamkeit lässt sich nicht so schnell korrigieren. Während seine Banknachbarn sich abmühten, schaut der Drittklässler Gauÿ ein paar Minuten aus dem Fenster und schreibt dann eine einzige vierstellige Zahl auf seine Tafel und bringt sie zu seinem Lehrer nach vorn, der über die korrekte Lösung in kürzester Zeit sehr erstaunt ist. Mehr über diese Geschichte und aus dem Leben von Gauÿ ndet man in [HM08]. Gauÿ hatte erkannt, dass die erste und die letzte Zahl (also 1 und 100), die zweite und die vorletzte ( und 99), die dritte und die drittletzte (3 und 98), usf. immer die gleiche Summe bilden, nämlich Von diesen paaren n-zahl und n-letzte Zahl gibt es 50. Daher gilt: 100 i = = = 5050 n i. Dieses Verfahren ist nicht nur für die Summe der ersten 100 Zahlen anwendbar, sondern kann wie folgt verallgemeinert werden:

3 Lemma 3 Gauÿsche Summenformel n i = (n ) + (n 1) + n = Beweis: Sei S = n i. Dann gilt für S: n(n + 1) (n ) + (n 1) + n n + (n 1) + (n ) (n + 1) (n + 1) (n + 1)... (n + 1) (n + 1) (n + 1) Anzahl der Paare ist n, also gilt: Daher gilt für die Summe der ersten n 1 Zahlen: n 1 i = S = n (n + 1) S = n (n + 1) (n 1) n = n n (4) (5) Daher kann Summe S von n aufeinander folgender Zahlen mit Startzahl k nach (3) auch in der Form geschrieben werden. S = nk + n n (6) Finden einer Vermutung Damit nun die Summe S durch n teilbar ist, muss n n n gelten 1. Nutzung einer Tabellenkalkulation (hier OpenOce Calc) hilft bei der Findung einer Vermutung. Abbildung 1: Teilbarkeitsbetrachtung in Tabellenkalkulation (mit bedingten Formatierungen) 1 bzw. n n n n n mod n = 0, wobei mod in Tabellenkalkulation als REST()-Funktion 3

4 Ebenso kann die Vermutung mit Hilfe einer Programmiersprache gefunden werden. In diesem Beispiel allerdings ohne die Gauÿsche Summenformel, weil diese von der Startzahl k = 1 ausgeht (wobei nach obigen Überlegungen - siehe (6) - der genau Wert von k keine Rolle spielt). Python-Code 1: Teilbarkeit der Summe 1 # Summenberechnung OHNE Summenformel, da verschiedene Startwerte k moeglich def summe (a, b ) : 3 sum =0 4 for i in range (a, b +1) : 5 sum += i 6 return sum 7 8 # Test der Teilbarkeit fuer n=1,..., 5 mit dem festen Startwert k=1 9 for i in range (1, 5) : 10 if summe (1, i ) % i == 0: 11 print i Programmdurchlauf: Verallgemeinerung Auf Grundlage der obigen Ergebnisse lautet die Vermutung: Lemma 4 Es sei n N. Die Summe von n aufeinander folgender Zahlen ist genau dann durch n teilbar, wenn n ungerade ist. Beweis: Nach (3) bzw. (6) muss nur nachgewiesen werden, dass n die Summe der ersten n 1 Zahlen teilt. Es sei n N ungerade, d. h. n = m + 1 (mit k N). Dann ist: n 1 i = n n = (m + 1) (m + 1) = 4m + 4m + 1 m 1 = 4m + m = m + m = m (m + 1) }{{} n = m n D. h. die Summe der ersten n 1 Zahlen ist durch n teilbar 4

