Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K"

Transkript

1 Satz 25

2 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K

3 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m.

4 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar,

5 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt,

6 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A =

7 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km,

8 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t)

9 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix

10 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0.

11 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =.

12 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen,

13 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar,

14 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1.

15 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t... λ m t½

16 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). λ m t... λ m t½

17 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, λ m t... λ m t½

18 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, dass P(A) =... λ m t½

19 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, dass P(A) = B P(Λ) B 1 =... λ m t½

20 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, dass 1) P(A) = B P(Λ) B 1 = B¼ P(λ m)½ B 1 P(λ λ m t½

21 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, dass 1) P(A) = B P(Λ) B 1 = B¼ P(λ... P(λ m)½ B... λ m t½ 1 = B0B 1

22 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, dass 1) P(A) = B P(Λ) B 1 = B¼ P(λ... P(λ m)½ B... λ m t½ 1 = B0B 1 = 0.

23 Beweis =

24 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) =

25 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0,

26 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A.

27 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V:

28 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 :=

29 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 :=

30 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u)

31 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u)

32 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } =

33 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } =

34 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } =

35 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au

36 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au

37 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 :=

38 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 :=

39 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 :=

40 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 :=

41 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 }

42 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u)

43 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u)

44 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V }

45 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V }

46 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V }

47 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u

48 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 :=

49 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 :=

50 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u)

51 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u)

52 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } =

53 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } =

54 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } =

55 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } =

56 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.

57 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }..

58 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V m :=.

59 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V m := Bild fm Vm 1 :=.

60 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u).

61 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u).

62 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 }

63 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 }

64 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 }

65 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V }

66 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u

67 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u

68 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u für alle u V }.

69 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u für alle u V }.

70 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u für alle u V }.

71 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u für alle u V }. dim(v 1 )

72 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u für alle u V }. dim(v 1 ) Dimensionsformel =

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische

Mehr

Einführung in die Kodierungstheorie

Einführung in die Kodierungstheorie Einführung in die Kodierungstheorie Einführung Vorgehen Beispiele Definitionen (Code, Codewort, Alphabet, Länge) Hamming-Distanz Definitionen (Äquivalenz, Coderate, ) Singleton-Schranke Lineare Codes Hamming-Gewicht

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10

Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10 Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10 - Tutorium 6 - Michael Kirsten und Kai Wallisch Sitzung 13 02.02.2010 Inhaltsverzeichnis 1 Formeln zur Berechnung Aufgabe 1 2 Hamming-Distanz Aufgabe 2 3

Mehr

4. Übungsblatt Matrikelnr.: 6423043

4. Übungsblatt Matrikelnr.: 6423043 Lineare Algebra I 1. Name: Bleeck, Christian 4. Übungsblatt Matrikelnr.: 6423043 Abgabe: 15.11.06 12 Uhr (Kasten D1 320) Übungsgruppe: 03 Patrick Schützdeller 2. Name: Niemann, Philipp Matrikelnr.: 6388613

Mehr

Hans Walser, [20090509a] Wurzeln aus Matrizen

Hans Walser, [20090509a] Wurzeln aus Matrizen Hans Walser, [0090509a] Wurzeln aus Matrizen 1 Worum es geht Zu einer gegebenen,-matri A suchen wir,-matrizen B mit der Eigenschaft: BB = B = A. Wir suchen also Quadratwurzeln der Matri A. Quadrieren Wenn

Mehr

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

Aufgabe 1. Sei A Mat(n n, R) mit Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A + 3E n ).

Aufgabe 1. Sei A Mat(n n, R) mit Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A + 3E n ). Aufgabe Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(3A E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A 3E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Bild(A

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11

W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) Mathematikgebäude Raum 715 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) W-Rechnung und Statistik

Mehr

(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu

(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu Herleitung der oppenecker-formel (Wiederholung) Für ein System ẋ Ax + Bu (B habe Höchstrang) wird eine Zustandsregelung u x angesetzt. Der geschlossene egelkreis gehorcht der Zustands-Dgl. ẋ (A B)x. Die

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit?

Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Grexit sind eigentlich 2 Wörter. 1. Griechenland 2. Exit Exit ist ein englisches Wort. Es bedeutet: Ausgang. Aber was haben diese 2 Sachen mit-einander zu tun?

Mehr

BITte ein BIT. Vom Bit zum Binärsystem. A Bit Of Magic. 1. Welche Werte kann ein Bit annehmen? 2. Wie viele Zustände können Sie mit 2 Bit darstellen?

