Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K

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1 Satz 25

2 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K

3 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m.

4 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar,

5 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt,

6 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A =

7 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km,

8 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t)

9 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix

10 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0.

11 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =.

12 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen,

13 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar,

14 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1.

15 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t... λ m t½

16 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). λ m t... λ m t½

17 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, λ m t... λ m t½

18 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, dass P(A) =... λ m t½

19 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, dass P(A) = B P(Λ) B 1 =... λ m t½

20 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, dass 1) P(A) = B P(Λ) B 1 = B¼ P(λ m)½ B 1 P(λ λ m t½

21 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, dass 1) P(A) = B P(Λ) B 1 = B¼ P(λ... P(λ m)½ B... λ m t½ 1 = B0B 1

22 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Dann gilt: A ist g.d. diagonalisierbar, wenn ℵ A in Linearfaktoren zerfällt, also ℵ A = (λ 1 t) k1...(λ m t) km, und das Polynom P = (λ 1 t)...(λ m t) annihiliert die Matrix A: P(A) = 0. Beweis =. Angenommen, die Matrix ist diagonalisierbar, also A = BΛB 1. Aus Satz 22 folgt, dass ℵ A in Linearfaktoren zerfällt. Wir wiederholen den Beweis. ℵ Λ = det ¼ λ 1 t... λ 1 t... λ m t = (λ 1 t) geo A(λ 1)...(λ m t) geo A(λ m). Zum aufwärmen haben wir gezeigt, dass 1) P(A) = B P(Λ) B 1 = B¼ P(λ... P(λ m)½ B... λ m t½ 1 = B0B 1 = 0.

23 Beweis =

24 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) =

25 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0,

26 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A.

27 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V:

28 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 :=

29 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 :=

30 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u)

31 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u)

32 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } =

33 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } =

34 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } =

35 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au

36 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au

37 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 :=

38 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 :=

39 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 :=

40 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 :=

41 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 }

42 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u)

43 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u)

44 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V }

45 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V }

46 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V }

47 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u

48 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 :=

49 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 :=

50 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u)

51 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u)

52 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } =

53 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } =

54 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } =

55 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } =

56 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.

57 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }..

58 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V m :=.

59 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V m := Bild fm Vm 1 :=.

60 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u).

61 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u).

62 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 }

63 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 }

64 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 }

65 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V }

66 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u

67 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u

68 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u für alle u V }.

69 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u für alle u V }.

70 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u für alle u V }.

71 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u für alle u V }. dim(v 1 )

72 Beweis = Angenommen, P(A) = (λ m Id A)...(λ 1 Id A) = 0, ist also Produkt von Linearfaktoren. Sei f i : V V die lineare Abbildung mit Matrix λ i Id A. Betrachte die folgende Untervektorräume von V: V 1 := Bild f1 := {v V s.d. v = f 1 (u) für irgendeinen u V } = {λ 1 u Au für alle u V }. V 2 := Bild f2 V 1 := {v V s.d. v = f 2 (u) für irgendeinen u V 1 } = {v V s.d. v = f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }. V 3 := Bild f3 V 2 := {v V s.d. v = f 3 (u) für irgendeinen u V 2 } = {v V s.d. v = f 3 f 2 f 1 (u) für irgendeinen u V } = {(λ 3 Id A)(λ 2 Id A)(λ 1 Id A)u für alle u V }.. V m := Bild fm Vm 1 := {v V s.d. v = f m(u) für irgendeinen u V m 1 } = {v V s.d. v = f m... f 1 (u) für irgendeinen u V } = {P(A)u für alle u V }. dim(v 1 ) Dimensionsformel =

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