Hans U. Simon Bochum, den Annette Ilgen. Beispiele zur Vorlesung. Theoretische Informatik. WS 08/09

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1 Hns U. Simon Bohum, den Annette Ilgen Beispiele zur Vorlesung Theoretishe Informtik WS 8/9 Voremerkung: Hier findet sih eine Smmlung von Beispielen und Motivtionen zur Vorlesung Theoretishe Informtik. 2 Reguläre Sprhen 2. endlihe Automten 2.. Beispiel deterministisher endliher Automt (DFA) Z = {z,z,z 2,z 3,z 4 } Σ = {,} δ : Z Σ Z mit δ(z,) = z,δ(z,) = z 5 δ(z,) = z,δ(z,) = z 2 δ(z 2,) = z 3,δ(z 2,) = z 4 δ(z 3,) = z 2,δ(z 3,) = z 4 δ(z 4,) = z 3,δ(z 4,) = z 2 δ(z 5,) = z 5,δ(z 5,) = z 5 S = z Strtzustnd E = {z 2,z 4 } So wie eine Grmmtik eine Sprhe erzeugt, wird uh ein Automt genutzt um eine Sprhe zu eshreien. Der Automt erhält ls Einge ein Wort. Dieses Wort wird Buhste für Buhste gereitet. Erreiht der Automt nh Areitung des Wortes einen Endzustnd, so gilt für ds Wort, dss es Element der Sprhe ist. Wenden wir z.b. oigen Automten uf w = n. Wir eginnen mit dem Strtzustnd z und dem ersten Buhsten von w. δ(z,) = z Wir erhlten z und wenden es uf den zweiten Buhsten von w n. δ(z,) = z 2 Wir erhlten z 2 und wenden es uf den dritten und letzten Buhsten n. δ(z 2,) = z 4 Wir erhlten lso nh Areitung des Wortes den Zustnd z 4 E welher ein Endzustnd ist. Somit ist w = L. Nottion: Die Aildung δ wird im Folgenden in Form einer Telle drgestellt, d dies üersihtliher ist. Die Telle zu oigem Beispiel ht die Form:

2 δ z z z 2 z 3 z 4 z 5 z z z 3 z 2 z 3 z 5 z 5 z 2 z 4 z 4 z 2 z Beispiel Zustndsgrph Dies ist der Zustndsgrph zu dem DFA us Beispiel 2.. z z z 2 z 3 z 4 z 5, Die Knoten des Grphen sind die Zustände. Für jedes Pr (z i,σ) Z Σ mit δ(z i,σ) = z j geht eine Knte von z i nh z j mit der Beshriftung σ us. Am Zustndsgrphen lässt sih noh einfher lesen, o ein Wort w Element der zugehörigen Sprhe des DFA ist. Vom Strtzustnd usgehend, folgen wir dem Grphen entlng der Knten, die der Reihe nh den Buhsten des zu prüfenden Wortes entsprehen. Kommen wir dei in einen Endzustnd, so ist ds Wort w Element der Sprhe. Nottion: Der zw. die Strtzustände werden drgestellt indem ein uneshrifteter freier Pfeil uf sie verweist. Die Endzustände sind mit reitem Rnd mrkiert Beispiel nihtdeterministisher endliher Automt (NFA) Der nihtdeterministishe Automt erlut mehrere Strtzustände sowie in einem Shritt mehrere Zustndswehsel. δ wird dei nun niht mehr nur uf Z sondern uf die Potenzmenge P(Z) geildet. Z = {z,z,z 2,} Σ = {,} δ : Z Σ P(Z) mit δ z z z 2 {z,z } {z 2 } {z } {z 2 } {z 2 } S = {z } Strtzustände E = {z 2 } Endzustände