BITte ein BIT. Vom Bit zum Binärsystem. A Bit Of Magic. 1. Welche Werte kann ein Bit annehmen? 2. Wie viele Zustände können Sie mit 2 Bit darstellen? BITte ein BIT Vom Bit zum Binärsystem A Bit Of Magic 1. Welche Werte kann ein Bit annehmen? 2. Wie viele Zustände können Sie mit 2 Bit darstellen? 3. Gegeben ist der Bitstrom: 10010110 Was repräsentiert

Mehr

Leichte-Sprache-Bilder

Leichte-Sprache-Bilder Leichte-Sprache-Bilder Reinhild Kassing Information - So geht es 1. Bilder gucken 2. anmelden für Probe-Bilder 3. Bilder bestellen 4. Rechnung bezahlen 5. Bilder runterladen 6. neue Bilder vorschlagen

Mehr

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr.

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Kurzweil Florian Franzmann André Diehl Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9

Mehr

Wie Sie beliebig viele PINs, die nur aus Ziffern bestehen dürfen, mit einem beliebigen Kennwort verschlüsseln: Schritt 1

Wie Sie beliebig viele PINs, die nur aus Ziffern bestehen dürfen, mit einem beliebigen Kennwort verschlüsseln: Schritt 1 Wie Sie beliebig viele PINs, die nur aus Ziffern bestehen dürfen, mit einem beliebigen Kennwort verschlüsseln: Schritt 1 Zunächst einmal: Keine Angst, die Beschreibung des Verfahrens sieht komplizierter

Mehr

e-books aus der EBL-Datenbank

e-books aus der EBL-Datenbank e-books aus der EBL-Datenbank In dieser Anleitung wird erklärt, wie Sie ein ebook aus der EBL-Datenbank ausleihen und mit dem Programm Adobe Digital Edition öffnen. Folgende Vorraussetzungen sind eventuell

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Daten verarbeiten. Binärzahlen

Daten verarbeiten. Binärzahlen Daten verarbeiten Binärzahlen In Digitalrechnern werden (fast) ausschließlich nur Binärzahlen eingesetzt. Das Binärzahlensystem ist das Stellenwertsystem mit der geringsten Anzahl von Ziffern. Es kennt

Mehr

Dow Jones am 13.06.08 im 1-min Chat

Dow Jones am 13.06.08 im 1-min Chat Dow Jones am 13.06.08 im 1-min Chat Dieser Ausschnitt ist eine Formation: Wechselstäbe am unteren Bollinger Band mit Punkt d über dem 20-er GD nach 3 tieferen Hoch s. Wenn ich einen Ausbruch aus Wechselstäben

Mehr

Grundlagen der Informatik

Grundlagen der Informatik Mag. Christian Gürtler Programmierung Grundlagen der Informatik 2011 Inhaltsverzeichnis I. Allgemeines 3 1. Zahlensysteme 4 1.1. ganze Zahlen...................................... 4 1.1.1. Umrechnungen.................................

Mehr

Guide DynDNS und Portforwarding

Guide DynDNS und Portforwarding Guide DynDNS und Portforwarding Allgemein Um Geräte im lokalen Netzwerk von überall aus über das Internet erreichen zu können, kommt man um die Themen Dynamik DNS (kurz DynDNS) und Portweiterleitung(auch

Mehr

Was ich als Bürgermeister für Lübbecke tun möchte

Was ich als Bürgermeister für Lübbecke tun möchte Wahlprogramm in leichter Sprache Was ich als Bürgermeister für Lübbecke tun möchte Hallo, ich bin Dirk Raddy! Ich bin 47 Jahre alt. Ich wohne in Hüllhorst. Ich mache gerne Sport. Ich fahre gerne Ski. Ich

Mehr

Binäre Bäume. 1. Allgemeines. 2. Funktionsweise. 2.1 Eintragen

Binäre Bäume. 1. Allgemeines. 2. Funktionsweise. 2.1 Eintragen Binäre Bäume 1. Allgemeines Binäre Bäume werden grundsätzlich verwendet, um Zahlen der Größe nach, oder Wörter dem Alphabet nach zu sortieren. Dem einfacheren Verständnis zu Liebe werde ich mich hier besonders

