Institut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik I Version 3.0, 02/2002 Laborunterlagen

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1 Institut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik I Version 3.0, 0/00 7 Magnetismus 7. Grundlagen magnetischer Kreise Im folgenden wird die Vorgehensweise bei der Untersuchung eines magnetischen Kreises erläutert. a.) Magnetische Durchflutung Ausgangspunkt sei ein stromdurchflossener Leiter. Wenn ein Leiter aus mehreren Windungen besteht, dann trägt der Stromfluss jeder Windung zum Erzeugen eines Magnetfeldes bei. Daraus ergibt sich die Definition für die magnetische Durchflutung Θ = w I [A] (7.) welche die Ursache des Magnetfeldes (= Summe aller in den Windungen fließenden Ströme) darstellt. Die magnetische Durchflutung ist umso größer, je mehr stromdurchflossene Windungen vorhanden sind. b.) Magnetische Erregung Aus dem Durchflutungsgesetz (vereinfacht für einen geschlossenen Kreis aus nur einem Material, z.b. geschlossener Eisenring) H l m = w I (7.) folgt für magnetische Erregung (auch magnetische Feldstärke genannt) : w I H = [A/m] (7.3) l m wobei l m die mittlere Länge des magnetischen Pfades ist Die magnetische Erregung ist bei gegebener Geometrie und Windungszahl proportional zur Stromstärke I. c.) Magnetische Flussdichte, Hysteresekurve Die magnetische Erregung H erzeugt nun eine magnetische Flussdichte B, deren Größe sich aus der Hysteresekurve ergibt. Seite 7. (von 6)

2 Institut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik I Version 3.0, 0/00 Der Zusammenhang zwischen erzeugender magnetischer Erregung H und erzeugter Flussdichte B lautet: w I B = µ H = µ [T] oder [Vs/m ] (7.4) l m Für die Permeabilität µ gilt: µ = µ (7.5) 0 µ r wobei µ 0... Permeabilitätskonstante in Vakuum (= 4π 0-7 [Vs/Am]) µ r... Permeabilitätszahl des verwendeten Materials: µ r = in Luft, µ r >> in ferromagnetischer Materie (gemäß Hysteresekurve). H C B R B r >> Sättigung r = Neukurve in ferromagnetischer Materie in Luft ( r =) H Abb. 7. Für Luft ergibt sich also ein proportionaler Zusammenhang zwischen B und H mit sehr kleinen erzeugten Flussdichten B gemäß dem kleinen Proportionalitätsfaktor µ=µ 0 (strichliert eingezeichnete Gerade in Abb. 7.). In einem geschlossenen, ferromagnetischen Kreis (z.b. Eisenring) ist µ r nicht konstant, sondern von H abhängig und wesentlich größer als in Luft. Daher ist auch die erzeugte Flussdichte B nicht konstant, sondern verläuft entlang der werkstoffabhängigen Hystereseschleife des verwendeten Materials mit wesentlich höheren Werten als in Luft. Seite 7. (von 6)

3 Institut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik I Version 3.0, 0/00 Man kann sich dies veranschaulichen, wenn man bedenkt, dass die magnetische Permeabilität µ auch magnetische Leitfähigkeit genannt wird, da eben bei hohen Werten für µ r (also bei ferromagnetischen Materialien) aus einer gegebenen magnetischen Erregung H ein großes Magnetfeld B erzeugt wird (siehe Gleichung (7.4)), das Material also magnetisch leitfähiger ist. d.) Magnetischer Fluss Der magnetische Fluss Φ symbolisiert die Summe aller magnetischen Feldlinien in der betrachteten Materie. Die magnetische Flussdichte B ist der magnetische Fluss Φ bezogen auf die betrachtete Querschnittsfläche A, also die Summe der magnetischen Feldlinien pro Querschnittsfläche. φ B = (7.6) A Durch Umformung von (7.6) errechnet sich der magnetische Fluss mit φ = B A [Vs] (7.7) Die Hysteresekurve gibt den Magnetisierungsbedarf, d.h. die notwendige magnetische Erregung H, an, um eine bestimmte magnetische Flussdichte B (und in der Folge einen magnetischen Fluss φ) zu erzeugen. Der Zusammenhang zwischen B und H ist lediglich für Luft linear (in Abb. 7. strichliert eingezeichnet), jedoch ist das von einer bestimmten magnetischen Erregung erzeugte Magnetfeld (Flussdichte B) in Luft wesentlich geringer als in ferromagnetischen Materialien. Bei ferromagnetischen Materialien verläuft B in Abhängigkeit von H lediglich beim erstmaligen Magnetisieren des Materials vom Koordinaten-Nullpunkt beginnend (strichpunktiert eingezeichnete Kurve in Abb. 7., auch Neukurve genannt). Der Normalfall ist, dass im Material auch bei Abschalten der magnetischen Erregung H noch ein Restmagnetismus erhalten bleibt (Remanenzflussdichte B R in Abb. 7.). Erst bei einer Magnetisierung des Materials in der Größe der sogenannten Koerzitiv- Erregung H C mit entgegengesetzter Polarität (z.b. Änderung der Stromflussrichtung) geht die Flussdichte B gegen Null. Bei Wechselströmen erfolgt ein ständiger Wechsel der Stromflussrichtung (siehe Sinusschwingung), so dass also in ferromagnetischer Materie ständig die Hysteresekurve entlang der Schleife durchfahren wird ( Hystereseschleife ).. Die Fläche der Hysterese- Schleife ist ein Maß für die auftretenden Verluste durch das Ummagnetisieren. Materialien mit schmaler Hysterese- Schleife können mit geringeren Verlusten ummagnetisiert werden ( weichmagnetische Materialien ) und werden folglich für Maschinen, Transformatoren verwendet, welche Wechselströmen ausgesetzt sind. Seite 7.3 (von 6)

