P(mindestens zwei gleiche Augenzahlen) = = 0.4 = = 120. den 5 vorbereiteten Gebieten drei auszuwählen: = 10. Deshalb ist 120 =

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1 Hochschule Harz Fachberech Automatserung und Informatk Prof. Dr. T. Schade Ft for Ab & Study - Aprl 2014 Lösungen zu den Aufgaben zu elementarer Wahrschenlchketsrechnung 1. a = 33 = b = 14 = c (12 2 ( 8 2 ( 20 4 = = a P(mndestens ene 6 = 1 P(kene 6 = 1 ( = = b c Anzahl Ergebnsse mt verschedenen Augenzahlen: = 120, Anzahl Ergebnsse mt dre glechen Augenzahlen: 6, also gbt es = 96 Ergebnsse mt mndestens zwe glechen Zahlen: P(mndestens zwe gleche Augenzahlen = = De Anzahl aller Möglchketen, aus n = 10 Gebeten dre auszuwählen, st ( 10 = = 120. a De Anzahl günstger Möglchketen st glech der ( Anzahl Möglchketen, aus 5 den 5 vorbereteten Gebeten dre auszuwählen: = 10. Deshalb st 3 P(X = 3 = = b De Anzahl Möglchketen, aus den 5 vorbereteten Gebeten zwe auszuwählen und das drtte Prüfungsgebet aus den 5 ncht vorbereteten st: ( 5 2 ( 5 1 = 50. Deshalb st P(X = 2 = = c Analog zu a st P(X = 0 = = Hat sch der Prüflng auf 6 Gebete vorberetet, so gbt es ( 6 a = 20 Möglchketen, aus desen Gebeten dre auszuwählen. Deshalb 3 st P(X = 3 = =

2 ( ( 6 4 b = 15 4 = 60 Möglchketen, aus den vorbereteten Gebeten 2 1 zwe und aus den ncht vorbereteten ens auszuwählen. Deshalb st P(X = 2 = ( = c = 4 Möglchketen, aus den ncht vorbereteten Gebeten dre auszuwählen, so dass P(X = 0 = = a 1 3. b 2 5. c Der erwartete Gewnn st (Achtung: der Ensatz von 1 Euro st mmer abzuzehen! E(X = 0.75 ( = 0.3 Se verleren also (erwartet be jedem Spel 30 Cent. 6. Wr bezechnen de Eregnsse mt A: es gbt Alarm und B: es brennt. Dann wssen wr: P(A B = 0.01, P(Ā B = 0.05 und P(B = 0.1, also P( B = 0.9. Ausserdem glt P(A B+P(Ā B = 1 P(Ā B = = 0.99 P(Ā B+P(A B = 1 P(A B = = 0.95, so dass P(Ā B = P(Ā B P( B = 0.891, P(A B = P(A B P( B = 0.009, P(Ā B = P(Ā B P(B = 0.005, P(A B = P(A B P(B = a Gesucht st de Wahrschenlchket P(B A = P(A B P(A b Her st gesucht = P(A B+P(A B = = P(B Ā = P(B Ā P(Ā B+P(Ā B = =

3 7. Mt K: Person hat de Krankhet und T: Test zegt Krankhet an kennen wr folgende Wahrschenlchketen: P(K = 0.05, P(K = 0.95, P(T K = 0.96, P(T K = Damt wssen wr auch und P(T K = 1 P(T K = 0.04, P(T K = 1 P(T K = P(T K = P(T K P(K = = 0.002, P(T K = P(T K P(K = = 0.048, P(T K = P(T K P(K = = P(T K = P(T K P(K = = 0.798, Damt st P(T = P(T K+P(T K = 0.2, also P(T = 0.8. a P(K T = P(T K P(T = = , b P(K T = P(K T P(T = = Wr bezechnen mt S: Verscherter verursacht Schadensfall und mt U25: Verscherter st unter 25 Jahre alt. De folgenden Wahrschenlchketen snd gegeben: P(S U25 = 0.24, P(S U25 = 0.08 und P(U25 = 0.1. Dann kennen wr auch de Wahrschenlchketen P(S U25 = 1 P(S U25 = 0.76, P(S U25 = 1 P(S U25 = 0.92 und P(U25 = 0.9. a Gefragt st b Wr suchen P(S = P(S U25+P(S U25 = P(S U25 P(U25+P(S U25 P(U25 = = P(U25 S = P(U25 S P(S = P(S U25 P(U25 P(S = = 0.25