5 Weiterführende Aufgaben Aufgabe 1 (* aus: [JM71, A.1.35]): Beweise, dass die Summe von 1000 beliebig unmittelbar aufeinander folgenden natürlichen Zahlen keine Primzahl sein kann. Lösung: Sei k N der 1000 aufeinander folgenden Zahlen, dann ist: 999 k + (k + 1) + (k + ) (k + 999) = 1000k + i = 1000k + = 1000k = 500 (k + 999) D. h. 500 ist ein Teiler dieser Summe, daher kann sie keine Primzahl sein. Aufgabe (* aus: [JM71, A.1.14]): Ist Vermehrt man das Produkt von vier beliebig aufeinander folgenden natürlichen Zahlen um 1, so erhält man eine Quadratzahl ein (richtiger) mathematischer Lehrsatz? Lösung: Auch hier hilft die Tabellenkalkulation zum nden einer Vermutung. Lassen z. B. eine Zahl eingeben. Daraufhin werden die 3 Nachfolger (jeweils Vorgänger plus Eins) dieser Zahl ermittelt. Sodann das Produkt vermehrt um eins berechnet um daraus die Wurzel zu ziehen. Ist das Resultat dieses radizierens eine natürliche Zahl kann man von ausgehen, dass für dieses Startzahl die Vermutung korrekt ist. Abbildung : Vermutung nden Überprüft man empirisch für beliebige Startzahl diese Vermutung, so ndet sich kein Gegenbeispiel. Dies lässt auf die Korrektheit der Vermutung schlieÿen. Somit muss noch ein Beweis dafür gefunden werden. Sei k N die Startzahl der vier unmittelbar aufeinander folgenden Zahlen, so ist k (k + 1) (k + ) (k + 3) + 1 = k 4 + 6k k + 6k + 1 = (k + 3k + 1) und somit eine Quadratzahl. Aufgabe 3 (**): Beweise, dass n 3 n durch n und 6 teilbar ist 5

6 Lösung: Es ist: n 3 n = n (n 1) nach dritter Binomischen Formel (a + b) (a b) = a b gilt: = n (n + 1) (n 1) = (n 1) n (n + 1) Von drei aufeinander folgender Zahlen ist mindestens eine gerade, daher ist das Produkt dreier aufeinander folgender Zahlen durch teilbar. Analog muss eine der drei Zahlen durch 3 teilbar sein. Somit ist n 3 n sowohl durch und 3 teilbar und damit auch durch 6. Auÿerdem ist n 3 n = n (n 1), also ein Vielfaches von n. Aufgabe 4 (** aus: [JM71, A.1.45]): Es ist zu beweisen, dass das Produkt von sechs beliebig unmittelbar aufeinander folgenden Zahlen stets durch 70 teilbar ist. Lösung: Sei ist P = n (n + 1) (n + ) (n + 3) + (n + 4) (n + 5). Dabei gilt für P : (i) sind genau drei Zahlen, die durch, (ii) mindestens eine durch 4 teilbar Zahl, (iii) genau zwei Zahlen durch 3 und (iv) mindestens eine durch 5 teilbar teilbar. Demnach ist P durch = 70 teilbar. Aufgabe 5 (** aus [JM71, A.1.16]): Es ist folgender Satz zu beweisen: Wenn die Summe zweier ganzer Zahlen durch 10 teilbar ist so stimmen die Quadrate dieser Zahlen in ihren Endziern überein. Lösung: Damit die Summe der beiden Zahlen a und b durch 10 teilbar ist, müssen ihre letzten Ziern sich zu 10 ergänzen: a mod 10 = a 0 b mod 10 = b 0 Es gilt: Somit auch a 0 + b 0 = 10 a 0 + b 0 0 (mod 10) a 0 b 0 (mod 10) a 0 b 0 (mod 10) 6

7 Literatur [JM71] Engel, W. ; Pirl, U. (Hrsg.): Aufgaben und Lösungen aus Olympiaden Junger Mathematiker der DDR. Band Volk und Wissen, [HM08] Mania, Hubert: Gauÿ. Eine Biographie. 3. Rowohlt, 008. ISBN

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