Definition: Eine Sprache L heißt kontextfrei, falls es eine kontextfreie Grammatik G gibt, so dass L = L(G).

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1 1 2 Kntetreie Grmmtiken Grundlgen der Theretichen Inrmtik Till Mkwki Fkultät ür Inrmtik Ott-n-Guericke Unierität Mgdeurg Winteremeter 2014/15 Deinitin: Eine Grmmtik G = (V,Σ,R,) heißt kntetrei, ll R V (V Σ). u der linken eite einer Regel teht l tet genu ein Nichtterminl. Deinitin: Eine prche L heißt kntetrei, ll e eine kntetreie Grmmtik G git, d L = L(G). 3 4 Deinitin: Ein Kellerutmt it ein 6-Tupel (K,Σ,Γ,,,F), wei gilt: K it eine endliche Menge n Zutänden, Σ it ein lphet, d Eingelphet, Γ it ein lphet, d Kellerlphet, K it der trtzutnd, (K (Σ {ε}) Γ ) (K Γ ) it die Üergngreltin, it endlich und F K it die Menge der Endzutände. Kellerutmten und kntetreie prchen tz: [Kleene] Die Kle der kntetreien prchen it genu die Kle der n Kellerutmten kzeptierten prchen. Ein Kellerutmt it l nch Deinitin nichtdeterminitich. 5 6 chlueigenchten () Vereinigung tz: Die Kle der kntetreien prchen it gechlen unter () Vereinigung, () Knktentin und (c) Kleene tr. E genügt, die Beweie ür kntetreie Grmmtiken zu ühren. Wir kizzieren lediglich die Beweiideen. eien G 1 = (V 1,Σ 1,R 1, 1 ) und G 2 = (V 2,Σ 2,R 2, 2 ) kntetreie Grmmtiken und.b.d.. gelte V 1 V 2 = /0. Ferner ei V 1 V 2. ei nun G = (V 1 V 2 {},Σ 1 Σ 2,R,) mit R = R 1 R 2 { 1, 2 } Dnn gilt L(G) = L(G 1 ) L(G 2 ) 7 8 () Knktentin eien G 1 = (V 1,Σ 1,R 1, 1 ) und G 2 = (V 2,Σ 2,R 2, 2 ) kntetreie Grmmtiken und.b.d.. gelte V 1 V 2 = /0. Ferner ei V 1 V 2. ei nun G = (V 1 V 2 {},Σ 1 Σ 2,R,) mit R = R 1 R 2 { 1 2 } (c) Kleene tr ei G 1 = (V 1,Σ 1,R 1, 1 ) eine kntetreie Grmmtik. Ferner ei V 1. ei G = (V 1 {},Σ 1,R,) mit R = R 1 { ε, 1 } Dnn gilt L(G) = L(G 1 )L(G 2 ) Dnn gilt L(G) = L(G 1 )

2 9 10 tz: Der chnitt einer kntetreien prche mit einer regulären prche it eine kntetreie prche., Beweikizze: ei M 1 = (K 1,Σ,Γ, 1, 1,F 1 ) ein Kellerutmt und ei M 2 = (K 2,Σ,δ, 2,F 2 ) ein determiniticher endlicher utmt. Wir imulieren M 1 und M 2 prllel mit dem Kellerutmt M = (K 1 K 2,Σ,Γ,,( 1, 2 ),F 1 F 2 ) mit den Üergängen /ε/ /ε/ (((q 1,q 2 ),,β),((p 1,δ(q 2,)),γ)) ür jede ((q 1,,β),(p 1,γ)) 1 und jede q 2 K 2 wie //ε (((q 1,q 2 ),ε,β),((p 1,q 2 ),γ)) //ε ür jede ((q 1,ε,β),(p 1,γ)) 1 und jede q 2 K 2. Dnn gilt L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) 11 12,, /ε/ /ε/ /ε/ /ε/ //ε //ε //ε //ε 13 14,, /ε/ /ε/ /ε/ /ε/ /ε/ /ε/ /ε/ //ε //ε //ε //ε 15 16,, q0 q1 q2 q3 /ε/ /ε/ /ε/ /ε/ /ε/ /ε/ /ε/ /ε/ q0 /ε/ q1 q2 q3 /ε/ /ε/ /ε/ /ε/ /ε/ //ε //ε //ε //ε //ε //ε //ε //ε //ε //ε //ε //ε L(M) = {uu R u {,} } {w {,} it kein Teilwrt n w}