3 2..4 Beispiel Zustndsgrph eines NFA Dies ist der Zustndsgrph zu dem NFA us Beispiel 2..3,, z z z 2 Anders ls ei einem DFA ist es hier gestttet, dss von einem Zustndsknoten keine oder elieig viele Pfeile mit der gleihen Beshriftung usgehen. Im Beispiel NFA gehen von z zwei Pfeile mit Beshrifung us. Einer der Pfeile geht uf z seler zurük während der zweite uf z verweist Beispiel Trnsformtion eines DFA in eine Grmmtik Betrhte den DFA Z = {z,z } Σ = {,} δ : Z Σ P(Z) mit δ z z z z z z S = z Strtzustnd E = {z } Endzustände Der Zustndsgrph sieht wie folgt us. z z Der DFA eshreit die Sprhe L = {w Σ + w endet mit }. Gesuht ist nun eine Grmmtik die us dem DFA konstruiert wird und die sele Sprhe eshreit. Konstruiere G = {V,Σ,P,S} wie folgt. V = Z, Σ = Σ z = Strtvrile P in Regelnottion: Für jedes δ(z, ) = z nimm die Regel z z uf.

4 Für jedes δ(z, ) = z E nimm zusätzlih die Regel z uf. erhlte lso: z z z z z z Die erhltene Grmmtik eshreit die sele Sprhe wie der DFA. Jedoh im llgemeinen niht uf die einfhste Weise, wie dieses Beispiel zeigt. D die Vrilen z und z die gleihen Regeln eshreien können sie zusmmengefsst werden zu einer Regel. z z z Diese reiht us um die Grmmtik zu eshreien Beispiel Trnsformtion eines NFA in einen DFA Betrhte den NFA Z = {z,z }, Σ = {,} δ : Z Σ Z mit δ z z {z,z } {z } S = {z } Strtzustände E = {z } Endzustände Der zugehörige Zustndsgrph sieht wie folgt us., z z Konstruiere einen DFA M = { Z,Σ, δ, z,ẽ} der die sele Sprhe erkennt. Z = P(Z) δ : Z Σ (Z) mit δ(q, ) = z Qδ(z, )

5 S = z Strtzustnd Ẽ = {Q Z E Q } Endzustände Wir erhlten lso: Z = {,{z },{z },{z,z }} δ {z } {z } {z,z } {z,z } {z,z } {z } {z } {z } ist Strtzustnd Ẽ = {{z },{z,z }} D die Zustände {z } und vom Strtzustnd us niht zu erreihen sind, können sie weggelssen werden. Wir erhlten für den DFA folgenden Zustndsgrphen: {z } {z,z } 2..7 Beispiel: Trnsformtion einer regulären Grmmtik in einen NFA Betrhte folgende reguläre Grmmtik üer dem Alphet Σ = {,, } G = {V,Σ,P,S} V = {S,T,Y,Z}, S = Strtvrile P in Regelnottion: S T T T Y Y Y Y Z Z Z Z Z Die Grmmtik erzeugt die Sprhe L = {w Σ, und treten in w in genu dieser Reihenfolge zum ersten ml uf} Wir suhen nun einen NFA der die sele Sprhe erzeugt. Dieser wird wie folgt konstruiert: Z = V {X} S = Strtzustnd E = {X} d es keine Regel S ǫ P git, nndernflls wäre E = {X,S} δ wird dei wie folgt definiert: Für jede Regel A B in P nimm B in δ(a,) uf.