4 9. Wr schreben R für enen Regentag und R für enen Tag ohne Regen, und hängen das Wetter an den nächsten dre Tagen hnterenander: R R R bedeutet z.b. ken Regen, danach Regen, dann weder ken Regen. Das Wetter n den nächsten Tagen, wenn wr am drtten Tag kenen Regen haben wollen, könnte so aussehen: RRR, RRR, RRR, RRR a Wenn es heute trocken st, sehen de Wahrschenlchketen so aus: P(RRR = = P(RRR = = P(RRR = = P(RRR = = Also st P(n dre Tagen ken Regen = 0.65 und P(n dre Tagen Regen = b Wenn es heute regnet, sehen de Wahrschenlchketen so aus: P(RRR = = P(RRR = = P(RRR = = P(RRR = = Also st P(n dre Tagen ken Regen = und P(n dre Tagen Regen = 0.475

5 Hochschule Harz Fachberech Automatserung und Informatk Prof. Dr. T. Schade Ft for Ab & Study - Aprl 2014 Aufgaben zu Bnomal- und Normalvertelung 1. Es legt ene Bnomalvertelung mt p = 1 8 vor. a Wsket für kenen Gewnn bem Kauf von 10 Losen: P( ken Gewnn = ( 7 10 = b P(mndestens zwe Gewnne = 1 - ( P(ken Gewnn + P(en Gewnn: ( (7 20 ( ( P( 2 Gewnne = = 1 ( = Erwartungswert ener Bnomalvertelung: E(X = n p, also bem Kauf von n = 32 Losen: E(X = Bnomalvertelung mt p = 0.85 a Gesucht st P(k = 9 be n = 10: ( 10 P(k = 9 = ( = b Mt n = 100, p = 0.15 st gesucht ( 100 P(k = 3 = ( ( = Ist X = Anzahl Rhesus-postver Personen n ener Stchprobe von 500 Personen, so st X B(500, Wr können X durch ene normalvertelte Zufallsvarable Y N(µ,σ 2 approxmeren, wobe µ = = 425 und σ 2 = Wr suchen also en Intervall, n dem Y mt ener Wahrschenlchket von mndestens 95 % legt. Wr transformeren Y auf de standardnormalvertelte Zufallsvarable Z = Y : P(425 w X 425+w P(425 w Y 425+w w = P( w Y 425 w = P( Z w w = Φ( Φ( w = 2 Φ( w 63.75

6 Dese Wahrschenlchket soll mndestens 95 % betragen, also w 2 Φ( w Φ( = Also muss w c gelten, wobe c das Quantl der Standardnormalvertelung st. w c = = Wr erhalten also das Intervall [425 16,425+16] = [409,441]. (Benutzen wr de Bnomalvertelung selbst, erhalten wr für P(X [409, 441] = Für das klenere Intervall [410,440] st P(X [410,440] = Bnomalvertelung mt Erfolgswahrschenlchket p 0.03 (wr rechnen mt p = 0.03, dem worst case. a Das Eregns Von 10 Glühbrnen mndestens ene defekt st das Gegentel von Von 10 Glühbrnen kene defekt. Dese Wahrschenlchket st enfach auszurechnen: ( 10 ( P(kene defekt = ( = = Damt st also P( mndestens ene defekt = = b De Wahrschenlchket, dass von 100 Glühbrnen höchstens 3 defekt snd, st P(X 3 = 3 =0 ( 100 (0.03 ( = ( = c Wr suchen k, so dass glt: P(X k n = 50 = k =0 ( 50 (0.03 (

