KV Glarus/BM Bs/97 Mathematik. Paul Bischof. Mathe-BM Seite 1

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2 Definition Folgen und Reihen Besteht der Definitionsbereich D einer Funktion ƒ nur aus den aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4,... bzw. 0, 1, 2, 3,... oder aus einem Abschnitt natürlicher Zahlen {1, 2, 3,..., n} bzw. {0, 1, 2,..., n}, so nennt man diese Funktion eine Folge. Ist D ein Abschnitt von N oder N 0, so heisst die Folge endlich. Ist der Definitionsbereich aber die ganze Menge N bzw. N 0, so heisst sie unendlich.wir befassen uns nur mit endlichen Folgen. Für die Folgen verwendet man auch spezielle Schreibweisen: Statt der Variablen x verwendet man n.(n für natürliche Zahlen) Als Funktionsterm (f(x) oder y) verwendet man die Buchstaben a n und nennt a 1 das 1. Glied und a n das n-te Glied der Folge. Die Summe aller Glieder einer endlichen Folge nennt man Reihe. S n = a 1 + a a n-1 +a n Arithmetische Folgen und Reihen Eine Folge <an>, bei der die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder a 2 -a 1, a n -a n-1 für alle n des Definitionsbereichs gleich ist, heisst arithmetische Folge. Die Summe aller Glieder (S n ) nennt man arithmetische Reihe. Die konstante Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern heisst d: Sn = a 1 +(a 1 +d)+(a 1 +2d)+...+(a 1 +(n-1)d). Die Summenformel: Geometrische Folgen und Reihen Eine Folge <a n >, bei der der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder für alle n gleich ist, heisst geometrische Folge, der Summenterm entsprechend geometrische Reihe. Der Quotient: Der Summenterm lautet: Die Summenformel: Mathe-BM Seite 2

3 Finanzmathematik 1. Zinseszins Anwendungen aus Geometrische Folgen und Reihen In der Zinseszinsrechnung beschäftigt man sich mit der Entwicklung von einmalig angelegten Kapitalbeträgen zu einem Zinssatz, der in der Regel im Zeitablauf fest bleibt. Beispiel 1 Frau Berger legt am Ende eines Jahres Ihre Gratifikation von Fr auf ein Sparkonto mit 4-jähriger Kündigungsfrist. Sie vereinbart mit der Bank einen Zinssatz von 5%. Wie entwickelt sich Ihr Sparguthaben? 1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr Allgemein gilt somit K 0 = Anfangskapital K n = Endkapital, Kapital nach n Jahren p = Zinssatz in % Beispiel 2 Götti Karl legte für sein Patenkind Maria anlässlich ihrer Geburt Fr auf einem Jugendsparheft an. Marias Mutter händigt ihr das Sparheft erst an ihrem 20. Geburtstag aus. Wie hat sich das Kapital über diese Zeit entwickelt, wenn der Zinssatz unverändert 5% betrug. Jahre Kapital Jahre Kapital Jahre Kapital Jahre Kapital Mathe-BM Seite 3

4 Beispiel 3 Ein Konto weist heute einen Saldo von Fr auf. Wie gross war das Kapital vor 12 Jahren, wenn der Zinssatz über die ganze Zeit 3% betragen hat und weder Ein- noch Auszahlungen stattgefunden haben. Beispiel 4 Ein Kapital von Fr ist bei einem festen Zinssatz von 4.5%, auf Zinseszins angelegt, auf Fr angewachsen. Wieviele Jahre lag das Kapital auf der Bank? :20000 logarithmieren Beispiel 5 Jemand borgt einer anderen Person Fr auf 10 Jahre ohne Zinsen zu fordern, lässt sich jedoch einen Schuldschein von Fr ausstellen. Wieviel Prozent hat der Gläubiger genommen, wenn man Zinseszinsen rechnet? oder Mathe-BM Seite 4