Mehr

Handbuch zur Anlage von Turnieren auf der NÖEV-Homepage

Handbuch zur Anlage von Turnieren auf der NÖEV-Homepage Handbuch zur Anlage von Turnieren auf der NÖEV-Homepage Inhaltsverzeichnis 1. Anmeldung... 2 1.1 Startbildschirm... 3 2. Die PDF-Dateien hochladen... 4 2.1 Neue PDF-Datei erstellen... 5 3. Obelix-Datei

Mehr

Zahlen und das Hüten von Geheimnissen (G. Wiese, 23. April 2009)

Zahlen und das Hüten von Geheimnissen (G. Wiese, 23. April 2009) Zahlen und das Hüten von Geheimnissen (G. Wiese, 23. April 2009) Probleme unseres Alltags E-Mails lesen: Niemand außer mir soll meine Mails lesen! Geld abheben mit der EC-Karte: Niemand außer mir soll

Mehr

Bedienungsanleitung. Matthias Haasler. Version 0.4. für die Arbeit mit der Gemeinde-Homepage der Paulus-Kirchengemeinde Tempelhof

Bedienungsanleitung. Matthias Haasler. Version 0.4. für die Arbeit mit der Gemeinde-Homepage der Paulus-Kirchengemeinde Tempelhof Bedienungsanleitung für die Arbeit mit der Gemeinde-Homepage der Paulus-Kirchengemeinde Tempelhof Matthias Haasler Version 0.4 Webadministrator, email: webadmin@rundkirche.de Inhaltsverzeichnis 1 Einführung

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Wir gehen aus von euklidischen Anschauungsraum bzw. von der euklidischen Zeichenebene. Parallele Geraden schneiden einander nicht.

Wir gehen aus von euklidischen Anschauungsraum bzw. von der euklidischen Zeichenebene. Parallele Geraden schneiden einander nicht. 2 Ein wenig projektive Geometrie 2.1 Fernpunkte 2.1.1 Projektive Einführung von Fernpunkten Wir gehen aus von euklidischen Anschauungsraum bzw. von der euklidischen Zeichenebene. Parallele Geraden schneiden

Mehr

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen. Informales Beispiel. Informales Beispiel.

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen. Informales Beispiel. Informales Beispiel. Kontextfreie Kontextfreie Motivation Formale rundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen Bisher hatten wir Automaten, die Wörter akzeptieren Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de

Mehr

CODIERUNGSTHEORIE KURS ZELL AN DER PRAM, FEBRUAR 2005

CODIERUNGSTHEORIE KURS ZELL AN DER PRAM, FEBRUAR 2005 CODIERUNGSTHEORIE KURS ZELL AN DER PRAM, FEBRUAR 2005. Das Problem.. Quellcodierung und Datenkompression. Wir wollen eine Nachricht über einen digitalen Kanal, der nur 0 oder übertragen kann, schicken.

Mehr

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen

Mehr

7 Die Determinante einer Matrix

7 Die Determinante einer Matrix 7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Eva Douma: Die Vorteile und Nachteile der Ökonomisierung in der Sozialen Arbeit

Eva Douma: Die Vorteile und Nachteile der Ökonomisierung in der Sozialen Arbeit Eva Douma: Die Vorteile und Nachteile der Ökonomisierung in der Sozialen Arbeit Frau Dr. Eva Douma ist Organisations-Beraterin in Frankfurt am Main Das ist eine Zusammen-Fassung des Vortrages: Busines

Mehr

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren

Mehr

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!. 040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl

Mehr

1. Weniger Steuern zahlen

1. Weniger Steuern zahlen 1. Weniger Steuern zahlen Wenn man arbeitet, zahlt man Geld an den Staat. Dieses Geld heißt Steuern. Viele Menschen zahlen zu viel Steuern. Sie haben daher wenig Geld für Wohnung, Gewand oder Essen. Wenn

Mehr

Das Schulsystem in Deutschland (Band 2, Lektion 1)

Das Schulsystem in Deutschland (Band 2, Lektion 1) Pluspunkt Deutsch Das Schulsystem in Deutschland (Band 2, Lektion 1) Übung 1 Lesen Sie den Text und kreuzen Sie an: Richtig oder falsch? In Deutschland können die Kinder mit 3 Jahren in den Kindergarten

Mehr

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler

Mehr

Was ist Sozial-Raum-Orientierung?