7 Wr berechnen P(X = n = 50 für = 0,1,...: ( 50 P(X = 0 = = ( 50 P(X = 1 = = ( 50 P(X = 2 = = ( 50 P(X = 3 = = ( 50 P(X = 4 = = Damt st also P(X 3 = und P(X 4 = Wr müssen also k mndestens 4 wählen. 4. Bnomalvertelung mt p = 0.8. a P(15 Treffer = ( = b n = 30 P(mndestens 27 Treffer = Be n = 40 Würfen st P(X 36 = 1 30 =27 ( 30 (0.8 ( = = =37 ( 40 (0.8 ( = 1 ( = ( 40 (0.8 P(X > 38 = ( =39 = = ( 40 (0.8 P(28 X 30 = ( =28 = = = P(32 < X < 37 = P(33 X ( 40 (0.8 = ( =33 = =

8 Mt Approxmaton durch de normalvertelte Zufallsvarable Y, wobe µ = 32 und σ 2 = 6.4, st ohne Stetgketskorrektur ( Y 32 P(X 36 P(Y 36 = Φ σ 2.53 = Φ(1.58 = ( P(X > 38 1 P(Y 37 = 1 Φ Z = 1 Φ(1.98 = = P(28 X 30 P(Y 30 P(Y 27 = Φ( Φ( = Φ( 0.79 Φ( 1.98 = ( ( = P(32 < X < 37 P(Y 36 P(Y 32 = Φ( Φ( = Φ( Φ(0 = = Mt Stetgketkorrektur erhält man ( Y 32 P(X 36 P(Y = Φ σ = Φ(1.78 = P(X > 38 1 P(Y = 1 Φ ( Z = 1 Φ(2.57 = = P(28 X 30 P( Y = Φ( Φ( = Φ( Φ( 1.78 = ( ( = 0.24 P(32 < X < 37 P( Y = Φ( Φ( = Φ(1.78 Φ(0.198 = = De Approxmaton st ncht sehr gut, wel np(1 p = = 6.4 < 9. (Faustregel: de Approxmaton st gut genug, wenn np(1 p > 9 5. Ist X N(5,σ 2 = , so st Y = X standardnormalvertelt. Damt st a P(X < 5.3 = P(Y < = Φ(2 = b P(X > 5.2 = 1 P(X 5.2 = 1 P(Y < = 1 Φ(1.33 = = c P(4.85 < X 5.15 = P( < Y = 2 Φ(1 1 = = , d.h. der Ausschussantel beträgt %. 6. Wr bezechnen de tatsächlche Füllmenge mt X, dann st X normalvertelt mt µ = 50 und σ = 0.8 und Z = X st standardnormalvertelt.

9 a P(X < 49 = P(Z < = Φ( 1.25 = = b P(X > 52 = 1 P(X 52 = 1 P(Z = 1 Φ(2.5 = = c Jetzt st X N(50,σ = 1.2 und Z = X N(0,1. Dann st P(X < 49 = P(Z < = Φ( = = P(X < 49 = P(Z < = Φ( = = P(X > 52 = 1 P(Z < = 1 Φ(1.67 = = a Der Schätzwert für den Erwartungswert µ ener Normalvertelung st der arthmetsche Mttelwert x der Stchprobe, also für µ : x = 1 12 ( = 35.3, für σ 2 : ˆσ 2 1 = n 1 (x x 2 = 1 11 (( ( = b Der Erwartungswert für den Ertrag auf 100 Hektar beträgt = 3530 dt. c Gesucht st P(X 32 be ener Normalvertelung mt Parametern µ = 35.3 und σ 2 = 3.444: P(X 32 = 1 P(X < 32 = 1 P( X µ < σ = 1 Φ( = 1 ( = d Das Konfdenzntervall für µ be bekanntem σ st [ x c σ n, x c σ n ], wobe σ = 3.5. c st der Wert, für den glt Φ(c = 1+γ, her also Φ(c = Dabe st Φ de Vertelungsfunkton der Standardnormalvertelung. Aus ener Tabelle lesen wr für c den Wert 1.96 ab. Der arthmetsche Mttelwert der Stchprobe st x = Damt st das Konfdenzntervall für µ: [ , ] = [ 34.24, ]. 12