3 17 18 Kntetreie und nichtkntetreie prchen Pumping Lemm ür kntetreie prchen ei G = (V,Σ,R,) eine kntetreie Grmmtik. Mit φ(g) ezeichnen wir die mimle nzhl n ymlen u der rechten eite einer Prduktinregel in R. Die Höhe eine yntume it die Länge de längten Pde n einem Bltt zur Wurzel de Bume. tz: ei G eine kntetreie Grmmtik und T ein yntum n G. ei h die Höhe n T. Dnn ht die Bechritung n T Länge höchten φ(g) h. uwy-therem: tz (Pumping Lemm): ei L eine kntetreie prche. Dnn git e eine Zhl n, d ich lle Wörter z L mit z n in z = uwy zerlegen len, d (1) ε (2) w n (3) u i w i y L ür lle i Bewei: ei G = (V,Σ,R,) eine kntetreie Grmmtik mit L = L(G) und ei n = φ(g) V +1. ei nun z L mit z n und T ein yntum ür z mit miniml ielen Blättern. In T mu e einen Pd der Länge mindeten V + 1 geen, u dem nch dem chuchprinzip mindeten ein Nichtterminl mehrch rkmmt. ei ein Nichtterminl, d unter den V + 1 unterten Nichtterminlen u dieem Pd mehrch rkmmt. T u w y ei w die Bechritung de Teilum, deen Wurzel mit dem unterten Vrkmmen n echritet it, und ei w die Bechritung de Teilum T, deen Wurzel mit dem zweitunterten Vrkmmen n echritet it. D wir einen yntum ür z mit miniml ielen Blättern gewählt hen, mu ε gelten u y D wir l ein Nichtterminl gewählt hen, d unter den V + 1 unterten Nichtterminlen u dem lngen Pd mehrch rkmmt, ht T Höhe höchten V + 1. mit ht w Länge höchten φ(g) V +1 = n. w Wir können T durch eretzen der uch wiederhlt durch T und ddurch u i w i y ür lle i 0 in G u leiten Pumping Lemm: Pumping Lemm: ür lle L CF gilt, e git n 1 d ür lle z L, z n gilt, e git u,,w,,y, ε, w n, z = uwy d ür lle i 0 gilt u i w i y L L CF n 1 z L, z n u,,w,,y, ε, w n, z = uwy i 0 u i w i y L

