Lehrplanbezüge zu den zentral vorgegebenen Mathematik- Aufgaben anhand von Beispielen Vera 2004

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1 Lehrplanbezüge zu den zentral vorgegebenen Mathematik- Aufgaben anhand von Beispielen Vera 2004 Projekt VERA 2004 K. Bossaller, K. Cottmann, M. Dannenberger, B. Dedekind, R. Forthaus, I. Fröhlich, A. Gebert, H. Haubold, J.- H. Lorenz, H. Sabelus, D. Schnitzler, S. Wagner

2 Zum Aufbau des Dokumentes Im vorliegenden Dokument werden für eine Auswahl aus den zehn zentral vorgegeben Aufgaben in Mathematik die Bezüge zu den unterschiedlichen Lehrplänen der an VERA teilnehmenden Länder dargestellt. Fokussiert wird auf die selben Aufgaben, die bereits in den Überlegungen zur didaktischen Nutzung der VERA-Aufgaben analysiert wurden 1. Der Schwerpunkt liegt im vorliegenden Dokument auf dem Bezug zu den inhaltlichen Bereichen der Lehrpläne, da bestimmte andere Anforderungen des Mathematikunterrichts und des mathematikbezogenen Fähigkeitserwerbs (wie gemeinschaftliches Arbeiten, Kommunikation mithilfe und über Mathematik etc.) durch Beispiel-Aufgaben nur unzulänglich abgebildet werden können. Die Darstellung basiert auf folgenden Lehrplänen (unter den angegebenen Internetadressen sind die entsprechenden Dokumente z. Zt. verfügbar): Berlin, Brandenburg, Bremen und Mecklenburg-Vorpommern: Rahmenplan Grundschule Mathematik (2004). Berlin: Wissenschaft und Technik (hier: Druckversion für das Land Brandenburg). Herausgeber: Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg, Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Berlin, Senator für Bildung und Wissenschaft Bremen, Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur Mecklenburg-Vorpommern. Nordrhein-Westfalen: Richtlinien und Lehrpläne zur Erprobung für die Grundschule in Nordrhein-Westfalen (2003). Frechen: Ritterbach Verlag. (Anmeldung erforderlich) Herausgeber: Ministerium für Schule, Jugend und Kinder des Landes Nordrhein-Westfalen. Rheinland-Pfalz: Rahmenplan Grundschule. Allgemeine Grundlegung Teilrahmenplan Mathematik (2002). Grünstadt: Sommer Druck und Verlag. Herausgeber: Ministerium für Bildung, Frauen und Jugend. Schleswig-Holstein: Lehrplan Grundschule (1997). Herausgeber: Ministerium für Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein. Weitere Informationen zu den Lehrplänen unter: (Dikaktische_Ueberlegungen_Mahte.pdf), hierin werden auch die Bezüge zu den Bildungsstandards für die Grundschule im Fach Mathematik dargestellt. 1