5 2. Rentenrechnung Legen Eltern für ihr Kind bei der Geburt ein Sparheft mit einem Anfangskapital K 0 zu einem festen Zinssatz von p% an, so kann man mit Hilfe der Zinseszinsrechnung den Kontostand am Ende jeden Jahres feststellen. Häufig zahlen Eltern dann regelmässig jedes Jahr einen konstanten Betrag, eine Rate r, auf das Sparheft ein. Mit Hilfe der Rentenrechnung kann man feststellen, auf welchen Betrag das Kapital einschliesslich der Raten nach n Jahren angewachsen ist. Eine vergleichbare Situation ergibt sich, wenn aus einem Kapital K 0, das zu p% auf Zinseszins angelegt ist, eine konstante Rate r ausgezahlt wird. Man kann mit Hilfe der Rentenrechnung z.b. bestimmen, wie hoch r sein darf, damit aus K 0 beispielsweise 10 Zahlungen erfolgen können. Eine solche Rate, eine regelmässig wiederkehrende Zahlung in gleich bleibender Höhe, nennt man Rente. (Was hier Rente genannt wird, ist keine Altersrente oder Rente aus einer Lebensversicherung; bei solchen Renten im versicherungsmathematischen Sinne muss die durchschnittliche Lebenserwartung des Rentennehmers berücksichtigt werden!) Die Rente r kann Einzahlung oder Auszahlung sein. Erfolgt diese am Anfang eines Jahres, so nennt man die Rente vorschüssig, am Ende jedes Jahres nachschüssig. Am Beispiel einer nachschüssig auszuzahlenden Rente r soll gezeigt werden, wie sich das Anfangskapital K 0 in n Jahren verringert, wenn es zu p% auf Zinseszinsen angelegt wurde. Die nachfolgenden Überlegungen lassen sich sowohl auf Einzahlungen als auch auf vorschüssige Renten übertragen. Herleitung Bei einer nachschüssig zu zahlenden Rente r (Auszahlung), dem Anfangskapital K 0 und dem Zinssatz p% gilt: Betrag am Anfang des 1.Jahres: K 0 K 0 Anfangskapital Betrag nach 1 Jahr: Kapital nach dem 1.Jahr Betrag nach 2 Jahren: Betrag nach 3 Jahren: Kapital nach dem 2.Jahr Kapital nach dem 3.Jahr Jetzt lässt sich die zugrundeliegende Gesetzmässigkeit erkennen: Betrag nach n Jahren: K n Kapital nach dem n-ten Jahr Mathe-BM Seite 5

6 In Term in der eckigen Klammer ist eine geometrische Reihe mit dem Quotienten q \ 1, dem Anfangsglied r und mit n Gliedern. Die Summe lautet (gemäss Summenformel für geometrische Reihen): Für K n erhält man also bei nachschüssiger Rentenauszahlung den Ausdruck: Wird eine nachschüssige Rente r für einen Zeitraum von n Jahren zu einem Kapital K 0 zugezahlt, erhält man entsprechend für K n: Für vorschüssige Renten r sieht die geometrische Reihe in der eckigen Klammer folgendermassen aus: Deren Summe S n ist: Für Kn erhält man demnach -bei vorschüssig auszuzahlender Rente: -bei vorschüssig einzahlbarer Rente: Zusammenfassung: Regelmässig wiederkehrende Zahlungen in gleichbleibender Höhe nennt man Renten. Wird eine Rente am Jahresanfang gezahlt, heisst sie vorschüssig, am Jahresende nachschüssig. Für ein Anfangskapital K 0 und eine vorschüssige Rente r erhält man in n Jahren bei einem festen Zinssatz von p% ein Endkapital K n, für das gilt: wobei das Zeichen + für Einzahlung und das - für Auszahlung steht. Für ein Anfangskapital K 0 und eine nachschüssige Rente r erhält man in n Jahren bei einem festen Zinssatz von p% ein Endkapital K n, für das gilt: wobei das Zeichen + für Einzahlung und das - für Auszahlung steht. Mathe-BM Seite 6

7 Beispiel 1 Jemand legt zu seinem Erbe von Fr noch 20 Jahre lang am Ende eines jeden Jahres Fr dazu. Wie gross ist die Gesamtsumme am Ende des 20. Jahres, wenn der Zinssatz konstant 3% beträgt? K 0 = ; r = 2 000; n= 20 nachschüssig Das Endkapital beträgt Fr Beispiel 2 Jemand legt 12 Jahre lang am Ende jedes Jahres Fr zu 4% auf Zinseszins an. Wie gross ist die gesparte Summe am Ende des 12. Jahres? K 0 = 0; r = 1 200; n= 12 nachschüssig Das Endkapital beträgt Fr Beispiel 3 Rudi Renner will in 5 Jahren ein Auto für Fr kaufen können. Am Anfang des 1. Jahres zahlt er Fr auf ein Sparkonto ein, das 3.5% Zins gibt. Wie gross sind die Raten, die er am Ende des 1. bis 5. Jahres einzahlen muss, damit er am Ende des 5. Jahres Fr besitzt? K 0 = 7 500; n = 5; p = 3.5 (q=1.035); nachschüssig K n = Die Rente (Rate) beträgt Fr Beispiel 4 Ein Kapital, das zu 4% auf Zinseszins angelegt ist, weist einen Stand von Fr aus. Der Besitzer will jeweils am Jahresanfang eine konstante Rente beziehen, dass sein Kapital nach 20 Jahren aufgebraucht ist. Wie gross muss die Rente sein? K 0 = ; n = 20; p = 4 (q=1.04); K n =0 vorschüssig Die Rente beträgt Fr Mathe-BM Seite 7

8 Notizen Mathe-BM Seite 8