Das Amperesche Gesetz Der Maxwellsche Verschiebungsstrom Magnetische Induktion Lenzsche Regel

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1 11. Elektrodynamik Das Amperesche Gesetz Der Maxwellsche Verschiebungsstrom Magnetische Induktion Lenzsche Regel 11.6 Maxwellsche Gleichungen 11.7 Elektromagnetische Wellen Elektromagnetische Wellen im Vakuum Eigenschaften elektromagnetischer Wellen

2 Das Ampere sche Gesetz Alternative Formulierung zu Biot-Savart Das Amperesche Gesetz: Beispiel: Unendlich langer Stromleiter Symmetrieüberlegungen zeigen: 1. B keine zum Leiter parallele Komponente 2. B tangential entlang eines Kreises 3. B an jedem Punkt des Kreises gleich Ampere sche Gesetz ergibt:

3 Beispiel: Magnetfeld einer dicht gewickelten Ringspule Strom I Zahl der Windungen N Innenradius a Außenradius b Integration entlang Kreis mit r Grund: B an Punkten der Kreislinie tangential B = konstant

4 Grenzen des Ampere schen Gesetzes: 1. Beispiel: 2 a Für endlichen Leiterabschnitt liefert Ampere: Biot-Savart liefert richtiges Ergebnis: 2. Beispiel: Ampere gilt nur für geschlossene Stromkreise

5 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom 1 2 Problem Für Kurve der Oberfläche 1: Für Kurve der Oberfläche 2: Lösung: Man ersetze Strom I durch I + I V mit Maxwell sche Verschiebungsstrom 0 Widerspruch!

6 Verallgemeinerte Form des Ampere schen Gesetzes: Beachte: 1. Das Ampere sche Gesetz gilt auch im Vakuum (keine Ströme) 2. Ein zeitlich variables E-Feld produziert B-Feld Frage: Wenn zeitlich sich änderndes E-Feld Ursache für ein B-Feld ist, ist dann ein zeitlich sich änderndes B-Feld Ursache für ein E-Feld? Antwort: JA!!! Magnetische Induktion

7 Magnetische Induktion Beispiel: Leiterschleife in B-Feld mit db/dt = 0 Experimente zeigen: Faraday sches Gesetz U = Induktionsspannung = Magnetischer Fluss Frage: Ist das erzeugte E-Feld konservativ? Differentiellen Form

8 Beispiel: Leiterschleife in einem B-Feld - Homogenes B-Feld senkrecht zur Papierebene - B-Feld in Zylinder mit Radius R begrenzt - Änderung des B-Feldes betrage db/dt - E-Feld im Abstand r vom Mittelpunkt =? Es gilt: Magnetische Fluss: Warum? Warum? Flussänderung:

9 Lenz sche Regel Frage: Warum Minuszeichen im Faradayschen Gesetz? Antwort: Lenz sche Regel: Induktionsspannung und induzierter Strom sind stets so gerichtet, dass sie ihrer Ursache entgegenwirken. Beispiel: Stabmagnet bewegt sich auf leitenden Ring zu. Was passiert: 1. Bewegung des Magneten erhöht Fluss durch Ring. 2. Strom im Ring erzeugt B-Feld. 3. Induziertes B-Feld schwächt magnetischen Fluss.

10 Oder: 1. Es wird magnetisches Moment induziert 2. Ring wirkt wie Stabmagnet 3. Ungleichnamige Pole stoßen sich ab Beachte: Lenz sche Regel folgt aus Energieerhaltung Würde Strom in Gegenrichtung erzeugt werden anziehende Kraft auf Stabmagneten. Magnet wird in Richtung Ring beschleunigt. Induzierte Strom wird erhöht. anziehende Kraft auf Magneten wird größer usw.

11 11.6 Maxwell sche Gleichungen Integrale Form Differentielle Form Kraft

12 11.7 Elektromagnetische Wellen Wir hatten: Wellengleichung einer harmonischen Welle (Ausbreitung in x-richtung) y: Wellenfunktion v: Ausbreitungsgeschwindigkeit Wellenfunktion = Lösung der Wellengleichung k: Wellenzahl ω: Kreisfrequenz y 0 : Amplitude

13 Elektromagnetische Wellen im Vakuum Annahme: Der Raum ist quellenfrei keine Ladungen, keine Ströme Maxwellsche Gleichungen des Vakuums

14 Bilden Rotation von (1) und (2) (3) (4) (2) in (3) und (1) in (4) Sie wissen: (Mathe)

15 Mit Nutzung des Laplace Operators Δ analog: E-Feld Allgemeine Form der Wellengleichung für das magnetische Feld im Vakuum Vektorgleichung besteht aus 3 partiellen Dgl.s

16 Ausbreitung nur in einer Dimension (z.b. z-richtung)??? Ebene elektromagnetische Welle (Ausbreitung in z-richtung)

17 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen Ausbreitungsrichtung ist senkrecht zu E und B Nach Gaußschem Gesetz gilt: E z ist unabhängig von z Durch Verschiebungsstromgleichung gilt: Mit den einzelnen Komponenten

18 E z = konstant, setze E z = 0 E z ist unabhängig von z und t. Weiterhin folgt analog aus: B z (z, t) ist unabhängig von z. Aus den Faradayschen Gesetz B z = konstant, setze B z = 0 B z ist unabhängig von z und t.

19 Elektromagnetische Wellen sind transversal. Wellenfunktion (z.b.): E und B sind senkrecht zueinander E und B sind phasengleich (harmonische Wellen)

20 Elektrische Dipolantenne mit Wechselstrom gespeist Das elektrische Feld entfernt sich mit Lichtgeschwindigkeit.

21 Oszillierender Dipol erzeugt elektrische und magnetische Felder.

22 Elektrische Dipolantenne für den Empfang elektromagnetischer Strahlung Das Wechsel-E-Feld erzeugt Wechselstrom in der Antenne.

23 Ringantenne für den Empfang elektromagnetischer Strahlung Wechsel-B-Feld führt zu einem sich ändernden Fluss Φ B induzierter Wechselstrom im Ring