1 Grundlagen. 2 unterjährige Verzinsung. Dozent Mohamed Naji 22. Oktober

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1 Dozent Mohamed Naji 22 Oktobe Gundlagen Leee Summe n 1 k=n a k = 0 Leees Podukt n 1 a k = 1 n c=nc k=1 n k=1 n k=1 k= n(n+1) 2 k=n k 2 = n(n+1)(2n+1) 6 Fü x 1 gilt n 1 k=0 x k = 1 xn 1 x n 1 und k=1 Newton Vefahen: x n = x n 1 f (x n 1) f (x n 1 ) ) Po Jah liegt ein Zinssatz i vo kx k = x nxn +(n 1)x n+1 (1 x) 2 Das Jah ist in m gleich lange Zeitäume (zb Tagen, Monaten, Quatale, Semeste, usw) geteilt von t 1 m 1 J bis t 2 m 2 J gilt es Tage 30(m 2 m 1 )+(t 2 t 1 )+1 bei voschüssige Zahlung bzw 30(m 2 m 1 )+(t 2 t 1 ) bei nachschüssige Zahlung 2 untejähige Vezinsung wid am Anfang eines Zeitaumes L h+1 und steht t Zeitäumen (also bis L h+t ) auf dem Konto, ohne dass das Jahesende übeschtitten wid i pa Ein Jah 1 Zeitaum L 1 L h+1 L h+2 L h+t m Zeitaum L m B E K Einfache Vezinsung

2 Dozent Mohamed Naji 22 Oktobe E= (1+t i m ) K=E(1+(m h t) i m ) B= K 1+i Veallgemeinete Zinseszinsfomel: falls h = m t und das Geld bleibt weitee n Jahen auf das Konto so hat man am Ende +1 = (1+t i m ) qn Newton Vefahen Funktion F(q)= t m qn+1 + (1 t m ) qn +1 Ableitung F (q)= t(n+1) m K Statwet q 0 = n n+1 Zinszinses E= (1+ i m )t qn + (1 t m ) n qn 1 K=E(1+ i m )m h t B= K 1+i Stetige Vezinsung Fü t=m + gilt E = e i 3 untejähige voschüssige Rente i pa Ein Jah 1 Zeitaum L 1 L h+1 L h+2 L h+t m Zeitaum L m B E K Einfache Vezinsung: E= (t+ t(t+1) 2 i m )

3 Dozent Mohamed Naji 22 Oktobe K=E(1+(m h t) i m ) B= K 1+i 4 untejähige nachschüssige Rente i pa Ein Jah 1 Zeitaum L 1 L h+1 L h+2 L h+t m Zeitaum L m B E K Einfache Vezinsung: E= (t+ t(t 1) 2 i m ) K=E(1+(m h t) i m ) B= K 1+i 5 Tilgungsplan Eine Schuld in de Höhe von S Euo ist innehalb von n Jahen mit Zinssatz p% zu tilgen i= p 100 q=1+i 51 Tilgungsplan eine Ratenschuld T= S n Jah j Restschuld zu Beginn des Jahes R j Zinsen auf die Restschulden Tilgung T j Jahesleistung Z j +T j Z j

4 Dozent Mohamed Naji 22 Oktobe R 1 = S Z 1 = i R 1 T 1 = T Z 1 + T 1 j R j = R j 1 T Z j = i R j T j = T Z j + T j n 52 Tilgungsplan duch gleichbleibende Annuitäten Annuität A= S qn i 1 Jah j Restschuld zu Beginn des Jahes R j Zinsen auf die Restschulden Tilgung T j Jahesleistung A = Z j Z j + T j 1 R 1 = S Z 1 = i R 1 T 1 = A Z 1 Z 1 + T 1 j R j = R j 1 T Z j = i R j T j = A Z j Z j + T j n 53 Tilgungsplan eine gesamtfälligen Schuld Z= S i Jah j Restschuld zu Beginn des Jahes R j Zinsen auf die Restschulden Tilgung T j Jahesleistung Z j +T j Z j 1 R 1 = S Z 1 = S i T 1 = 0 Z 1 + T 1 j R j = S Z j = S i T j = 0 Z j + T j n 1 R n 1 = S Z n 1 = S i T n 1 = 0 Z n 1 + T n 1 n R n = S Z n 1 = S i T n = S Z n + T n