4 , T u w y u w + + y + + u T w y Beipiele: L 1 = { k k c k k 0} it nicht kntetrei: ngenmmen, L 1 wäre kntetrei. Dnn gäe e ein n, d ich lle Wörter der Länge mindeten n wie im Pumping Lemm ngegeen zerlegen ließen. T u w y y z Betrchte z = n n c n. Diee Wrt müte ich l in uwy zerlegen len mit ε. uch d Pumping Lemm ür reguläre prchen lät ich mit Hile n yntäumen unter unutzung der peziellen truktur der yntäume ei rechtlineren Grmmtiken eweien. Fll mindeten zwei erchiedene ymle enthielte, enthielte u 2 w 2 y ymle in lcher Reihenlge. nlg ür. l wäre L(σ ) und L(σ ) ür σ,σ {,,c}. E gäe l ein σ {,,c} {σ,σ }. D Wrt u 2 w 2 y enthielte dnn zuwenig Vrkmmen n σ. Widerpruch! L 3 = {wcw w {,} } it nicht kntetrei: L 2 = {w {,,c} w enthält gleichiele, und c} it nicht kntetrei: ngenmmen, L 2 wäre kntetrei. Dnn wäre uch der chnitt n L 2 mit der regulären prche L( c ) kntetrei. Die chnittmenge it er gerde die nicht kntetreie Menge L 1 = { n n c n n 0}. Widerpruch! ngenmmen, L 3 wäre kntetrei. Dnn gäe e ein n, d ich lle Wörter der Länge mindeten n wie im Pumping Lemm ngegeen zerlegen ließen. Betrchte n n c n n. Diee Wrt müte ich l in uwy zerlegen len mit ε und w n. w könnte weder lltändig link n c nch lltändig recht n c enthlten ein, weil nt der Teil link n c zw. recht n c eim upumpen länger würde chlueigenchten l müte w d c enthlten, genuer gegt, w müte c enthlten, weil nt eim upumpen Wörter enttünden, die mehr l ein c enthielten. D w n ein müte, könnte w weder den Blck n ymlen link n c nch den Blck n ymlen recht n c üerlppen. w würde l link n c nur enthlten und recht n c nur. Nch upumpen würden l die Wrtteile link n c und recht n c jeweil erchieden iele und enthlten. Widerpruch! tz: Die Kle der kntetreien prchen it unter chnitt nicht gechlen. Bewei: Die prchen L 3 = { n n c m n,m 0} L 4 = { m n c n n,m 0} ind eide kntetrei, er L 3 L 4 = { n n c n n 0} it nicht kntetrei.

5 33 34 tz: Die Kle der kntetreien prchen it nicht gechlen unter Kmplementildung. Bewei: eien L und L kntetreie prchen üer den lpheten Γ 1 zw. Γ 2. Dnn ind L und L prchen üer Σ = Γ 1 Γ 2. Wegen L L = L L = Σ ((Σ L) (Σ L )) it die Kle der kntetreien prchen uch unter Kmplementildung nicht gechlen. tz: ei h : Σ Γ ein Hmmrphimu. Fll L Σ eine kntetreie prche it, dnn it uch h(l) = {h(w) w L} eine kntetreie prche. tz: ei h : Σ Γ ein Hmmrphimu. Fll L Γ eine kntetreie prche it, dnn it uch h 1 (L) = {w h(w) L} eine kntetreie prche. tz: Fll L eine kntetreie prche it, dnn it uch L R = {w w R L} eine kntetreie prche L 4 = {w {,,c} w enthält nicht gleichiele, und c} it kntetrei: L = {w {,,c} w w } it kntetrei: //ε // / / ε/ε/ ε//ε q ε//ε //ε // / / chließlich gilt L 4 = L L c L c. ε//ε ε//ε ε/ /ε tz n Prikh: Jede kntetreie prche üer einem einelementigen lphet it regulär. L 5 = {w {,} w it keine Primzhl} it nicht kntetrei: ngenmmen, L 5 wäre kntetrei. Dnn wäre uch h(l 5 ) kntetrei ür den Hmmrphimu h mit h() = und h() =. Nun wäre h(l 5 ) nch dem tz n Prikh gr regulär. D reguläre prchen unter Kmplement gechlen ind, wäre uch h(l 5 ) regulär. E gilt jedch h(l 5 ) = { p p it eine Primzhl} l wäre { p p it eine Primzhl} regulär. Widerpruch! CYK-lgrithmu ei G = (V,Σ,R,) eine kntetreie Grmmtik in Chmky Nrmlrm und ei w = 1... n Σ. Wrtprlem ür kntetreie prchen: ei L Σ eine kntetreie prche und ei w = 1... n Σ, gilt w L? B C Der lgende n Ccke, Kmi und Yunger unhängig neinnder entwrene lgrithmu löt d Wrtprlem ür kntetreie prchen, die durch eine kntetreie Grmmtik in Chmky Nrmlrm gegeen ind. i k k+1 i+ Für 1 i j n ei N[i,j] die Menge ller ymle u V, u denen d Teilwrt i... j geleitet werden knn CYK(G = (V,Σ,R,),w = 1... n ) 1 r i 1 t n 2 d N[i,i] { V e git i in R} 3 r j i + 1 t n 4 d N[i,j] /0 5 r 1 t n 1 6 d r i 1 t n 7 d r k i t i d i ( e git BC in R mit B N[i,k] und C N[k + 1,i + ] ) 9 then üge zu N[i,i + ] hinzu 10 i ( N[1,n] ) 11 then return w L(G) 12 ele return w L(G) Lemm: Nch Itertinen, 0 n, n CYK((V,Σ,R,), 1... n ) gilt ür lle i = 1,...,n, N[i,i + ] = { V G i... i+ } Beweikizze: Induktin üer. u dem Lemm lgt, d L(G) genu dnn wenn N[1,n].

