PHYSIK Gekoppelte Bewegungen 2

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1 PHYSIK Gekoppelte Bewegungen Gekoppelte Bewegungen auf chiefer Ebene Datei Nr. 93 Friedrich W. Buckel ktober 00 Internatgynaiu Schloß Torgelow

2 Inhalt Grundwien Bewegung ohne äußeren Antrieb (Beipiel ) 3 Bewegung it äußere Antrieb (Beipiel ) 4 Beipiel 3 5 Seilkraft 7 Beipiel 4 8 Beerkung Die allgeeine quadratiche Gleichung ax + bx + c 0 hat die Löungforel b± b 4ac x, a Diee Forel (i Volkund auch Mitternachtforel genannt, wird von ir auchließlich verwendet. In nicht wenigen Aufgaben it ie der leider zu oft eingeetzten p-q-forel deutlich überlegen.

3 93 Gekoppelte Bewegungen. Grundlagen Voraugeetzte WISSEN: () Da Newtonche Kraftgeetz bechreibt den Zuaenhang zwichen einer Kraft, die auf eine Mae wirkt und die darau reultierende Bechleunigung (die auch al Breverzögerung wirken kann, wenn ie der Bewegungrichtung entgegen wirkt). F a a F () Wenn Reibung i Spiel it, wirkt die Reibungkraft tet breend. Man berechnet ie durch die Forel F R f N wobei N die Noralkraft it. Darunter verteht an die Kraft, die den Körper enkrecht gegen die Unterlage drückt. Man berechnet ie it N G coα g coα Auf einer horizontalen Ebene wird oit die Reibungkraft durch diee Gleichung berechnet: F f N f g co R α (3) Auf einer chiefen Ebene wirkt die Hangabtriebkraft al Antrieb- oder Brekraft, je nach Situation: H G inα g inα (4) Für die gleichäßig bechleunigte Bewegung gelten diee Gleichungen vt ( ) v0 ( ) ± at ( ) ( ) t v0 t± at Da Minuzeichen gilt bei einer verzögerten Bewegung. (5) Wird nicht andere geagt, rechnen wir ier it g 0.

4 93 Gekoppelte Bewegungen. Bewegung ohne äußeren Antrieb Nehen wir an, ein Körper liegt auf einer chiefen Ebene und beginnt, hinab zu gleiten. Dann wirkt die Hangabtriebkraft antreibend, die Gleitreibungkraft bret. Sie wird durch die Noralkraft erzeugt, die den Körper enkrecht gegen die berfläche drückt. Hangabtriebkraft: N!!" α!!" G H!!" α inα H H G inα G Noralkraft: coα N N G coα G Gleitreibungkraft: R f N f G coα f g coα Bechleunigung: F H R g inα f g coα g ( inα f coα) a g ( inα f coα ) Wenn die Bewegung reibunglo verlaufen oll, etze an einfach f 0, da ergibt dann a g inα. BEISPIEL : Eine chiefe Ebene hat eine Neigung von 40. Der Haftreibungkoeffizient beträgt f 0,3. a) Wie lange braucht der Körper, bi er nach 0,60 unten angekoen it. Welche Endgechwindigkeit hat er unten? b) Wie lange benötigt er, bi er die halbe Strecke zurückgelegt hat. Welche Gechwindigkeit hat er dann? c) Wo hat er die halbe Gechwindigkeit? Und wann erreicht er diee Stelle?

5 93 Gekoppelte Bewegungen LÖSUNG: Für diee chiefe Ebene errechnet an die Bechleunigung: F H R g inα f g coα g ( inα f coα) a g ( inα f coα ) Die ergibt den Zahlenwert: a 4,. a) Die Wegtrecke 0,60 legt dieer Körper in der Zeit t zurück:, at t 0,54 a 4, Dann hat er diee Gechwindigkeit: v a t 4, 0,54,. b) Für die halbe Strecke benötigt er 0,6 at t 0,38 a 4, Die it ehr al die halbe Zeit! Dann hat er diee Gechwindigkeit: v a t 4, 0,38,6 c) Die halbe Gechwindigkeit hat er nach der Zeit v, v a t t 0,7 3 a 4, Dann hat er die Strecke 3 zurückgelegt: 3 3 at 4, 0,7 0,5