Was ist Sozial-Raum-Orientierung? Was ist Sozial-Raum-Orientierung? Dr. Wolfgang Hinte Universität Duisburg-Essen Institut für Stadt-Entwicklung und Sozial-Raum-Orientierte Arbeit Das ist eine Zusammen-Fassung des Vortrages: Sozialräume

Mehr

Installation des Add-Ins für Lineare Algebra in Microsoft Excel

Installation des Add-Ins für Lineare Algebra in Microsoft Excel Installation des Add-Ins für Lineare Algebra in Microsoft Excel Matrix 2.2 by The Foxes Team http://digilander.libero.it/foxes/ Download der Matrix 2.2 Im Browser die Seite http://digilander.libero.it/foxes/download.htm

Mehr

AGROPLUS Buchhaltung. Daten-Server und Sicherheitskopie. Version vom 21.10.2013b

AGROPLUS Buchhaltung. Daten-Server und Sicherheitskopie. Version vom 21.10.2013b AGROPLUS Buchhaltung Daten-Server und Sicherheitskopie Version vom 21.10.2013b 3a) Der Daten-Server Modus und der Tresor Der Daten-Server ist eine Betriebsart welche dem Nutzer eine grosse Flexibilität

Mehr

Die Post hat eine Umfrage gemacht

Die Post hat eine Umfrage gemacht Die Post hat eine Umfrage gemacht Bei der Umfrage ging es um das Thema: Inklusion Die Post hat Menschen mit Behinderung und Menschen ohne Behinderung gefragt: Wie zufrieden sie in dieser Gesellschaft sind.

Mehr

Fernseher Bild Bildschirm Computergeräte. Festplatte CD DVD Eingabegerät. Computertasten Mauszeiger Cursor rechten Maustaste

Fernseher Bild Bildschirm Computergeräte. Festplatte CD DVD Eingabegerät. Computertasten Mauszeiger Cursor rechten Maustaste Lückenfüller Arbeitsblatt 2 - Der Computer Nadine Roth CC BY-NC-SA Der Computer Der Monitor: - Der Monitor ist einem Fernseher ganz ähnlich. - Er zeigt dir als Bild alle Programme, Spiele und andere Dinge,

Mehr

Wie Google Webseiten bewertet. François Bry

Wie Google Webseiten bewertet. François Bry Wie Google Webseiten bewertet François Bry Heu6ge Vorlesung 1. Einleitung 2. Graphen und Matrizen 3. Erste Idee: Ranking als Eigenvektor 4. Fragen: Exisi6ert der Eigenvektor? Usw. 5. Zweite Idee: Die Google

Mehr

Berechnungen in Access Teil I

Berechnungen in Access Teil I in Access Teil I Viele Daten müssen in eine Datenbank nicht eingetragen werden, weil sie sich aus anderen Daten berechnen lassen. Zum Beispiel lässt sich die Mehrwertsteuer oder der Bruttopreis in einer

Mehr

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r )

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r ) Definition B : Menge der binären Bäume, rekursiv definiert durch die Regeln: ist ein binärer Baum sind t l, t r binäre Bäume, so ist auch t =, t l, t r ein binärer Baum nur das, was durch die beiden vorigen

Mehr

Planen mit mathematischen Modellen 00844: Computergestützte Optimierung. Autor: Dr. Heinz Peter Reidmacher

Planen mit mathematischen Modellen 00844: Computergestützte Optimierung. Autor: Dr. Heinz Peter Reidmacher Planen mit mathematischen Modellen 00844: Computergestützte Optimierung Leseprobe Autor: Dr. Heinz Peter Reidmacher 11 - Portefeuilleanalyse 61 11 Portefeuilleanalyse 11.1 Das Markowitz Modell Die Portefeuilleanalyse

Mehr

Aufgabensammlung Bruchrechnen

Aufgabensammlung Bruchrechnen Aufgabensammlung Bruchrechnen Inhaltsverzeichnis Bruchrechnung. Kürzen und Erweitern.................................. 4. Addition von Brüchen................................... Multiplikation von Brüchen...............................

