Prüfungsteil 2, Aufgabe 5 Analytische Geometrie

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1 Abitur Mathematik Nordrhein-Westfalen 1GK Abitur Mathematik: Prüfungsteil, Aufgabe 5 Analytische Geometrie Nordrhein-Westfalen 1 GK Aufgabe a (1) 1. SCHRITT: DIE VEKTOREN, UND BERECHNEN SCHRITT: DEN RECHTEN WINKEL NACHWEISEN Ein Blick auf die Vektoren zeigt, dass die Vektoren und gleich lang sind. Das heißt, wenn es einen rechten Winkel gibt, dann wird er von diesen beiden Vektoren gebildet. Es gilt, also stehen die Seiten [] und [] senkrecht aufeinander, d. h. das Dreieck hat bei A einen rechten Winkel. Da [] und [] auch gleich lang sind, handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck. Aufgabe a () 1. SCHRITT: BILDPUNKTE BERECHNEN,6,8 3,6 3 1,8,8,6,8 3, 1 1 1,8, 1

2 Abitur Mathematik Nordrhein-Westfalen 1GK,6,8 1,6 1,8,,8,6,81,6, 1 1,,,6,8 5,6 5,8,6,8,6,85,6,8 1 1,6,8. SCHRITT: RECHTEN WINKEL SUCHEN Es ist, 1,8,,,,8 und,6 1,8,8,8,,, also,,8,8,,,8,8,. Das Bilddreieck ist somit ebenfalls rechtwinklig mit rechtem Winkel bei. Bemerkung: Es kann im Allgemeinen passieren, dass das Bilddreieck zwar wieder rechtwinklig ist, der rechte Winkel aber an einer anderen Ecke liegt. 3. SCHRITT: LÄNGE DER SEITEN [A'B'] UND [A'C'] BERECHNEN Wegen,,8 und,8, ist das Bilddreieck gleichschenklig. Aufgabe a (3) Der Wert der Koordinate ist sowohl bei den Urpunkten als auch bei den Bildpunkten. Das heißt, beide Dreiecke liegen in der Ebene, die parallel zur Ebene verläuft.

3 Abitur Mathematik Nordrhein-Westfalen 1GK Aufgabe b (1) Der Ursprung hat die Koordinaten. Diese Koordinaten erfüllen die Gleichung für. Aufgabe b (). SCHRITT: NACHWEIS DER NICHTKOLLINEARITÄT 1 Für kein ist, denn für die ersten Koordinaten müsste 1 sonst 1 gelten. Somit sind diese beiden Vektoren nicht kollinear. Nicht kollinear bedeutet nicht parallel. Wenn zwei Vektoren parallel sind, dann ist ein Vektor ein Vielfaches des anderen. Du musst also einfach nur zeigen, dass das für die beiden Vektoren und nicht der Fall ist: 1 Schon die erste Zeile führt zu dem Widerpruch SCHRITT: VEKTOREN ALS RICHTUNGSVEKTOREN ERKENNEN Die Koordinaten der Punkte 1 und 1 erfüllen jeweils die Gleichung für, d. h. diese Punkte liegen auf. Da auch der Ursprung auf liegt, sind die Vektoren und jeweils Verbindungsvektoren zweier Punkte auf und somit Richtungsvektoren von. Aufgabe b (3) 1. SCHRITT: BESTIMMEN,6,8,8,6 1,6,8,8, SCHRITT: BESTIMMEN,6,8 1,8,6 1,6 1,8 1,8 1,6 Aufgabe b () 3

4 Abitur Mathematik Nordrhein-Westfalen 1GK Jeder Punkt der Ebene wird vom Ursprung aus durch Addition geeigneter Vielfache der Richtungsvektoren erreicht, d. h. er hat einen Ortsvektor der Form. Da durch eine Matrix gegeben ist und sowie gilt, folgt, d. h. wird wieder auf abgebildet. Aufgabe c (1) 1. SCHRITT: ALLGEMEINEN PUNKT DER GERADEN G BESTIMMEN 3 : 11 Die Gerade hat den allgemeinen Punkt SCHRITT: BERECHNEN,6,8 3,8, ,8 1,,8,8, 1,6,6, SCHRITT: ALLGEMEINEN BILDPUNKT ALS GERADENGLEICHUNG ANGEBEN : 3 1

5 Abitur Mathematik Nordrhein-Westfalen 1GK. SCHRITT: VERGLEICH DER RICHTUNGSVEKTOREN VON UND Die beiden Geraden haben die Richtungsvektoren 1 und 1. Wegen 11 1 sind diese Vektoren kollinear und die beiden Geraden sind daher parallel. 5. SCHRITT: PUNKTPROBE FÜR DEN AUFPUNKT VON MIT MACHEN Aus der Gleichung für die 1. Koordinate folgt 31. Einsetzen von liefert die wahre Aussage Daher liegt der Aufpunkt von auf. Wegen der Parallelität sind also und identisch. Aufgabe c () 1. SCHRITT: ALLGEMEINEN PUNKT DER GERADEN h BESTIMMEN Sei ein beliebiger Punkt auf, der als Aufpunkt einer Parametergleichung von dient. Als Richtungsvektor kann 1 benutzt werden, da parallel zu verläuft. Eine Parametergleichung lautet somit : 1, und der allgemeine Punkt.. SCHRITT: BILDGERADE BERECHNEN,6,8,8,6 1,6 1,,8,8,8 1,6,6,6,6,8,8,6 5

6 Abitur Mathematik Nordrhein-Westfalen 1GK Daraus folgt die Geradengleichung der Bildgeraden:,6,8 :,8, SCHRITT: VERGLEICH DER RICHTUNGSVEKTOREN VON UND Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind wieder kollinear, das heißt, die Geraden und sind parallel.. SCHRITT: PUNKTPROBE FÜR DEN AUFPUNKT VON MIT MACHEN,6,8 1,8,6 Aus der Gleichung für die 1. Koordinate folgt,6,8,8 1,6,,8. Einsetzen von,,8 liefert die wahre Aussage,6,8,,8 1,8,6. Daher liegt der Aufpunkt von auf. Wegen der Parallelität sind also und identisch. 6

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