3 1 Arithmetik 1.1 Zentrale Aufgabe 7 Teilaufgabe c) Finde die passenden Rechenzeichen: +, -,, :! c) 50 1 = 7 7 Korrekte Lösung - und (Minus und Mal) F1 : und (in der ersten Operation nur erkannt, dass eine Verminderungsoperation eingesetzt werden soll, aber die falsche gewählt) F2 : und + (in der ersten Operation nur erkannt, dass eine Verminderungsoperation eingesetzt werden soll, in der zweiten die Vergrößerungsoperation, jeweils die falsche gewählt) F3 und (erste Operation falsch verstanden, in der zweiten Operation nur erkannt, dass eine Vergrößerungsoperation eingesetzt werden soll) F4 : und - (evtl. Probleme beim Verständnis der Ziffern 1 und 0, da in der ersten Operation, durch 1 geteilt wird, in der zweiten das Ergebnis 0 berechnet wird) VERA - Fähigkeitsniveau 3 (fortgeschrittene Fähigkeiten) Allgemein: Es werden auch anspruchsvollere Aufgaben hinreichend sicher gelöst. Arithmetik: Flexible Beherrschung der Grundrechenarten Zahlen können durch geeignete Operationen zu einer Zielzahl kombiniert werden. 1.2 Lehrplanbezüge Arithmetik Berlin, Brandenburg, Bremen, Mecklenburg-Vorpommern 2 Das Lehrplanwerk dieser Länder orientiert sich in Grundzügen an den Standards der Kultusministerkonferenz. Hier heißt es: In den Rahmenlehrplänen beschreiben Standards, welche Kompetenzen die Schülerinnen und Schüler in den Fächern bis zum Ende der Grundschulzeit entwickelt haben müssen. Sie fokussieren auf zentrale Ziele in den Fächern der Grundschule. [...] Somit bilden die Standards den Kernbestand aus der Gesamtheit der Ziele für die pädagogische Arbeit der Grundschule ab (S. 10). 2 Die Angabe der Seitenzahlen bezieht sich auf die Druckversion des Rahmenlehrplanes für das Land Brandenburg. Daraus können geringfügige Abweichungen in den Seitenangaben für die übrigen Länder entstehen. 2

4 Inhaltlich wird im Lehrplan das klassische Gebiet der Arithmetik schwerpunktmäßig unter dem Inhaltsbereich Zahlen und Operationen geführt. Bezogen auf die oben dargestellte VE- RA-Aufgabe lässt sich folgender Bezug im Lehrplanwerk finden: Im Themenfeld Zahlen und Operationen erfolgt eine deutliche Schwerpunktsetzung auf ein solides Zahl- und Operationsverständnis, auf sichere Fertigkeiten im Kopfrechnen [...]. Das Zahlverständnis der Schülerinnen und Schüler wird ausgebaut, gefestigt und systematisiert. [...] Die Schülerinnen und Schüler gewinnen ein systematisches und beziehungsreiches Operationsverständnis. Das bedeutet, dass sie für jede Rechenoperation innermathematische Zusammenhänge und Strukturierungen erkennen sowie die Beziehungen zwischen den Operationen von Anfang an erfassen. Sie erwerben variable Rechenfertigkeiten [...]. Das sichere Ausführen der Grundrechenoperationen und der dazugehörigen Grundaufgaben ist Voraussetzung des Rechnens in allen Zahlenräumen. In den Jahrgangsstufen 1 bis 4 lernen die Schülerinnen und Schüler unterschiedliche Methoden zum Rechnen kennen. Kopfrechnen ist als Grundlage des Rechnens durchgängig bedeutsam. Die Schülerinnen und Schüler sollen ein Gefühl für Zahlen und den Umgang mit ihnen entwickeln. [...] In allen Jahrgangsstufen erhalten die Schülerinnen und Schüler beim Arbeiten mit Zahlen und beim Rechnen ausreichend Gelegenheit, Muster, Strukturen und Zuordnungen zu entdecken und diese in unterschiedlicher Weise darzustellen. [...] (S. 28f.) Nordrhein-Westfalen Generell werden als Kernbereiche des Faches Mathematik Arithmetik, Geometrie und Sachrechnen expliziert. Einige Lehrplanbezüge zum Bereich Arithmetik, die speziell die oben abgebildete VERA-Aufgabe betreffen, sind im Folgenden dargestellt 3. Als eine Aufgabe des Faches Mathematik wird im Lehrplan u.a. folgender Punkt genannt: Herausbildung des Verständnisses, der Sicherheit und der Flexibilität im Umgang mit Zahlen und mit Rechenoperationen (S. 71). Unter dem Punkt Fähigkeiten und Fertigkeiten (1.1) wird betont, dass Kinder insbesondere die vier Grundrechenarten sicher und flexibel ausführen und anwenden können sollen. Als Kenntnisse (Punkt 1.2) sollen grundlegende Zahl- und Operationsvorstellungen erworben werden (S. 93). Unmittelbar zum Bereich Arithmetik (3.1) heißt es: Die zentrale Zielsetzung im Bereich Arithmetik besteht in der Ausbildung von Verständnis, Sicherheit und Flexibilität im Umgang mit Zahlen und mit Rechenoperationen. [...] Im Verlauf der Grundschulzeit gewinnen die 3 Zahlen in Klammern benennen Abschnitte bzw. Seitenzahlen im Lehrplan von Nordrhein-Westfalen. 3