Mehr

Die Invaliden-Versicherung ändert sich

Die Invaliden-Versicherung ändert sich Die Invaliden-Versicherung ändert sich 1 Erklärung Die Invaliden-Versicherung ist für invalide Personen. Invalid bedeutet: Eine Person kann einige Sachen nicht machen. Wegen einer Krankheit. Wegen einem

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 2 Zustandsdiagramme (6 Punkte, wird korrigiert)

Mehr

Übungen 19.01.2012 Programmieren 1 Felix Rohrer. Übungen

Übungen 19.01.2012 Programmieren 1 Felix Rohrer. Übungen Übungen if / else / else if... 2... 2 Aufgabe 2:... 2 Aufgabe 3:... 2 Aufgabe 4:... 2 Aufgabe 5:... 2 Aufgabe 6:... 2 Aufgabe 7:... 3 Aufgabe 8:... 3 Aufgabe 9:... 3 Aufgabe 10:... 3 switch... 4... 4 Aufgabe

Mehr

Leitfaden zur Durchführung eines Jahreswechsels in BüroWARE 5.x

Leitfaden zur Durchführung eines Jahreswechsels in BüroWARE 5.x Leitfaden zur Durchführung eines Jahreswechsels in BüroWARE 5.x Zentrale: T: 07121/69509-0 F: 07121/69509-50 Technik: T: 07121/69509-30 ecommerce: T: 07121/69509-20 Software: T: 07121/69509-10 E-Mail Web

Mehr

Gitterherstellung und Polarisation

Gitterherstellung und Polarisation Versuch 1: Gitterherstellung und Polarisation Bei diesem Versuch wollen wir untersuchen wie man durch Überlagerung von zwei ebenen Wellen Gttterstrukturen erzeugen kann. Im zweiten Teil wird die Sichtbarkeit

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Förderverein aktive Nachbarschaften Lollar e.v. Verbraucherinformation. Stromanbieterwechsel leicht gemacht!

Förderverein aktive Nachbarschaften Lollar e.v. Verbraucherinformation. Stromanbieterwechsel leicht gemacht! Stromanbieterwechsel leicht gemacht! Sie haben schon oft über einen Wechsel des Stromanbieters nachgedacht, sind aber davor zurückgeschreckt, weil Sie befürchten, so ein Wechsel ist langwierig, mühsam,

Mehr

Theoretische Informatik SS 04 Übung 1

Theoretische Informatik SS 04 Übung 1 Theoretische Informatik SS 04 Übung 1 Aufgabe 1 Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine natürliche Zahl n zu codieren. In der unären Codierung hat man nur ein Alphabet mit einem Zeichen - sagen wir die

Mehr

6.2 Perfekte Sicherheit

6.2 Perfekte Sicherheit 04 6.2 Perfekte Sicherheit Beweis. H(B AC) + H(A C) = H(ABC) H(AC) + H(AC) H(C) Wegen gilt Einsetzen in die Definition gibt = H(AB C). H(A BC) = H(AB C) H(B C). I(A; B C) = H(A C) H(AB C) + H(B C). Da

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

EDV-Fortbildung Kombi-Schulung Word-Excel 2010. Modul Excel. Informationen zum Programm. Die Programmoberfläche von Excel

EDV-Fortbildung Kombi-Schulung Word-Excel 2010. Modul Excel. Informationen zum Programm. Die Programmoberfläche von Excel EDV-Fortbildung Kombi-Schulung Word-Excel 2010 Modul Excel Informationen zum Programm Microsoft Excel ist das meistverbreitete Programm zur Tabellenkalkulation. Excel bietet sich für umfangreiche, aber

Mehr

4. Jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder, ein linkes und ein rechtes.

4. Jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder, ein linkes und ein rechtes. Binäre Bäume Definition: Ein binärer Baum T besteht aus einer Menge von Knoten, die durch eine Vater-Kind-Beziehung wie folgt strukturiert ist: 1. Es gibt genau einen hervorgehobenen Knoten r T, die Wurzel

Mehr

der Eingabe! Haben Sie das Ergebnis? Auf diesen schwarzen Punkt kommen wir noch zu sprechen.

der Eingabe! Haben Sie das Ergebnis? Auf diesen schwarzen Punkt kommen wir noch zu sprechen. Medizintechnik MATHCAD Kapitel. Einfache Rechnungen mit MATHCAD ohne Variablendefinition In diesem kleinen Kapitel wollen wir die ersten Schritte mit MATHCAD tun und folgende Aufgaben lösen: 8 a: 5 =?

Mehr

Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat.

Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat. Die k/2 - Formel von Renate Vistorin Zentrales Thema dieses Vortrages ist die k/2 - Formel für meromorphe Modulformen als eine Konsequenz des Residuensatzes. Als Folgerungen werden danach einige Eigenschaften

Mehr

Leitfaden zur Durchführung eines Jahreswechsels in BüroWARE 5.x

Leitfaden zur Durchführung eines Jahreswechsels in BüroWARE 5.x Leitfaden zur Durchführung eines Jahreswechsels in BüroWARE 5.x Je nach BüroWARE Version kann sich das Menü des Datenbankassistenten von den Bildschirmausdrucken in unserem Leitfaden unterscheiden. Der

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Unsere Ideen für Bremen!

Unsere Ideen für Bremen! Wahlprogramm Ganz klar Grün Unsere Ideen für Bremen! In leichter Sprache. Die Partei BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN hat diesen Text geschrieben. BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN Adresse: Schlachte 19/20 28195 Bremen Telefon:

Mehr

ALEMÃO. Text 1. Lernen, lernen, lernen

ALEMÃO. Text 1. Lernen, lernen, lernen ALEMÃO Text 1 Lernen, lernen, lernen Der Mai ist für viele deutsche Jugendliche keine schöne Zeit. Denn dann müssen sie in vielen Bundesländern die Abiturprüfungen schreiben. Das heiβt: lernen, lernen,

Mehr

Zahlensysteme Seite -1- Zahlensysteme

Zahlensysteme Seite -1- Zahlensysteme Zahlensysteme Seite -- Zahlensysteme Inhaltsverzeichnis Dezimalsystem... Binärsystem... Umrechnen Bin Dez...2 Umrechnung Dez Bin...2 Rechnen im Binärsystem Addition...3 Die negativen ganzen Zahlen im Binärsystem...4

Mehr

Tragen Sie bitte im Anmeldefeld die Daten ein, die Sie von uns erhalten haben.

Tragen Sie bitte im Anmeldefeld die Daten ein, die Sie von uns erhalten haben. Online Katalog der Bildstelle Peine: http://nds-pe.datenbank-bildungsmedien.net/ Anmeldung: Klicken Sie bitte auf ganz rechts. Tragen Sie bitte im Anmeldefeld die Daten ein, die Sie von uns erhalten haben.

Mehr

Anwendungsbeispiele Buchhaltung

Anwendungsbeispiele Buchhaltung Rechnungen erstellen mit Webling Webling ist ein Produkt der Firma: Inhaltsverzeichnis 1 Rechnungen erstellen mit Webling 1.1 Rechnung erstellen und ausdrucken 1.2 Rechnung mit Einzahlungsschein erstellen

Mehr

Anleitung. Schritt für Schritt: iphone und ipad. Richten Sie Ihr E-Mail-Konto mit Ihrem iphone oder ipad Schritt für Schritt ein.

Anleitung. Schritt für Schritt: iphone und ipad. Richten Sie Ihr E-Mail-Konto mit Ihrem iphone oder ipad Schritt für Schritt ein. Anleitung Schritt für Schritt: iphone und ipad Richten Sie Ihr E-Mail-Konto mit Ihrem iphone oder ipad Schritt für Schritt ein. Inhaltsverzeichnis 1 E-Mail-Konten-Verwaltung... 1 2 E-Mail-Konto hinzufügen...

Mehr

5.1.4.4 Übung - Datenmigration in Windows 7

5.1.4.4 Übung - Datenmigration in Windows 7 5.0 5.1.4.4 Übung - Datenmigration in Windows 7 Einführung Drucken Sie die Übung aus und führen Sie sie durch. In dieser Übung verwenden Sie Windows 7. Empfohlene Ausstattung Die folgende Ausstattung ist

Mehr

Jede Zahl muss dabei einzeln umgerechnet werden. Beginnen wir also ganz am Anfang mit der Zahl,192.

Jede Zahl muss dabei einzeln umgerechnet werden. Beginnen wir also ganz am Anfang mit der Zahl,192. Binäres und dezimales Zahlensystem Ziel In diesem ersten Schritt geht es darum, die grundlegende Umrechnung aus dem Dezimalsystem in das Binärsystem zu verstehen. Zusätzlich wird auch die andere Richtung,

Mehr

Übungsaufgaben Prozentrechnung und / oder Dreisatz

Übungsaufgaben Prozentrechnung und / oder Dreisatz Übungsaufgaben Prozentrechnung und / oder Dreisatz 1. Bei der Wahl des Universitätssprechers wurden 800 gültige Stimmen abgegeben. Die Stimmen verteilten sich so auf die drei Kandidat/innen: A bekam 300,

Mehr

Also heißt es einmal mehr, immer eine eigene Meinungen bilden, nicht beeinflussen lassen, niemals von anderen irgend eine Meinung aufdrängen lassen.