6 93 Gekoppelte Bewegungen 3 BEISPIEL :. Bewegung it äußere Antrieb und eien durch eine nahezu aeloe Seil und eine Rolle iteinander verbunden. Die chiefe Ebene habe einen Neigungwinkel von α 30. Der Gleitreibungkoeffizient ei f 0,. a) Welche Vielfache von uß ein, dait die Bewegung o abläuft, daß die Ebene hinaufgezogen wird. b) E ei nun. Bereche dazu die Bechleunigung a. Nach welcher Zeit hat die Anordnung die Strecke 0,5 zurückgelegt. c) Der Körper it der Mae etzt nach dieen 0,5 auf de Boden auf. Ab diee Moent gleitet alleine und gebret den Hang hinauf. Wie weit kot er dann noch? (Die Schnur denken wir un dann nicht vorhanden) d) Anchließend gleitet er wieder den Hang hinab o lange, bi die Schnur wieder gepannt it. Dann gibt e einen Ruck und wird angehoben. Mit welcher Gechwindigkeit erreicht den Punkt, an de wieder in Bewegung kot? e) Zeichne ein v-t-diagra für dieen Bewegungablauf. LÖSUNG: a) Die Gewichtkraft G von zieht. Die Hangabtriebkraft H von und die Gleitreibungkraft breen. Die Aufwärtbewegung kot dann zutande, wenn gilt: G > H+ R g > g inα+ f g coα b) Für folgt: a > 0,5+ 0, 3 > 0,5 + 0,7 0,67 G H R g g inα f g coα g g inα f g coα + + g( ) ( ) inα f coα g inα f coα a 5 in 30 0, co 30 a,6 ( )

7 93 Gekoppelte Bewegungen 4 0,5 wird dann in der Zeit t zurückgelegt: at t 0,79 a,6 Dann haben die beiden Maen die Gechwindigkeit v : v a t,6 0,79,6. c) Nachde unten aufgeetzt hat, vollzieht eine gleichäßig verzögerte Bewegung. Berechnung der Breverzögerung: a H ( ) + R g inα+ f g coα g inα+ f coα ( ) a g inα+ f coα 6,73 beginnt die Brebewegung it der Gechwindigkeit und gleitet dann bi zu Halten. v,6 Die ugekehrte Bewegung it dann eine gleichäßig bechleunigte Bewegung au de Haltepunkt herau nach unten. Für ie gilt diee Gleichung: v, 6 v a 0, a 6,73 gleitet alo nur noch etwa c weiter und hält dann. Dazu benötigt die Zeit t : v, 6 v a t t 0,8 a 6,73 d) Bei der Abwärtbewegung wird die Hangabtriebkraft zur alleinigen Zugkraft, während nur die Reibung bret: a 3 H ( ) R g inα f g coα g inα f coα ( ) a g inα f coα 3,3 3 Die Bechleunigung beginnt au der Ruhe herau, alo gilt: v a 3,3 0, 0, Dazu braucht die Zeit t 3 : v 0,89 v a t t 0, a3 3,3

8 93 Gekoppelte Bewegungen 5 e) Für da v-t-diagra achen wir eine Tabelle: Zeit 0 0,79 0,79+0,8 0,97 0,97+0,7,4 v 0, 6 0 0,89 Die Verbindunglinien i v-t-diagra ind Geraden bzw. Strecken. Wegen v at gibt a die Steigungzahl an. Wir übertragen nun einfach diee 4 Wertepaare al Punkte in ein v-t-diagra: ( ) P 0,79,6 a,6 a 6,7 ( ) P 0 0 ( ) P 0, a 3, 3 ( ) P,4 0,89 4

9 93 Gekoppelte Bewegungen 6 BEISPIEL 3: Nebentehende Anordnung hat die Winkel α 30 und β 45. α β a) Zunächt nehen wir an, daß die Bewegung reibungfrei augeführt werden kann. Wir wollen errechnen, wie groß die Mae ein uß, dait die Anordnung eine Bechleunigung nach recht erfahren kann. b) Nun laen wir Gleitreibung it f 0,5 zu. Und e ei wieder k. Unteruche, für welche Werte von k ich die Anordnung nach link bzw. recht in Bewegung etzt. Zeige auführlich, waru für k keine Bewegung enttehen kann. c) Nun ei k. Berechne die Bechleunigung, gib die Bewegungrichtung an. LÖSUNG: a) Wenn ich die Anordnung nach recht bewegen oll, uß gelten: H > H, g in45 > g in30 :g it de Anatz k folgt: k > alo k > : k > 0,707. Ergebni: Wenn die Mae > 0,707 it, gleiten die Maen nach recht. It < 0,707, dann gleiten die Maen nach link. b) Bewegung nach recht: Bedingung: H > H+ R+ R d.h. g in 45 > g in 30 + f g co 30 + f g co 45 : g k > + 0, ,5 k. d.h. d.h. 0,707 k > 0,5 + 0,7 + 0,77 k d.h. 0,53 k > 0,77 d.h. Ergebni: 0,77 k >,35 0,53 Wenn >,35 it, dann etzt ich die Anordnung nach recht in Bewegung.