6 Für jede Regel A in P nimm X in δ(a,) uf. So erhlten wir δ(s,) = {T},δ(S,) =,δ(s,) = δ(t,) = {T},δ(T,) = {Y},δ(T,) = δ(y,) = {Y},δ(Y,) = {Y},δ(Y,) = {Z,X} δ(z,) = {Z,X},δ(Z,) = {Z,X},δ(Z,) = {Z,X} In Tellennottion: δ S T Y Z X {T} {T} {Y} {Z,X} {Y} {Y} {Z,X} {Z,X} {Z,X} Der zugehörige Zustndsgrph sieht wie folgt us.,, S T Y Z,,, X Dei ist X Endzustnd und die Sprhe die von dem NFA erzeugt wird ist wieder L = {w Σ, und treten in w in genu dieser Reihenfolge zum ersten ml uf}. 2.2 Reguläre Ausdrüke 2.2. Beispiel: Reguläre Ausdrüke Sei Σ = {,,} ein Alphet. Es folgen einige Beispiele von Sprhen die einfh durh reguläre Ausdrüke drgestelt werden können.. {w Σ w eginnt mit und endet mit } = ( ) 2. {w Σ w = n} = (( ) ) n ( ) 3. {w Σ w = n und w n = } = ( ) n 4. {w Σ, und treten in w in genu dieser Reihenfolge zum ersten ml uf} = ( ) ( )

7 2.2.2 Beispiel: vom regulären Ausdruk zum NFA Zu jedem regulären Ausdruk α, lässt sih ein NFA konstruieren der die Sprhe L(α) erzeugt. Wir wollen mit Hilfe von Zustndsgrphen vernshulihen wie mittels der vershiedenen Synthesen der NFA konstruiert wird. Betrhten wir den Ausdruk α = (( )( ) ( )) () Auf unterster Eene dieses Ausdruks finden sih die Terminlzeihen. L() = {}, L() = {},L() = {}. Sie werden erzeugt durh σ woei σ für den entsprehenden Buhsten steht. Wir zerlegen den Ausdruk in Teile und erstellen im folgenden die einzelnen Zustndsgrpen α = ( ) α 2 = α 3 = α 4 = (α 2 α 3 ) = ( ) α 5 = α 4 = ( ) α 6 = α α 5 = ( ) ( ) α 7 = α 8 = α 9 = α = (α 8 α 9 ) = ( ) α = α 7 α = ( ) α = (α 6 α ) = (( )( ) ( )) α = ( ) α 2 und nlog α 3,α 8,α 9 : Der frühere Endzustnd wird nun zu einer Skgsse, dher knn er weggelssen werden, ohne die Sprhe zu verändern.

8 α 4 = ( ) α 5 = α 4 α 6 = α α 5 α 7 = : Die Funktion des zusätzlih zugefügten Knotens ist es zu grntieren, dss uh ǫ erzeugt werden knn. Wir können den Grphen hier vereinfhen indem wir diesen Knoten wieder weglssen, dfür er den Strtknoten in die Menge der Endzustände ufnehmen.

9 α = (α 8 α 9 ) = ( ): α = α 7 α : Nh entfernen einer Skgsse erhlten wir Den NFA zu L(α) = L(( )( ) ( )) erhlten wir shließlih indem wir die Zustndsgrphen zu α 6 und α vereinigen. 2.3 Ds Pumping-Lemm Sei ein DFA M mit vier Zuständen gegeen. Σ = {,} Z = {z,z,z 2,z 3 } S = z E = {z 2 } δ z z z 2 z 3 z z 2 z z 3 z z z 3 z 3 D Sprhen die durh einen DFA erzeugt werden regulär sind, lässt sih ds Pumping Lemm uf sie nwenden. Es esgt, dss mn für lle Wörter x T(M) der Länge größer ls n eine Zerlegung x = uvw findet, sodss uh uv i w T(M) liegt. Betrhten wir z.b. ds Wort x = T(M) und suhen nun eine Zerlegung in x = uvw. Dzu etrhten wir die Zustndsfolge die x erzeugt. z z z z z 2