10 Hochschule Harz Fachberech Automatserung und Informatk Prof. Dr. T. Schade Ft for Ab & Study - Aprl 2014 Lösungen zu den Aufgaben zu statstschen Tests 1. Ensetger Gauß-Test für ene bnomalvertelte Grundgesamthet der Nullhypothese H 0 : p p 0 = 0.5. Mt n = 3000 und ˆp = erhält man für de Testgröße U = (ˆp p 0 n p0 (1 p 0 = ( = Der Annahmeberech für de Nullhypothese legt be klenen Werten von U m Intervall (, c] wobe c das Quantl der Standardnormalvertelung st. Aus ener Tabelle lesen wr c = ab. De Nullhypothese kann also mt Irrtumswahrschenlchket α = 0.01 abgelehnt werden, da U > c. 2. Ensetger Gauß-Test für ene bnomalvertelte Grundgesamthet der Nullhypothese H 0 : p p 0 = Mt n = 500 und ˆp = erhält man für de Testgröße U = De Nullhypothese kann be α = 0.05 ncht abgelehnt werden, da U < c = (0.95-Quantl der Standardnormalvertelung. 3. Ensetger Gauss-Test für ene bnomalvertelte Grundgesamthet, H 0 : p Mt ˆp = 0.11 st de Testgröße U = , der Annahmeberech st (,1.75], also wrd H 0 angenommen. 4. a X n st bnomalvertelt mt Parametern n und p = 1 6. b ( Wr suchen P(X = 5 für X 35 B(35, 1 6. P(X = 5 = ( 35 5 ( ( Wr suchen P(X 10 für X 50 B(50, 1 6. P(X 10 = 10 =0 ( 50 (aus Tabelle der Bnomalvertelung ( 1 6 ( 5 30 = ( 5 50 = c Jetzt st n = 100. Wr suchen den Annahmeberech enes zwesetgen Gauss- Tests für ene bnomalvertelte Grundgesamthet, d.h. wr suchen k 1 und k 2, so dass unter H 0 glt P(k1 X 100 k 2 1 α = 0.95

11 oder anders ausgedrückt: P(X 100 k 1 1 α 2 = und P(X 100 k 2 +1 α 2 = De zwete Unglechung kann man besser so verwenden: P(X 100 k 2 1 α 2 = Aus ener Tabelle der Bnomalvertelung kann man ablesen: P(X = , P(X = also wählen wr k 1 = 10, und P(X = , P(X = also st k 2 = 24. Damt wrd also de Nullhypothese angenommen, wenn de Anzahl der gefundenen farbgen Chps m Intervall [10, 24] legt, sonst abgelehnt. 5. De Anzahl X der Kunden, de Interesse an längeren Öffnungszeten haben, st bnomalvertelt mt unbekannter Wahrschenlchket p. Werden n = 200 Kunden befragt, st also X B(200,p. a De Nullhypothese H 0 : p p 0 = 0.4 wrd angenommen, wenn der Antel ˆp (von Kunden, de längere Öffnungszeten wollen n der Stchprobe groß st und abgelehnt be klenem ˆp. Der Ablehnungsberech für den Test st also [0,p k ] oder, n der Anzahl Kunden ausgedrückt, de be der Befragung längere Öffnungszeten gut fnden, de Menge {0,1,2,...,k}. Wr wollen k so bestmmen, dass unter der Voraussetzung p = 0.4 (d.h. H 0 stmmt de Wahrschenlchket für X k höchstens α = 0.05 beträgt. Berechnen wr de Bnomalwahrschenlchketen b(200,0.4, für = 0,1,... oder schauen se n ener Tabelle nach, stellen wr fest, dass 68 =0 69 b(200,0.4, = b(200,0.4, = =0 68 =0 69 =0 ( 200 ( = = Damt muss als Ablehnungsberech also {0,1,...68} gewählt werden. Alternatv kann man auch de Approxmaton durch de Standardnormalvertelung benutzen. Her soll H 0 abgelehnt werden, wenn U = (ˆp p 0 n p0 (1 p 0 c,

