Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K
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- Irmela Kaiser
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1 Satz 25
2 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K
3 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m.
4 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar,
5 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt,
6 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A =
7 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km,
8 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t)
9 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix
10 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0.
11 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =.
12 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen,
13 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar,
14 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1.
15 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t... λ m t½
16 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). λ m t... λ m t½
17 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, λ m t... λ m t½
18 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, dass P(A) =... λ m t½
19 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, dass P(A) = B P(Λ) B 1 =... λ m t½
20 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, dass 1) P(A) = B P(Λ) B 1 = B¼ P(λ m)½ B 1 P(λ λ m t½
21 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, dass 1) P(A) = B P(Λ) B 1 = B¼ P(λ... P(λ m)½ B... λ m t½ 1 = B0B 1
22 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, dass 1) P(A) = B P(Λ) B 1 = B¼ P(λ... P(λ m)½ B... λ m t½ 1 = B0B 1 = 0.
23 Beweis =
24 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) =
25 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0,
26 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A.
27 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V:
28 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 :=
29 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 :=
30 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u)
31 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u)
32 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } =
33 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } =
34 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } =
35 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au
36 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au
37 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 :=
38 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 :=
39 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 :=
40 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 :=
41 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 }
42 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u)
43 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u)
44 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V }
45 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V }
46 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V }
47 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u
48 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 :=
49 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 :=
50 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u)
51 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u)
52 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } =
53 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } =
54 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } =
55 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } =
56 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.
57 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }..
58 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V m :=.
59 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V m := Bild fm Vm 1 :=.
60 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u).
61 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u).
62 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 }
63 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 }
64 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 }
65 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V }
66 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u
67 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u
68 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u für alle u V }.
69 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u für alle u V }.
70 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u für alle u V }.
71 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u für alle u V }. dim(v 1 )
72 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u für alle u V }. dim(v 1 ) Dimensionsformel =
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