Theoretische Physik III Quantenmechanik I (SS09) Übungsblatt 08 (20 + π + eπ Punkte) 1 Ausgabe Abgabe Besprechung n.v.

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1 Theoretische Physik III Quantenmechanik I (SS09) Übungsblatt 08 (20 + π + eπ Punkte) 1 Ausgabe Abgabe Besprechung n.v. Aufgabe 1 (Auswahlregeln) Die Wechselwirkung (engl. interaction) eines Atoms mit dem elektrischen Feld wird in der sog Dipolnäherung beschrieben Ĥ int = E ˆ D (1) worin ˆ D der Vektoroperator Dipolmoment, im Falle atomaren Wasserstoffs ˆ D = eˆ q. Für atomaren Wasserstoff (ohne Spin): Berechnen Sie die Matrixelemente nlm Ĥint n l m. Überzeugen Sie sich insbesondere von den sog Auswahlregeln l l l = ±1, m m m = 0, ±1. (2) Auswahlregeln spielen eine prominente Rolle bei der Wechselwirkung von Materie (= Haufen von Atomen) mit Licht. Lesen Sie aus den Auswahlregeln eine Hypothese für den Eigendrehimpuls (=Spin) des Photons ab. Aufgabe 2 (Messwertverteilungen Wasserstoffelektron) (3 Punkte) In der Vorlesung haben Sie die Wellenfunktion des Grundzustandes eines Wasserstoffelektrons (ohne Spin) kennengelernt, ψ 1,0,0 ( x) = 1 πa 3 0 e r/a 0, (3) wobei a 0 Bohr scher Radius. (a) Wie lautete die Wahrscheinlichkeitsdichte, bei einer Ortsmessung das Elektron im Abstand a vom Kern zu finden? Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte! (b) Zeigen Sie, daß die Wellenfunktion des Grundzustandes in der Impulsdarstellung durch ψ( k) = 23/2 1 1 π a 5/2 ( ) 0 k2 + a 2 2 (4) 0 gegeben ist. (c) Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte, bei einer Messung des Relativimpulses p = k die Wellenzahl k = k zu finden? 1 Aufgaben mit transzendenter Punktezahl sind fakultative Nüsse. Nüsse sind bekanntlich nahrhaft... c Martin Wilkens Juni 2009

2 Aufgabe 3 (Elektromagnetische Wechselwirkung) Aus der klassischen Elektrodynamik ist Ihnen die Bewegungsgleichung einer nicht zu schnellen Punktladung (Ladung e, Masse m) vertraut, [ ] m q = e E( q, t) + q B( q, t), (5) worin E und B die elektrische und magnetische Feldstärke. Fürderhin sei daran erinnert, dass sich die Felder E und B mittels eines skalaren Potentials Φ und Vektorpotentials A darstellen lassen, E( x, t) = Φ( x, t) t A( x, t), (6) B( x, t) = A( x, t). (7) (a) Zeigen Sie, dass H = 1 [ p ea( q, 2m 2 t)] + eφ( q, t) (8) eine Hamiltonfunktion der Newton-Lorentzgleichung (5). (b) Machen Sie sich klar, dass der kanonische Impuls p hier keinesfalls mit dem kinetischen Impuls m v zu identifizieren ist. Vielmehr m v = p e A. (siehe auch die nächste Aufgabe). Aufgabe 4 (Geschwindigeitsoperator) (3 Punkte) In Anlehnung an die klassische Mechanik ist der quantenmechanische Geschwindigkeitsoperator definiert ˆ v := i ] [Ĥ, ˆ q. (9) wobei ˆ q den Ortsoperator und Ĥ den Hamiltonoperator bezeichnet. Für ein Teilchen der Masse m und Ladung e im elektromagnetischen Feld, Ĥ = 1 ] 2 [ˆ p ea(ˆ q, t) + eφ(ˆ q, t). (10) 2m worin Φ, A das Potential des Feldes. Zeigen Sie (a) (b) ˆ v = 1 ] [ˆ p e ˆ A. (11) m worin i, j = x, y, z kartesischer Index. [ˆq i, ˆv j ] = i m δ ij (12) c Martin Wilkens Juni 2009