12 wobe c das 0.05-Quantl der Standardnormalvertelung st. Aus ener Tabelle lesen wr c = ab. Damt erhalten wr für p 0 = 0.4 und n = 200: (ˆp p 0 n p0 (1 p 0 c (ˆp ( (ˆp = (ˆp = ˆp = Damt wrd de Nullhypothese abgelehnt, wenn höchstens ˆp n = 68.6 der 200 befragten Kunden Interesse an den längeren Öffnungszeten haben. b Ist p = 0.25, st de Anzahl Kunden mt Interesse an längeren Öffnungszeten X B(200,0.25. De Hypothese H 0 aus Tel a wrd angenommen, falls mndestens 69 der 200 befragten Kunden sch für längere Öffnungszeten aussprechen. De Wahrschenlchket dafür beträgt 200 ( 200 P(X 69 p = 0.25 = =69 68 ( 200 = 1 = = = Zwesetger Gauß-Test der Nullhypothese H 0 : µ = µ 0 = 100. Mt n = 10, σ = 3 und x = 102 erhält man für de Testgröße U = Für α = 0.05 st c = 1.96 und H 0 wrd abgelehnt, für α = 0.01 st c = und H 0 kann ncht abgelehnt werden. 7. Ensetger t-test der Nullhypothese H 0 : µ µ 0 = 50. Mt n = 12 und x = 42, s = 11.9 berechnet man de Testgröße T = Das 0.01-Quantl der t-vertelung mt 11 Frehetsgraden st t 11,0.01 = t 11,0.99 = 2.718; der Annahmeberech st also [ 2.718,. Da T > 2.718, kann de Nullhypothese ncht abgelehnt werden.

13 Hochschule Harz Fachberech Automatserung und Informatk Prof. Dr. T. Schade Ft for Ab & Study - Aprl 2014 Lösungen zu den alten Abturaufgaben aus Sachsen-Anhalt 1. a Es handelt sch um Zehen ohne Zurücklegen. Damt st P(A = = 0.7. Wrd jede enzelne Packung mt Wahrschenlchket p = 0.7 angenommen, so glt für de Annahme aller 50 Packungen: P(B = ( = b Angegeben snd de folgenden Wahrschenlchketen P(F1 F2 = 0.1, P(F1 = 0.04, P(F1 F2 = Wegen P(F1 F2 = P(F1+P(F2 P(F1 F2 st P(F2 = P(F1 F2 P(F1+P(F1 F2 = = De beden Fehler F1 und F2 snd stochastsch unabhängg, wenn P(F1 F2 = P(F1 P(F2 glt. Da P(F1 P(F2 = = , snd also F1 und F2 stochastsch unabhängg. c De Zufallgröße X : Anzahl der fehlerhaften CDR n der Stchprobe von n = 100 CDR st bnomalvertelt mt n = 100 und unbekannter Wahrschenlchket p. De Nullhypothese st H 0 : p Ene große Anzahl fehlerhafter CDR n der Stchprobe sprcht gegen H 0, so dass H 0 also für X {0,1,...k} angenommenwrd.(der AblehnungsberechAst dann A = {k+1,k+2,...,100}. Wr müssen k so wählen, dass be p = 0.05 de Wahrschenlchket für X A höchstens α = 0.05 st. Das bedeutet, dass de Wahrschenlchket für X A mndestens 1 α = 0.95 sen muss. Dazu berechnen wr de Wahrschenlchketen für X k für aufstegende Werte von k (oder schauen n ener Tabelle nach: 8 b(100,0.05, = =0 9 b(100,0.05, = =0 8 ( = ( = =0 =0 Damt st A = {0,1,...8,9} und A = {10,11,...,100}.