Also heißt es einmal mehr, immer eine eigene Meinungen bilden, nicht beeinflussen lassen, niemals von anderen irgend eine Meinung aufdrängen lassen. Seite 1 von 5 Wirtschaft, Finanzen und IT Computer und Technologie Internetseiten Übersichtlich alle verfügbaren Internetseiten von wirfinit. de und darüber hinaus, weitere empfehlenswerte Internetseiten

Mehr

Einrichten eines HBCI- Zugangs mit Bank X 5.1

Einrichten eines HBCI- Zugangs mit Bank X 5.1 Einrichten eines HBCI- Zugangs mit Bank X 5.1 am Beispiel der Comdirect-Bank Rufen Sie in Bank X als erstes den Menüpunkt Ablage/Neue Kontenmappe auf. Sollten Sie bereits eine Kontenmappe in Bank X verwenden

Mehr

BIA-Wissensreihe Teil 4. Mind Mapping Methode. Bildungsakademie Sigmaringen

BIA-Wissensreihe Teil 4. Mind Mapping Methode. Bildungsakademie Sigmaringen BIA-Wissensreihe Teil 4 Mind Mapping Methode Bildungsakademie Sigmaringen Inhalt Warum Mind Mapping? Für wen sind Mind Maps sinnvoll? Wie erstellt man Mind Maps? Mind Mapping Software 3 4 5 7 2 1. Warum

Mehr

Anleitung zur Daten zur Datensicherung und Datenrücksicherung. Datensicherung

Anleitung zur Daten zur Datensicherung und Datenrücksicherung. Datensicherung Anleitung zur Daten zur Datensicherung und Datenrücksicherung Datensicherung Es gibt drei Möglichkeiten der Datensicherung. Zwei davon sind in Ges eingebaut, die dritte ist eine manuelle Möglichkeit. In

Mehr

Tips und Tricks an der Kasse MFPOS. Copyright by: MICROS-Fidelio GmbH Europadamm 2-6 D - 41460 Neuss Stand: März 2008 Version 1

Tips und Tricks an der Kasse MFPOS. Copyright by: MICROS-Fidelio GmbH Europadamm 2-6 D - 41460 Neuss Stand: März 2008 Version 1 Copyright by: MICROS-Fidelio GmbH Europadamm 2-6 D - 41460 Neuss Stand: März 2008 Version 1 Copyright MICROS-Fidelio GmbH, Neuss 2008 Alle Rechte vorbehalten. Ohne vorherige schriftliche Zustimmung von

Mehr

Wie ist das Wissen von Jugendlichen über Verhütungsmethoden?

Wie ist das Wissen von Jugendlichen über Verhütungsmethoden? Forschungsfragen zu Verhütung 1 Forschungsfragen zu Verhütung Wie ist das Wissen von Jugendlichen über Verhütungsmethoden? Wie viel Information über Verhütung ist enthalten? Wie wird das Thema erklärt?

Mehr

2 Die Terminaldienste Prüfungsanforderungen von Microsoft: Lernziele:

2 Die Terminaldienste Prüfungsanforderungen von Microsoft: Lernziele: 2 Die Terminaldienste Prüfungsanforderungen von Microsoft: Configuring Terminal Services o Configure Windows Server 2008 Terminal Services RemoteApp (TS RemoteApp) o Configure Terminal Services Gateway

Mehr

Der Gabelstapler: Wie? Was? Wer? Wo?

Der Gabelstapler: Wie? Was? Wer? Wo? Schreibkompetenz 16: schlusszeichen (Fragezeichen) sprechen zeichen Um eine Frage zu kennzeichnen, wird ein Fragezeichen (?) gesetzt. Fragewörter (zum Beispiel wo, wer, was, wie) zeigen an, dass ein Fragezeichen

Mehr

Eine Logikschaltung zur Addition zweier Zahlen

Eine Logikschaltung zur Addition zweier Zahlen Eine Logikschaltung zur Addition zweier Zahlen Grundlegender Ansatz für die Umsetzung arithmetischer Operationen als elektronische Schaltung ist die Darstellung von Zahlen im Binärsystem. Eine Logikschaltung

Mehr