Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III

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1 Name Vorname Matrikelnummer Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik o. Prof. Dr. P. Sanders Klausur: Informatik III Aufgabe 1. Multiple Choice 11 Punkte Aufgabe 2. Minimalautomaten 8 Punkte Aufgabe 3. Chomsky-Sprachen 13 Punkte Aufgabe 4. Chomsky-Normalform 8 Punkte Aufgabe 5. Entscheidbarkeit 12 Punkte Aufgabe 6. Komplexitätstheorie 8 Punkte Bitte beachten Sie: Als Hilfsmittel ist nur ein DIN-A4-Blatt mit Ihren Notizen zugelassen. Schreiben Sie auf alle Blätter Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Die Klausur enthält 9 Blätter und gilt als bestanden, wenn Sie 20 Punkte erreichen. Aufgabe Summe max. Punkte Punkte EK ZK Note:

2 Klausur: Informatik III, Blatt 2 von 9 Aufgabe 1. Multiple Choice [11 Punkte] Geben Sie zu folgenden Aussagen durch Ankreuzen an, ob sie richtig oder falsch sind. Achtung. Jede richtige Antwort gibt 1 Punkt. Für jede falsche Antwort wird 1 Punkt abgezogen. Fehlende Antworten werden mit 0 Punkten bewertet. Die gesamte Aufgabe wird nie mit einer negativen Punktzahl bewertet. richtig falsch 1. Ist L in P und L NP-hart, dann ist P = NP. 2. Die Vereinigung zweier entscheidbarer Mengen ist entscheidbar. 3. Ist eine Menge und ihr Komplement rekursiv aufzählbar, dann ist die Menge entscheidbar. 4. Jede von einem Kellerautomaten akzeptierte Sprache wird auch von einem deterministischen Kellerautomaten akzeptiert. 5. Jede loop-berechenbare Funktion ist total. 6. Typ-0-Sprachen sind unter Komplementbildung abgeschlossen. 7. Jede Sprache enthält das leere Wort. 8. Die Anzahl der Äquivalenzklassen einer Nerode-Relation ist bei regulären Sprachen endlich. 9. AB C ist eine Produktion vom Typ Typ-1-Sprachen werden von linear beschränkten nichtdeterministischen Turingmaschinen akzeptiert. 11. Das Rucksackproblem mit Objektgewichten aus {1,2,...,10} ist in P.

3 Klausur: Informatik III, Blatt 3 von 9 Aufgabe 2. Minimalautomaten [8 Punkte] Gegeben sei der nebenstehende Akzeptor A mit den Zuständen Q = {s,1,2, f 1, f 2 }, dem Startzustand s, dem Eingabealphabet Σ = {a,b} und den Endzuständen F = { f 1, f 2 }. a. Geben Sie den zum Akzeptor A gehörenden zustandsminimalen Akzeptor an. [7 Punkte] b. Wieviele Äquivalenzklassen hat die zugehörige Nerode-Relation? [1 Punkt] a f f s 1 2 f 1 3µ s b 3µ 3µ a 1 2 a 33µ 33333µ b 33µ f 2 3µ f 1 3µ s 33µ 1, 2 33µ f 1, f 2 b. Die Nerode-Relation hat 3 Klassen.

4 Klausur: Informatik III, Blatt 4 von 9 Aufgabe 3. Chomsky-Sprachen [13 Punkte] Gegeben sei die Grammatik, G = ({S},{a,b},P,S), wobei P aus den Produktionen besteht. S abs,s a,s b a. Welche der beiden Wörter ababa und abaabb gehören zur Sprache? (Kurze Begründung, wenn behauptet wird, ein Wort gehöre zur Sprache.) [3 Punkte] b. Beschreiben Sie die erzeugte Sprache durch einen regulären Ausdruck und beweisen Sie Ihre Behauptung durch Induktion. [10 Punkte] a. S abs ababs (ab) 2 a. (ab) 2 a gehört zur erzeugten Sprache. S abs. Daraus sind nur die Wörter (ab) 2 S, aba und abb ableitbar. b. Die erzeugte Sprache L G wird von (ab) (a b) beschrieben (ist {ab} n {a,b}, wobei n 0). 1. L L G Behauptung 1: S = (ab) n S für alle n. Induktion über n (i) Für n = 0 ist S = S. (ii) Nach Induktionsvoraussetzung gilt S = (ab) n S. (ab) n S = (ab) n+1 S mit Hilfe von S abs. Also S = (ab) n+1 S Ist w L, dann gibt es ein n, sodass w = (ab) n v, wobei v Σ. Wegen der gerade bewiesenen Behauptung ist S = (ab) n S und daraus kann w mit Hilfe von S a oder S b abgeleitet werden. Also w L G. 2. L G L Behauptung 2: Ist S = w, dann gibt es ein n 0 und ein v {S,a,b}, sodass w = (ab) n v. Induktion über die Ableitungslänge (i) S = S (ii) Die Ableitung S = w habe die Länge k + 1. Abtrennung des letzten Schritts: S = x w. Dann gibt es ein n, sodass x = (ab) n v (Induktionsvoraussetzung). Da v = S (sonst wäre aus x kein neues Wort ableitbar) ist w = (ab) n+1 S oder w = (ab) n z mit z Σ. Ist w L G, dann gibt es ein n 0 und ein v Σ, sodass w = (ab) n v. Also w L. Auf der nächsten Seite steht zusätzlicher Platz für die Bearbeitung der Aufgabe zur Verfügung.

