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1 Hochschule Bochum Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Klausurdeckblatt Prüfung: Prüfung: GMA Dauer: 0 Minuten Datum: Prüfer/ in (verantwortlich): Frohn-Schauf/Fulst. Prüfer/ in: Frohn-Schauf/Fulst 3. Prüfer/ in: Hilfsmittel: Zugelassene Hilfsmittel: jeweils ein Skript in Analysis und Algebra in gebundener oder gehefteter Form, keine einzelnen Blätter. Die Skripte dürfen handschriftlich ergänzt sein aber keine eingeklebten oder kopierten Blätter enthalten. Ein Taschenrechner ist nicht erlaubt! Besondere Regelungen: Unbedingt die persönliche Erklärung auf Seite zu Beginn der Klausur lesen und unterschreiben. Die Aufsichten mögen das bitte während der Klausur stichprobenartig überprüfen. Prüfungsteilnehmer/ in: Vorname: Name: Matrikel-Nr.: USB-Stick-Nr.: Abgabezeit: Uhr Rechner-Nr.: Unterschrift: Klausurergebnis: Prüfungsteilnehmer/ in Punkte/ Prozente: Note: Unterschrift/ en: Klausureinsicht: Prüfer/ in Datum: Unterschrift: Prüfungsteilnehmer/ in Aufgabe Punkte Summe. 00 Prozent 00 Bonus Prozent erreicht Beschluss des FB M-Rats am

2 Hochschule Bochum Fachbereich M Mechatronik und Maschinenbau Prof. Dr. rer. nat. Claudia Frohn-Schauf SS 04 Prof. Dr. rer. nat. Joachim Fulst Fachprüfung/Modulprüfung Mathematik, Teil I Persönliche Erklärung zu den Klausurbedingungen: Alle Lösungen müssen lesbar und nachvollziehbar sein. Es zählt nur der jeweils erste, nicht durchgestrichene Lösungsversuch pro Aufgabe. Die Bögen sind zu nummerieren, einseitig zu beschreiben und mit einem ca. vier Zentimeter breiten Rand zu versehen. Die Ergebnisse beider Teilprüfungen werden gewichtet addiert. 40 Punkte in der Mathematik-Klausur entsprechen hierbei 50 Prozent für diese Teilprüfung. Näheres regelt die Prüfungsordnung. Ich weiß, dass inkorrekte mathematische Schreibweisen zu Punktabzügen führen. Ich nehme zur Kenntnis, dass der Besitz eines Handys während der Klausur streng untersagt ist. Erlaubte Hilfsmittel sind auf dem Deckblatt angegeben. Formeln außerhalb des Skriptes dürfen ohne Beweis nur verwendet werden, wenn sie in der Vorlesung besprochen worden sind. Jeglicher eingeklebter oder loser handschriftlicher oder kopierter Zettel führt zum sofortigen Ausschluss von der Klausur. Die Verwendung eines Taschenrechners ist nicht gestattet. Beim Verlassen des Raumes sind der Aufgabenbogen und alle bearbeiteten Aufgaben bei der Aufsicht abzugeben. Unterschrift des Studierenden:

3 Hinweis zu den Aufgaben: Um die volle Punktzahl zu erreichen, müssen alle auftretenden Integrale selbständig gelöst werden. Geben Sie bei jeder partiellen Integration die Hilfsfunktionen u und v bzw. bei Substitutionen die Substitutionsfunktion explizit in einer Nebenrechnung an. Formeln, welche nicht angegeben und nicht in den gedruckten Skripten stehen oder besprochen worden sind, sind zu beweisen; ansonsten werden daraus resultierende Lösungen mit 0 Punkten bewertet. Aufgabe : Unter welcher Bedingung ist das Skalarprodukt zweier gegebener Vektoren a und b negativ? Aufgabe : 6 0 Gegeben seien die Vektoren a, b 6 = = und c = 3. Zum Vektor 5 a soll ein Vielfaches λ des Vektors b addiert werden, so dass die Summe a + λb senkrecht auf dem Vektor c steht. Bestimmen Sie λ. Aufgabe 3: Berechnen Sie die Determinante durch Entwicklung nach der zweiten Spalte (andere Lösungen werden nicht anerkannt!). Geben Sie jede Rechenoperation, welche Sie in der Determinante durchführen, ordnungsgemäß an. 6 4 D = Aufgabe 4: cos( γ ) sin( γ ) Berechnen Sie den neuen Ortsvektor OP sin( γ ) cos( γ ), wenn der Punkt P( 3, 3) um γ = 60 um den Ursprung gedreht wird. Aufgabe 5: Berechnen Sie die. Ableitung der Funktion cos ( x) = + und f ( x) x xe vereinfachen Sie den entstehenden Ausdruck so weit wie möglich.

4 Aufgabe 6: Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung Intervall [0; π] im Bogenmaß. cot( x) = sin( x) im sin( x) Aufgabe 7: Berechnen Sie für die Funktion f ( x) = ln( x) das Taylorpolynom dritten Grades im Entwicklungspunkt x 0 =. Die Potenzen der Differenzen im Ergebnis müssen nicht ausmultipliziert werden. Aufgabe 8: Berechnen Sie das unbestimmte Integral x ( x + ) dx. Aufgabe 9: Berechnen Sie alle Stammfunktionen von f ( t) = a cos ( t). Aufgabe 0: Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? T T T a) a = (,,), b = (,,) und c = (3,5, 3) (Rechnung!) b) a T = (,), b T = (, ), c T (3,5) T und d = (, ) (keine Rechnung, nur Begründung!) Aufgabe : Bestimmen Sie eine kartesische Form der Ebenengleichung für die Ebene E, deren Schnittgerade mit der xy-ebene g : x 4y + = und mit der xz- Ebene g : x 7z 6 + = lautet (Tipp: Achsenabschnittsform). Welchen Abstand hat diese Ebene E vom Ursprung?

5 Aufgabe : Die Lautstärke L, gemessen in Dezibel db, hängt über folgendes Gesetz von der Schallintensität I ab: L I ( ) 0 log 0( I 0 ) =. a) Ein Düsenjet habe beim Start eine Lautstärke L D =30 db. Wie hoch ist die zugehörige Schallintensität I D? b) Laute Rockmusik hat dagegen nur eine Lautstärke L R von 0 db. Um welchen Faktor ist die Schallintensität I D größer als die Schallintensität I R der Rockmusik? Aufgabe 3: Vom Campus C aus soll zu einem Studentenwohnheim S eine Glasfaserleitung verlegt werden (siehe Skizze). Die erforderlichen Grabungen kosten entlang der Straße [000 /m]. und quer über das angrenzende Grundstück, [000 /m]. An welcher Stelle D muss von der Straße geradlinig abgezweigt werden, damit die entstehenden Grabungskosten K minimal werden? Stellen Sie die zu minimierende Funktion auf, und berechnen Sie die Ableitung. Skizze: Aufgabe 4: Berechnen Sie alle Stammfunktionen zu a ln( x ) x dx, a >. Aufgabe 5: π Betrachten Sie die Schwingung f ( t) = cos( t ). 4 a) Geben Sie ohne Differentialrechnung den maximalen und minimalen Funktionswert an. b) Welche Winkelgeschwindigkeit ω, welche Periode T und welchen Phasenverschiebungswinkel ϕ 0 besitzt die Funktion? c) Berechnen Sie die erste Ableitungsfunktion sowie deren sämtliche Nullstellen.