3 (c) (1 Punkte) [ˆv i, ˆv j ] = i e m 2 ɛ ijkb k (13) wobei ɛ ijk den vollständig antisymmetrischen Einheitstensor bezeichnet, und B = A (Magnetfeld). Bemerkung: Zuweilen wird diese Identität in der Form ˆ v ˆ v = i e/(m 2 ) B geschrieben. Aufgabe 5 (Paulimatrizen und Spin-1/2) Gegeben die sog Paulimatrizen ( ) 0 1 ˆσ x =, ˆσ 1 0 y = ( 0 i i 0 ), ˆσ z = ( (8 Punkte) ). (14) (a) Zeigen Sie: Die durch ŝ a = 2 ˆσ a, a = x, y, z (15) definierten Operatoren genügen der Drehimpulsalgebra. Bemerkung: Angesichts dieser Tatsache dürfen die drei Operatoren ˆσ a, bzw. ŝ a, als kartesische Komponenten eines Euklidischen Vektoroperators ˆ σ, bzw. ˆ s, aufgefasst werden, genannt Paulispin. Vektoroperator heisst in diesem Zusammenhang, dass sich seine Komponenten unter Drehungen des Koordinatensystems wie kartesische Komponenten des Koordinatenvektors transformieren. (b) Die Länge des Spins sei durch ˆ s 2 = ŝ 2 x + ŝ 2 y + ŝ 2 z definiert. Wie lautet seine Matrixdarstellung? (c) Zeigen Sie: Für kartesische Komponenten ˆσ a, a = x, y, z gilt: ˆσ aˆσ b = iˆσ c, ˆσ aˆσ bˆσ c = iˆ1, (abc = xyz zyklisch). (16) (d) Es sei a ein Euklidischer Einheitsvektor, und ˆσ a = a ˆ σ die kartesische Komponente des Paulispins in a-richtung. Zeigen Sie: ˆσ 2 a = ˆ1, Tr {ˆσ a } = 0, Det {ˆσ a } = 1, (17) wobei Tr die Spur (engl. trace), d.h. die Summe der Diagonalelemente, und Det die Determinante, d.h. das Produkt der Eigenwerte bezeichnet. (e) Was sind die Eigenwerte von ˆσ a? (f) Seien nun mit 0, 1 die Eigenvektoren von ˆσ z zu den Eigenwerten σ = 1, σ = +1, und ψ = α 0 + β 1 ein Zustandsvektor. Welche Bedeutung haben die komplexen Koeffizienten α, β? (g) Wir betrachten nun die Messung von ˆσ x im Zustand ψ wie in (f). Welche Messwerte dürfen mit welcher Wahrscheinlichkeit erwartet werden? c Martin Wilkens Juni 2009

4 (h) Für den in (f) spezifizierten Zustand wird nun eine Messung von ˆσ z gefolgt von einer Messung von ˆσ x analysiert. Was können Sie über die zu erwartenden Messresultate sagen? Aufgabe 6 (Noch mehr Spinologie... ) Betrachte den Operator { Û φ n := exp i } φ n ˆ s (18) wobei n Euklidischer Einheitsvektor, φ reell und ˆ s der Spinvektoroperator eines Spin-1/2 Teilchens. Wie lautet Û in der Standard-Matrixdarstellung? Hinweis: Sie werden sich doch an die Reihendarstellung der e-funktion erinnern? Möglicherweise auch an e ix = cos(x) + i sin(x)? Und wenn Sie sich jetzt noch (17) vergegenwärtigen sind Sie auch schon fertig... Aufgabe 7 (Bewegung im Magnetfeld/Quanten-Hall-Effekt) (eπ Punkte) Wir betrachten ein geladenes Punktteilchen (Masse m, Ladung e) im homogenen Magnetfeld B = B e z. Der Hamiltonoperator lautet Ĥ = 1 ] 2 [ˆ p ea(ˆ q), (19) 2m mit ˆ q A = B. (a) Stellen Sie die klassischen Bewegungsgleichungen auf, lösen Sie sie, und verifizieren Sie, daß sich das Teilchen mit der Zyklotronfrequenz ω c = eb m auf einer Kreisbahn bewegt. Was ist die Energie des Teilchens? (20) (b) Definieren Sie Operatoren ˆX 0 = ˆq x + ˆv y /ω c, (21) Ŷ 0 = ˆq y ˆv x /ω c, (22) wobei ˆ v der in Aufgabe (1) definierte Geschwindigkeitsoperator ist. Beweisen Sie [Ĥ, ˆX0 ] = 0, (23) [Ĥ, Ŷ 0 ] = 0, (24) [ ˆX0, Ŷ0] = i e e a2 m, (25) wobei a m = [ /( e B)] 1/2 die sog. magnetische Länge bezeichnet. Was ist die physikalische Bedeutung der Operatoren ˆX 0, Ŷ0? Hinweis: Die physikalische Bedeutung erkennen Sie nach einem kurzen Blick auf Ihre Lösung von (a). Übrigens: X 0, Y 0 nennt man auch Orbitzentrumskoordinaten... c Martin Wilkens Juni 2009