4 Institut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik I Version 3.0, 0/00 Materialien mit breiter Hystereseschleife verursachen bei Wechselströmen größere Verluste ( hartmagnetische Materialien ) und werden deshalb v.a. für Dauermagnete verwendet, welche das Magnetfeld beibehalten sollen. Denn je breiter die Hystereseschleife ist, desto größer ist die Remanenzflussdichte B R auf der Ordinate, welche nach Abschalten der Magnetisierung (H=0) erhalten bleibt. Das magnetische Wechselfeld ist lediglich dann ebenfalls sinusförmig (sinusförmiger Verlauf von B und φ), wenn der die Erregung H erzeugende Strom nur so groß ist, dass die Flussdichte B noch im näherungsweise linearen Bereich liegt (andernfalls geht die Proportionalität zwischen H und B verloren, und ein sinusförmiger Strom erzeugt keine sinusförmige Flussdichte B mehr Sättigungsbereich der Hysteresekurve, das ferromagnetische Material geht in Sättigung ). 7. Aufnahme der Hysteresekurve Die Darstellung der Hysteresekurve erfolgt mit dem Oszilloskop (siehe Abb. 7.), welches lediglich Spannungen als Eingangsgrößen verarbeiten kann. Daher ist es notwendig, spannungsproportionale Zusammenhänge der Größen B und H herzustellen: zwischen der magnetischen Erregung H und einer Spannung u x, welche an den horizontalen Signaleingang des Oszilloskops angeschlossen wird, sowie zwischen der magnetischen Flussdichte B und einer Spannung u y, die an den vertikalen Signaleingang des Oszilloskops angeschlossen wird. i i R C u y i=0 Oszi u u x u i R Abb. 7. Zusammenhang zwischen H und u x Das Magnetfeld in der gezeigten Messanordnung wird vom Strom i erzeugt, welcher zusammen mit den w Windungszahlen die magnetische Durchflutung Θ bildet. Die dadurch hervorgerufene magnetische Erregung H ergibt sich gemäß Gleichung (7.3) zu: Seite 7.4 (von 6)

5 Institut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik I Version 3.0, 0/00 H = w i l m Der Strom i ruft am Widerstand R gemäß Ohm schen Gesetz eine proportionale Spannung u x hervor: u x = i R (7.8) Somit erhält man den gesuchten proportionalen Zusammenhang zwischen der darzustellenden Größe H und der darstellbaren Spannung u x : w H = ux (7.9) l R m Zusammenhang zwischen B und u y Das Induktionsgesetz gibt die Spannung u i an, welche bei einer zeitlichen Änderung des einen Leiter durchsetzenden Magnetfeldes im Leiter erzeugt ( induziert ) wird. In unserem Fall ist die induzierte Spannung die auf der Sekundärseite vorherrschende Spannung u, welche vom magnetischen Wechselfeld (sinusförmig, wenn im ungesättigten Bereich der Hysteresekurve) der Primärwicklung erzeugt wird. ( A) dφ d B db = w = w = w A (7.0) dt dt dt u wobei w die Windungszahl der Sekundärwicklung ist. Damit erhalten wir für die magnetische Flussdichte B: = u w A dt B (7.) Wir benötigen nun eine Beziehung, mit deren Hilfe die Spannung u y proportional zum Integral von u wird. Dies wird in zwei Stufen erreicht:. Die Maschengleichung für den Sekundärkreis liefert in komplexer Schreibweise: = I R + (7.) j ω C U Wenn R >> (/ωc) gewählt wird, gilt näherungsweise: U I R =, bzw. in Zeitdarstellung: u = i R (7.3) Seite 7.5 (von 6)

6 Institut für Elektrotechnik Übungen zu Elektrotechnik I Version 3.0, 0/00. Es wird ein Kondensator C zu Hilfe genommen, dessen grundlegende Gleichung für die Messanordnung lautet: i du du c y = C = C (siehe Schaltvorgänge in Kap. ) (7.4) dt dt Durch Umformung erhält man: y = i dt (7.5) C u Durch Einsetzen von Gleichung (7.3) erhalten wir eine Spannung u y, die proportional zum Integral von u ist (wie oben angeführt): = y u R C dt (7.6) u Somit ergibt sich folgender proportionaler Zusammenhang zwischen B und u y : B R C = uy (7.7) w A Seite 7.6 (von 6)

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