10 D es nur vier Zustände git, muss mindestens einer von ihnen in der Zustndsfolge doppelt vorkommen. Hier sind ds z und z. Wir erhlten somit einen Zyklus im Zustndsgrphen, der ntürlih uh iteriert durhlufen werden knn. Zerlegen wir ds Wort z.b. nhnd des Zykluses der von z nh z führt so erhlten wir u =,v =,w =. Es gilt nun, dss uv i w = () i L für lle i. 2.4 Minimierung eines DFA Folgender DFA üer dem Alphet Σ = {,} soll minimiert werden. Z = {z,z,z 2,z 3,z 4,z 5,z 6,z 7 } S = z E = {z 6 } δ z z z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 z 3 z 2 z z 5 z 5 z 3 z 7 z 7 z z 4 z 4 z 6 z z 6 z 7 z 7 Im Zustndsgrphen wurde die Skgsse z 7 der Üersiht hler weggelssen. z z 3 z 6 z z 5 z 4 z 2 Um den Minimlutomten zu erstellen suhen wir die Äquivlenzklssen der Zustände. Shritt Mrkiere lle Pre (z i,z j ),mit z i E und z j / E. Shritt 2 Mrkiere lle Pre (z i,z j ),z i z j für die es ein mrkiertes Pr ( z i, z j ) und ein Σ git mit δ(z i,) = z i und δ(z j,) = z j. Shritt 3,4,5 Gehe vor wie in Shritt 2 is keine weiteren Knoten mehr mrkiert werden.

11 z z z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z z 3 z z z z z 6 Nottion: Der Exponent git n in welhem Shritt der Knoten mrkiert wurde. Alle niht mrkiertern Pre sind äquivlent und können zu einem Knoten zusmmengefsst werden. Es werden lso z und z 2 zu einem Knoten zusmmengefsst und z 3 und z 5. Dei werden lle Knten die vorher uf einen der eiden Knoten gerihtet wren nun uf den zusmmengefssten Knoten gerihtet. Alle Knten die von einem der eiden Knoten usgingen gehen nun vom zusmmengefssten Knoten us, dei werden Knten mit gleiher Beshriftung die uf den selen Knoten führen zusmmengefsst. Der resultierende Zustndsgrph sieht wie folgt us. z z 6 z,z 2 z 4 z 3,z Produktutomt Gegeen seien zwei DFA M = {Z,δ,S,E } und M 2 = {Z 2,δ 2,S 2,E 2 } wie folgt. Σ = {,} Z = {z,z,z 2 } S = z E = {z } δ z z z z z z L := T(M ) = ( ) = lle Wörter die uf enden. Σ = {,} Z 2 = {t,t,t 2 } S 2 = t E 2 = {t 2 } δ 2 t t t 2 t 2 t t t t t

12 L 2 := T(M 2 ) = = lle Wörter us elieig vielen Einsen gefolgt von einer Null. Es soll nun der Produktutomt M = {Z,δ,S,E} estimmt werden. Z = Z Z 2 δ((z i,t j ),) = (δ (z i,),δ 2 (t j,)) δ (z,t ) (z,t ) (z,t 2 ) (z,t ) (z,t ) (z,t 2 ) (z,t 2 ) (z,t ) (z,t ) (z,t 2 ) (z,t ) (z,t ) (z,t ) (z,t ) (z,t ) (z,t ) (z,t ) (z,t ) S = S S 2 = (z,t ) Dvon wie wir E wählen hängt nun für welhe Sprhe wir den Produktutomten erhlten wollen. Um T(M ) T(M 2 ) zu erhlten wähle E = E E 2 = (z,t 2 ). UmT(M ) T(M 2 )zuerhltenwählee = (E Z 2 ) (Z E 2 ) = {(z,t ),(z,t ),(z,t 2 ),(z,t 2 )}. Wir etrhten unser Ergenis. Die Zustände (z,t ) und (z,t 2 ) können weggelssen werden, d mn durh keinen nderen Zustnd uf sie gelngen knn. Wir erhlten folgenden Zustndsgrphen.,,2,, Nottion: gepunktet drgestellte Knoten sind nur im Fll T(M ) T(M 2 ) uh Endzustände. Ist E = (z,t 2 ) so erhlten wir die Sprhe L 2 = = L L 2. Ist E = {(z,t ),(z,t 2 )} so erhlten wir die Sprhe ( ) = L = L L 2.

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