14 d Berechnen Se de fehlenden Funktonswerte der Vertelungsfunkton der Bnomalvertelung B (100,p (A, wobe A der von Ihnen ermttelte Ablehnungsberech aus dem letzten Aufgabentel st, für verschedene Werte von p: p = 0.04 : B (100,0.04 (A = p = 0.05 : B (100,0.05 (A = p = 0.1 : B (100,0.1 (A = p = 1 6 : B (100, 1 (A = p = 0.2 : B (100,0.2 (A = p = 0.3 : B (100,0.3 (A 1 2. a P(Y = 39 = 1 ( = 0.1. Den Erwartungswert berechnet man aus E(Y = = b ( X st bnomalvertelt mt Parametern n = 100 und p = 0.9. ( Wr berechnen P(X = 90 und P(X 90: ( 100 P(X = 90 = = , ( ( 100 P(X 90 = = = =90 De gesuchte bedngte Wahrschenlchket erhählt man dann aus P(X = 90 X 90 = =0 P(X = 90 P(X 90 = = ( Wr müssen k so wählen, dass de Wahrschenlchket P(X k mndestens 0.9 beträgt. Das st glechbedeutend mt P(X k Wr suchen den maxmalen Wert von k, für den dese Unglechung noch glt und berechnen de Wahrschenlchketen P(X für anstegendes (oder lesen de Werte aus ener Tabelle ab. Wr erhalten P(X 85 = P(X 86 = 85 =0 86 ( 100 ( 100 = = = Wr können also k 1 maxmal glech 85 wählen, damt st der maxmale Wert für k = 86.

15 c ( H 0 st de geegnete Nullhypothese. De rrtümlche Ablehnung der Nullhypothese bedeutet ene rrtümlche Auslösung ener Bestellung, was den schwerwegenderen Fehler darstellt. Deser Fehler st durch das Sgnfkanznveau begrenzt. ( Berechnung der Wahrschenlchket ener rrtümlchen Bestellung: De bnomalvertelte Zufallsgröße Z hat Parameter n = 500 und (falls H 0 zutrfft p 0 = 0.25 (ungünstgster Fall. Wr berechnen de Wahrschenlchket für Z A, also 139 ( 500 P(Z 140 = 1 P(Z 139 = = Benutzen wr de Approxmaton durch de Normalvertelung mt Parametern µ = n p = = 125 und σ 2 = np(1 p = 93.75, so erhalten wr ( µ 1 P(Z 139 = 1 Φ =0 σ 2 ( = 1 Φ = = = 1 Φ( a ( Begründung der Bnomalvertelung von X: X beschrebtde AnzahlTreffer (=Anzahlfehlgeleteter Gepäckstücke n ener Bernoull-Kette der Länge Für jedes der Gepäckstücke werden genau zwe Eregnsse, nämlch fehlgeletet oder ncht fehlgeletet unterscheden. De Wahrschenlchket der beden Eregnsse bleben n jeder Stufe (für jedes Gepäckstück unverändert. ( Der Erwartungswert st E(X = n p = = 17, de Standardabwechung σ st de Wurzel aus der Varanz: also st σ = V(X = n p (1 p = = ( Wr approxmeren Y durch de Normalvertelung mt µ = 17 und σ 2 = (mt Stetgketskorrektur: P(X 14 = Φ( = Φ( 2.5 = Φ( 0.61 = 1 Φ(0.61 =