10 93 Gekoppelte Bewegungen 7 Bewegung nach link unter der Bedingung: H > H + R+ R d.h. g in 30 > g in 45 + f g co 30 + f g co 45 : g Mit k : d.h. > k + 0, ,5 k : d.h. > 0,707 k + 0,7 + 0,77 k d.h. 0,38 > 0,884 k d.h. Ergebni: 0,38 k < 0,3 0,884 Wenn < 0,8 it, dann etzt ich die Anordnung nach link in Bewegung. Mit anderen Worten: Für alle Werte von k it 0,3 k,35 it keine bechleunigende Kraft vorhanden, weil die breenden Kräfte in ihrer Sue größer ind al die Antriebkraft, die ja nur eine der beiden Hangabtriebkräfte ein kann. I Beipiel: k, alo. Der Veruch, eine Bewegung nach link zu erzeugen, ergibt die Becheunigungkraft: recht F H H R R g in 45 g in 30 f g co30 f g co 45 ( ) ( ) F g 0,5 3 0,5 g 0,86 < 0 recht Diee negative Kraft zeigt, daß die Bechleunigungkraft zu klein it, o daß dieer Anatz keinen Sinn acht. Der Veruch, eine Bewegung nach link zu erzeugen ergibt die Becheunigungkraft: link F H H R R g in 30 g in 45 f g co30 f g co 45 ( ) ( ) F g 0,5 3 0,5 g 0,6 < 0 link Diee negative Kraft zeigt, daß die Bechleunigungkraft zu klein it, o daß dieer Anatz keinen Sinn acht. Ergebni: Für k, alo erhält an keine Bewegung.

11 93 Gekoppelte Bewegungen 8 c) Für k gilt. Berechnung der Bechleunigung: H H R R g in45 g in 30 f g co 45 f g co 30 a + + g g 0,5 g 0,5 g 3 a + a ( ) g 0,5 0, , BEISPIEL 4 In dieer Aufgabe wollen wir drei Kontellationen unteruchen. Je nach Größe der Maen kann ich die Anordnung nach link oder nach recht in Bewegung etzen. oder auch gar nicht. Dabei wollen wir die Haftreibung ganz außer acht laen, jedoch berückichtigen wir die Gleitreibung it f 0,5. 3 α30 a) Kontellation : E ei, 3 4 und k. Unteruche, für welche k eine Bewegung nach recht entteht. Welche k folgt au der Bechleunigung a,3 bei der Rechtbewegung? b) Finde eine Zahl k, o daß die ich Anordnung nach link bewegt. c) Gib ein k an, da zu keiner Bewegung führt. Wa paiert bei k,3 und k 3,87? Löung: Bedingung für die Bewegung nach recht: G > H3 + R3 + G k g> 4g in30 + f 4g co30 + g :g k > 4 + 0, k > 3,866

12 93 Gekoppelte Bewegungen 9 Nun ei a,3 und die Anordnung fahre nach recht. Dann gilt: G H3 R3 G k g 4g in30 f 4g co30 g a k+ 4 3 a ( ) k 4 0,5 4 3 g ( 5+ k) ( ) 5+ k a k 3 g # $%$$& 3,87 ( ) k 3 g ( 5+ k) Jetzt etzen wir a,3 ein und löen die Gleichung nach k auf: 5,3 + k,3 k0 38,7 : 5,3 + 38,7 k 0 k,3 8,87 k 44,35 k 5. b) Bei einer Bewegung nach link haben wir zwei Antriebkräfte: G und H 3, während R 3 und G breen. E gilt die Bedingung: G+ H3 > R3 + G + 3 > 3 + g g in30 f g co30 g g + 4g > 0,5 4g 3 + kg : g + > 3 + k k < 3 3,3 Alo bewegen ich beipielweie die Körper nach link, wenn k it. c) Nach a) und b) beweg ich die Anordnung gar nicht, wenn gilt:,3 < k < 3,866, alo zu Beipiel für k 3. Für k,3 haben wir nach link Kräftegleichgewicht, und für k 3,866 nach recht. Da bedeutet, daß die Körper ihren Bewegungzutand nicht ändern. Sind ie in Ruhe, bleiben ie e, erhalten ie einen Antoß, o daß die Haftreibungkraft überwunden wird, dann bewegen ie ich anchließend it der o erreichten Gechwindigkeit gleichförig weter.!