5 Dozent Mohamed Naji 22 Oktobe jähliche (gleichgosse) nachschüssige Rente i pa 1 Jah 2 Jah j Jah (n 1) Jah n Jah Endwet = qn 1 q 1 Bawet = Newton Vefahen fü den Endwet Funktion F(q)= qn 1 q 1 Ableitung F (q)= (n 1)qn n (q 1) 2 K Statwet q 0 = n n (n 1) Newton Vefahen fü den Bawet Funktion F(q)= qn 1 q 1 Ableitung F (q)= qn+1 (n+1) q+n +1 (q 1) 2 Statwet q 0 = n+1 n 2

6 Dozent Mohamed Naji 22 Oktobe jähliche (gleichgosse) voschüssige Rente i pa 1 Jah 2 Jah j Jah (n 1) Jah n Jah Endwet = q qn 1 q 1 Bawet = Newton Vefahen fü den Endwet Funktion F(q)= q qn 1 q 1 Ableitung F (q)= n qn+1 (n+1) + 1 (q 1) 2 2 K Statwet q 0 = n+1 n n Newton Vefahen fü den Bawet Funktion F(q)= 1 qn 1 q 1 Ableitung F (q)= qn n q+n 1 (q 1) 2 Statwet q 0 = n (n 1) 2

7 Dozent Mohamed Naji 22 Oktobe untejähige und jähliche (gleichgosse) nachschüssige Rente i pa 1 Jah 2 Jah n Jah L 1,1 L 1,2 L 1,m L 2,1 L 2,2 L 2,m L n,1 L n,2 L n,m = (m+i m 1 2 ) qn 1 q 1 = 9 untejähige und jähliche (gleichgosse) voschüssige Rente i pa 1 Jah 2 Jah n Jah L 1,1 L 1,2 L 1,m L 2,1 L 2,2 L 2,m L n,1 L n,2 L n,m = q (m+i m+1 2 ) qn 1 q 1 =

8 Dozent Mohamed Naji 22 Oktobe geometische jähliche nachschüssige Rente i pa b b j 1 b n 2 b n 1 1 Jah 2 Jah j Jah (n 1) Jah n Jah = bn b q = b=1± w geometische jähliche voschüssige Rente i pa b b j 1 b n 2 b n 1 1 Jah 2 Jah j Jah (n 1) Jah n Jah = q bn = b=1± w 100 b q

9 Dozent Mohamed Naji 22 Oktobe aithmetische jähliche nachschüssige Rente i pa +d + ( j 1)d + (n 2)d + (n 1)d 1 Jah 2 Jah j Jah (n 1) Jah n Jah = qn 1 q 1 + d qn 1 n (q 1) 2 q 1 = 13 aithmetische jähliche voschüssige Rente i pa +d + ( j 1)d + (n 2)d + (n 1)d 1 Jah 2 Jah j Jah (n 1) Jah n Jah = q qn 1 q 1 + d q qn 1 n (q 1) 2 q 1 =

10 Dozent Mohamed Naji 22 Oktobe Investition i pa K 0 1 Jah 2 Jah j Jah (n 1) Jah n Jah c 1 c 2 c j c n 1 c n K 0 = c c c j j + +c n 1 q+c n Newton Vefahen Funktion F(q)= K 0 + c c c j j + +c n 1 q+c n Ableitung F (q)= c c jc j j + +(n 1)c n 1 q+nc n q n+1 c Statwet q 0 = n 1 + c 2 + +c j + +c n 1 + c n K 0

11 Dozent Mohamed Naji 22 Oktobe allgemeine jähliche nachschüssige Rente i pa 1 2 j n 1 n 1 Jah 2 Jah j Jah (n 1) Jah n Jah = n j j j=1 = 16 allgemeine jähliche voschüssige Rente i pa 1 2 j n 1 n 1 Jah 2 Jah j Jah (n 1) Jah n Jah = n j=1 = n j+1 j q

12 Dozent Mohamed Naji 22 Oktobe Handel mit gesamtfällige Schuld Einkaufspeis: G Vekaufspeis: H Laufzeit in Jahen: n Po Jah liegt ein Zinssatz i vo Kus C= G H 100 Newton Vefahen fü den effektiven Zinsfakto p e f f (setze x=1+ p e f f 100 ) Funktion F(x)= q 1 x n xn 1 x C x n 100 Ableitung F (x)= 1 q x n+1 xn+1 (n+1)x+ n + n (x 1) 2 q 1 n n 100 (q 1)+100 Statwet x 0 =, C> 100 C q, C< 100