5 Klausur: Informatik III, Blatt 5 von 9 Fortsetzung von Aufgabe 3 Produktionen: S abs, S a, S b

6 Klausur: Informatik III, Blatt 6 von 9 Aufgabe 4. Chomsky-Normalform [8 Punkte] Gegeben sei die Grammatik G = (V, Σ, P, S), V = {S,C, E} und Σ = {, 0, 1}. Die Produktionen in P sind: S 0C1, S 01, C CbE, C E, E a, E S Wandeln Sie die Grammatik in eine äquivalente in Chomksy-Normalform um. Kettenproduktionen elimininieren C E C a C a C S C 0C1 C 01 E S E 0C1 E 01 Gemischte rechte Seiten S 0C1 S S 1 1 S S 1 U S 01 S 1 0C Chomsky-Normalform U 1 S 1 ZC Z 0 S ZU C CbE C C 1 E C C 1 E C 0C1 E 0C1 E 01 Unverändert (aus der Ausgangsgrammatik) C 1 CB B b C S 1 U E S 1 U E ZU E a

7 Klausur: Informatik III, Blatt 7 von 9 Aufgabe 5. Entscheidbarkeit [12 Punkte] Das gerade POSTsche Korrespondenzproblem (gpkp) ist: Gegeben: Eine endliche Folge K = (x 1,y 1 ),...,(x n,y n ) wobei alle Wörter x i und y i nichtleer sind und gerade Länge haben. Gesucht: Eine Folge von Indizes i 1,...,i k, sodass x i1...x ik = y i1...y ik. Zeigen Sie, dass das gerade POSTsche Korrespondenzproblem nicht entscheidbar ist. Reduktion des POSTschen Korrespondenzproblems auf das gerade PKP. Dazu sei d eine Abbildung, die jedes Zeichen in einem Wort verdoppelt. d ist berechenbar. d bildet jedes lösbare PKP K = (x 1,y 1 ),...,(x n,y n ) auf ein lösbares gpkp ab: Ist x i1...x ip = y i1...y ip eine Lösung von K, dann ist d(x i1 )...d(x ip ) = y i1...d(y ip ) eine Lösung des gpkp (d(x 1 ),d(y 1 )),...,(d(x p ),d(y p )). (Alle d(x i ) (d(y i )) haben gerade Länge.) Ist ein gpkp d(k) = (d(x 1 ),d(y 1 )),...,(d(x p ),d(y p )) lösbar, dann auch K = ((x 1,y 1 ),...,(x p,y p )): Ist d(x i1 )...d(x ip ) = d(y i1 )...d(y ip ) eine Lösung von d(k), dann ist x i1...x ip = y i1...y ip eine Lösung von K, da d eineindeutig ist. Aus der Annahme, dass das gerade PKP entscheidbar ist, folgt die Entscheidbarkeit des POSTschen Korrespondenzproblems. Ist eine beliebige Folge K = (x 1,y 1 ),...,(x n,y n ) gegeben, dann kann mit dem Entscheidungsverfahren für das gerade PKP untersucht werden, ob d(k) = (d(x 1 ),d(y 1 )),...,(d(x n ),d(y n )) eine Lösung besitzt. d(k) hat genau dann eine Lösung, wenn K eine hat. Da das POSTsche Korrespondenzproblem nicht entscheidbar ist, kann daher auch das gerade PKP nicht entscheidbar sein.

8 Klausur: Informatik III, Blatt 8 von 9 Aufgabe 6. Komplexitätstheorie [8 Punkte] Seien A, B NP. Zeigen Sie, dass A B NP (Abgeschlossenheit von NP unter Vereinigung). Beachten Sie: NP macht keine Angabe über die Laufzeit, wenn Wörter nicht zur Sprache gehören. Lösung 1. Da A,B NP, gibt es zwei nichtdeterministische Turing-Maschinen M A und M B und zwei Polynome p A und p B mit der Eigenschaft: Ist w A (w B), dann ist der Aufwand bei der Akzeption durch p A (w) (p B (w)) beschränkt. Eine nichtdeterministische Turingmaschine M, die A B akzeptiert, kann wie folgt konstruiert werden: 1. Auswahl (nichtdeterministisch) ob M A oder M B auf w angesetzt wird. 2. Ausgewählte Maschine auf w ansetzen. Aufwand: Die Auswahl in (1) ist in konstanter Zeit möglich. (2) ist beschränkt durch das Maximum von p A (w) und p B (w), also durch p A (w) + p B (w) und damit wieder polynomiell. Damit ist A B NP, da M jedes Wort aus A B nichtdeterministisch mit polynomiellen Aufwand akzeptiert. Lösung 2. Da A,B NP, gibt es zwei nichtdeterministische Turing-Maschinen M A und M B, die A bzw. B in polynomieller Zeit akzeptieren. Wir konstruieren eine nichtdeterministische Turing-Maschine M mit zwei Bändern, die angesetzt auf w folgendermaßen arbeitet: 1. Die Maschine kopiert w auf das zweite Band. Auf dem ersten Band arbeitet sie wie M A, auf dem zweiten wie M B. 2. Nachdem w auf das zweite Band kopiert worden ist, führt M abwechselnd einen Schritt von M A und dann einen von M B aus. 3. M stoppt, wenn M A oder M B das Wort w akzeptiert. Aufwand: Das Kopieren von w auf das zweite Band ist mit linearem Aufwand möglich. Ist w A B, dann ist der Aufwand der Simulation in (2) von M A und M B im wesentlichen durch die Summe p A (w) + p B (w) (p A (w), p B (w) siehe Lösung 1) begrenzt, also wieder polynomiell. Also akzeptiert M jedes Wort aus A B mit polynomiellen Aufwand.

9 Klausur: Informatik III, Blatt 9 von 9 Konzeptpapier