5 (c) Beweisen Sie die Unschärferelation der Orbitzentrumskoordinaten δx 0 δy a2 m. (26) Behalten Sie in Erinnerung: ein geladenes Teilchen im Magentefeld beansprucht eine Fläche umgekehrt proportional dem Magnetfeld. (d) Drücken Sie den Hamiltonoperator (19) durch den in Aufgabe (1) definierten Geschwindigkeitsoperator aus. Benutzen Sie die Algebra des Geschwindigkeitsoperators um die Eigenwerte von Ĥ zu bestimmen, E n (v z ) = (n + 1/2) ω c + mv 2 z/2. (27) Hinweis: Ĥ ist quadratisch in ˆv x und ˆv y wobei der Kommutator von ˆv x und ˆv y dem kanonischen Kommutator eines 1D Punktteilchens gleicht... offensichtlich hat man es bei der Bewegung in der xy-ebene formal mit einem harmonischen Oszillator zu tun. (e) Um auch die Eigenfunktionen von Ĥ zu bestimmen wählen Sie die sog Landau- Eichung A x = yb, A y = A z = 0. Lösen Sie die dazugehörige stationäre Schrödingergleichung in der Ortsdarstellung. (f) In der Landau-Eichung lauten die Lösungen der stationären Schrödingergleichung ψ(x, y, z) = Ne i(kxx+kzz) H n ((y y 0 )/a m ) e (y y 0) 2 /a 2 m, (28) wobei y 0 = k x /(eb), N eine Normierungskonstante, und H n Hermitepolynom. Was ist die Bedeutung der Quantenzahlen k x, k z, n? Hinweis: Studieren Sie die Orbitzentrumsoperatoren ˆX 0, Ŷ0 in der Landau-Eichung... (g) Schätzen Sie die Entartung der Landauniveaus (27) für ein großes System mit periodischen Randbedingungen ab. Vielleicht lassen Sie sich von den in (c) gesammelten Erfahrungen inspirieren... Bemerkung: Das in dieser Aufgabe studierte System spielt eine wichtige Rolle beim sog. Quanten-Hall Effekt. Eine gute Einführung vermittelt M. Janßen, O. Viehweger, U. Fastenrath und J. Hajdu Introduction to the Theory of the Integer Quantum Hall Effect, VCH Verlagsgesellschaft, Weinheim (1994). Aufgabe 8 (Wohnst-Du-noch) (π Punkte) Bei einem Möbelhaus Ihrer Wahl kaufen Sie Spin-1/2 Teilchen. Beim Auspacken stellen Sie fest, dass man vergessen hat, den Zustand auf dem Beipackzettel anzugeben. Geben Sie ein Verfahren an, um den Zustand der erworbenen Teilchen zu charakterisieren. Zur Verfügung steht Ihnen ein Stern-Gerlach Magnet mit variabler Orientierung. c Martin Wilkens Juni 2009