16 b ( P(Y 4 = 1 P(Y 3 = 1 3 ( =0 = = ( Da 4 A, wrd de Nullhypothese abgelehnt. De Vermutung, dass der Antel fehlgeleteter Gepäckstücke sogar 0.05 beträgt, st damt bestätgt. c Zunächst st de Wahrschenlchket, dass en Gepäckstück ncht fehlgeletet wrd (also sofort am Zelflughafen ankommt, = Von den 1.7 % fehlgeleteter Gepäckstücke kommen 85 % nach spätestens 48 Stunden am Zelflughafen an. Damt st de Wahrschenlchket, dass en fehlgeletetes Gepäckstück trotzdem rechtzetg ankommt: = Damt kommen = % der Gepäckstücke spätestens nach 48 Stunden am Zelflughafen an. Der Antel der auch dann noch ncht angekommenen Gepäckstücke st =

17 Hochschule Harz Fachberech Automatserung und Informatk Prof. Dr. T. Schade Ft for Ab & Study - Aprl 2014 Lösung zu der alten Abturaufgabe aus Nedersachsen 1. Wr bezechnen de vorkommenden Eregnsse we folgt: MK : Nuss mt verwertbarem Kern. OK : Nuss ohne verwertbaren Kern. A : Nuss wrd ausgesondert. NA : Nuss wrd ncht ausgesondert. Das Baumdagramm seht dann so aus: OK NA A MK NA A De gesuchten Wahrschenlchketen snd: P(E 1 = = P(NA = = P(E 2 = P(E 1 P(NA = Wenn de Standardabwechung σ größer als 3 st, kann man de Bnomalvertelung durch de Normalvertelung annähern. Das hat den Vortel, dass man Tabellenwerte verwenden kann. Für alle Normalvertelungen snd de Wahrschenlchketen n entsprechenden σ- Umgebungen glech. De Standardnormalvertelung mt µ = 0 und σ = 1 lefert: Φ(1.78 Φ( 1.78 = Φ(1.78 (1 Φ(1.78 = 2 Φ( = Es glt also für alle Normalvertelungen, dass de Wahrschenlchket dafür, dass Eregnsse n der 1.78σ - Umgebung legen, etwa 92.5 % beträgt.

18 De relatve Häufgket der MK-Nüsse n der Stchprobe beträgt h = = De Wahrschenlchket für MK-Nüsse n der Gesamtmenge der brauchbaren Nüsse st unbekannt, wr bezechnen se mt p. Zu bestmmen snd alle Wahrschenlchketen p, so dass h n der 1, 78σ-Umgebung legt (Scherhetswahrschenlchket etwa 92.5 %. Also glt: (p h σ 2 = p(1 p n (p p(1 p 5000 bzw. Durch Lösen der entsprechenden quadratschen Glechung erhält man de Grenzen des Vertrauensntervalls. (Graphscher Taschenrechner: Bestmme de Schnttpunkte der beden Funktonen Y 1 (x = (x und Y 2 (x = x(1 x Man erhält das Intervall [ ; ]. Für de Maschne A wurde P(E berechnet. Dese Wahrschenlchket legt n dem Vertrauensntervall für Maschne B. Man kann also mt 92.5 % Wahrschenlchket behaupten, dass Maschne B ncht besser arbetet als Maschne A. 3. De Wahrschenlchket des Eregnsses E 3 : En Beutel enthält kene Nuss ohne verwertbaren Kern st ( 50 P(E 3 = ( De Wahrschenlchket des Eregnsses E 4 : Nur de erste enem Beutel entnommene Nuss hat kenen verwertbaren Kern st P(E 4 = ( Gesucht st de Wahrschenlchket p dafür, dass n mndestens 95% der Überprüfungen nur gute Nüsse m Beutel snd. Dann glt: p 0 (1 p p , so dass p sen muss. Das Intervall H, das dese Wahrschenlchketen enthält, st [0; ]. Für alle Werte von p, de klener als 0.1 % snd, wrd man mt mehr als 95 % Wahrschenlchket kene hohle Nuss m Beutel fnden. Das gegebene Intervall G = [0;0.0714] umfasst H. Da mt p = 0.07 ene sehr hohe Wahrschenlchket für ene hohle Nuss vorlegt, st das Intervall G für de vorlegende Fragestellung ncht geegnet.