5 Schülerinnen und Schüler tragfähige und vielfältige Vorstellungen von Zahlen, insbesondere von ihrer Repräsentation in verschiedenen Darstellungsformen (S. 75). Als Aufgabenschwerpunkte für die Unterrichtsgegenstände in den Klassen 3 und 4 werden unter dem Stichwort Operationsvorstellungen u.a. folgende Punkte herausgestellt: Grundvorstellungen der vier Rechenarten ausbauen die Grundrechenarten miteinander verbinden, dabei [...] Operationseigenschaften aufdecken (S. 77) Schleswig-Holstein Die folgende Übersicht listet für den Lehrplan in Schleswig-Holstein die fachlichen Intentionen des Mathematikunterrichts im Rahmen von fünf Arbeitsfeldern auf: Zahlbegriffsentwicklung Operationen Größen Geometrie Sachrechnen (S. 80). Die o.g. VERA-Aufgabe lässt sich unter das Arbeitsfeld Operationen einordnen. Bereits für die Klassenstufe 3 wird innerhalb dieses Arbeitsfeldes folgender Schwerpunkt für den Mathematikunterricht genannt: Konstanz der Summe, der Differenz, des Produktes und des Quotienten erkennen und bei der Lösung von Gleichungen anwenden (S. 84). Für die Klassenstufe 4 wird innerhalb dieses Arbeitsfeldes folgender Punkt herausgestellt: Die Grundrechenarten miteinander verbinden, Rechengesetze als Lösungshilfe verwenden (S. 86) Rheinland-Pfalz Der Rahmenplan Grundschule mit dem Teilrahmenplan Mathematik hat den alten Lehrplan mit seiner rein fachlichen Ausrichtung ersetzt und durch die Aufnahme von (auszubildenden und weiterzuentwickelnden) Kompetenzen verändert. Selbstverständlich sind die grundlegenden rechnerischen Fähigkeiten der Kinder damit nicht aufgekündigt. Diese vorliegende Aufgabe erfordert zunächst das sichere Beherrschen von Einspluseins und Umkehrungen und Einmaleins und Umkehrungen (S. 35). Auch muss das Kopfrechnen (S. 35) sicher angewendet werden können. Darüber hinaus muss sich das Kind auf vielfältige Weise im Zahlenraum bewegen und Zahlen zueinander in Beziehung (zählen, vergleichen, ordnen, zuordnen, messen operieren, schätzen, orientieren) setzen können (S. 37). Des weiteren sollte laut Rahmenplan ein experimenteller Umgang mit der Mathematik angebahnt werden. 4