6 41 42 { T E, T E, (, E ) } 1 {} {} {E} {} {}... 6 {E}.. 7 {E}. { T E, T E, (, E ) } 1 {} / {} {E} {} {}... 6 {E}.. 7 {E} { T E, T E, (, E ) } 1 {} / {} {} {E} {} {}... 6 {E}.. 7 {E}. { T E, T E, (, E ) } 1 {} / {} {} {E} / {} / {} {}.. 6 {E} / { T E, T E, (, E ) } 1 {} /0 / {} {} {E} / {} / {} {}.. 6 {E} /0. { T E, T E, (, E ) } 1 {} /0 / {} {} / {E} /0 / {} /0 /0.. 5 {} {} {T}. 6 {E} / { T E, T E, (, E ) } 1 {} /0 /0 / {} {} / {E} /0 / {} /0 /0.. 5 {} {} {T}. { T E, T E, (, E ) } 1 {} /0 /0 / {} {} /0 / {E} /0 /0 /0.. 4 {} /0 /0 {}. 5 {} {} {T}.

7 49 50 { T E, T E, (, E ) } 1 {} /0 /0 /0 / {} {} /0 /0 /0.. 3 {E} /0 /0 /0 /0. 4 {} /0 /0 {} {T} 5 {} {} {T} /0 { T E, T E, (, E ) } 1 {} /0 /0 /0 /0 /0.. 2 {} {} /0 /0 /0 {}. 3 {E} /0 /0 /0 /0. 4 {} /0 /0 {} {T} 5 {} {} {T} / { T E, T E, (, E ) } 1 {} /0 /0 /0 /0 /0 /0. 2 {} {} /0 /0 /0 {} {T} 3 {E} /0 /0 /0 /0 /0 4 {} /0 /0 {} {T} 5 {} {} {T} /0 { T E, T E, (, E ) } 1 {} /0 /0 /0 /0 /0 /0 {} 2 {} {} /0 /0 /0 {} {T} 3 {E} /0 /0 /0 /0 /0 4 {} /0 /0 {} {T} 5 {} {} {T} /0 Kntetenitie prchen Kntetenitie Grmmtiken ind l mntne Grmmtiken. Deinitin: Eine Grmmtik G = (V,Σ,R,) heißt mntn, ll ür lle Regeln w 1 w 2 in R gilt w 1 w 2. Deinitin: Eine Grmmtik G = (V,Σ,R,) heißt knteteniti, ll lle Regeln in R n der Frm αβ αγβ mit V, α,β (V Σ) und γ (V Σ) + ind. Deinitin: Eine prche L heißt knteteniti, ll e eine kntetenitie Grmmtik G git, d L {ε} = L(G). tz: Zu jeder mntnen Grmmtik git e eine äquilente kntetenitie Grmmtik Die mntne Grmmtik G = ({,B},Σ,R,) mit Die kntetenitie Grmmtik G = ({,B,C,H},Σ,R,) mit erzeugt L(G) = { n n c n n 1}. Bc BC cb Bc B B BC BC CB HB HB HC HC BC B B C c cc cc erzeugt eenll L(G) = { n n c n n 1}.