6 2 Geometrie 2.1 Zentrale Aufgabe 3 (hier dargestellt: Teilaufgabe a) Wie viele Kugeln werden für diese Pyramiden gebraucht? a) a) Es werden Kugeln gebraucht. Korrekte Lösung 5 F1 F2 F3 4 (die hintere Kugel übersehen) 6 (eine Kugel zuviel gezählt) 8 (sichtbare Kugeln verdoppelt) F4 12 (sichtbare Kugeln verdreifacht) Anmerkung: Zusätzlich zu dieser Teilaufgabe a sollten die Anzahlen von Kugeln größerer Pyramiden benannt werden (Teilaufgabe b stellte eine Pyramide mit 14 Kugeln dar, Teilaufgabe c eine mit 30, Teilaufgabe d eine mit 55). Insgesamt folgte die zunehmende Anzahl der Kugeln in den Teilaufgaben dem Prinzip der sukzessiven Addition von Quadratzahlen. VERA-Fähigkeitsniveau 1 (elementare bzw. grundlegende Fähigkeiten) Allgemein: Einfache Aufgaben mit grundlegenden Anforderungen werden hinreichend sicher gelöst. Geometrie: Kenntnisse grundlegender geometrischer Formen und Abbildungen Aufgaben zu Umfang, Fläche oder Volumen, die sich durch Abzählen lösen lassen, werden bewältigt. 2.2 Lehrplanbezüge Geometrie Berlin, Brandenburg, Bremen, Mecklenburg-Vorpommern Die Aufgabe lässt sich dem inhaltlichen Bereich Form und Veränderung zuordnen. In den Erläuterungen zu diesem Inhaltsbereich heißt es: Die Entwicklung der Raumvorstellung ist ein 5

7 Schwerpunkt und zentrales Ziel des Mathematikunterrichts (S. 27). Auch die Entwicklung des Begriffs Pyramide ist innerhalb des Gebietes Form und Veränderung in den Klassenstufen 3/4 vorgesehen, ebenso wie die geometrische Veranschaulichung arithmetischer Sachverhalte (Rechengesetze, Dreieckszahlen, Quadratzahlen u.a.) (S. 35). Die Bestimmung des Rauminhaltes (allerdings von Würfeln und Quadern) wird ebenfalls unter diesem Inhaltsbereich gefasst (S. 22) Nordrhein-Westfalen Einleitend heißt es im Abschnitt Geometrie (3.2) des Lehrplans: Der Geometrieunterricht entwickelt einen verständigen Umgang mit Formen, Maßen, Lagebeziehungen und mit geometrischen Grundoperationen. Die Wahrnehmungsfähigkeit und das räumliche Vorstellungsvermögen sind dynamisch zu verstehen. Sie werden gezielt geschult. Geometrische Operationen erfolgen zunehmend im Kopf (Kopfgeometrie) (S. 75). Zu den Aufgabenschwerpunkten in Geometrie gehört das Thema Raum. Innerhalb dieses Schwerpunktes werden nochmals folgende Punkte für die Klassenstufen 3/4 differenziert. Schülerinnen und Schüler sollen: räumliche Beziehungen erkennen, beschreiben und anwenden (mit Plänen umgehen, Wege beschreiben und skizzieren, Ansichten koordinieren, Himmelsrichtungen kennen lernen) die visuelle Wahrnehmungsfähigkeit und das räumliche Vorstellungsvermögen erweitern (S. 80). Als ein weiterer Aufgabenschwerpunkt in Geometrie wird das Thema Körper genannt. Schülerinnen und Schüler sollen: Körper (auch Pyramide und Zylinder) [...] benennen, [...] untersuchen, beschreiben, vergleichen [...] (S. 80) Schleswig-Holstein Zur Einführung heißt es im Lehrplan: Der Mathematikunterricht vermittelt [...] Schlüsselqualifikationen [...], die den Bereichen Wahrnehmung und Begriffsbildung, Lebensweltbezug, Handlungserfahrungen und Modellbildung sowie Formales Denken zugeordnet werden können (S.79). Im Bereich Wahrnehmung und Begriffsbildung finden sich Bezüge zur dargestellten Aufgabe. Es soll laut Lehrplan darauf hingearbeitet werden, dass Kinder räumliche Veränderungen erkennen und beschreiben [...] können. Auch im Bereich Formales Denken werden Bezüge erkennbar: Kinder sollen lernen, mit Informationen in der Vorstellung [zu] operieren und räumliche Vorstellungen [zu] entwickeln und [zu] nutzen (S. 79). 6

8 Auch im Lehrplan Schleswig-Holsteins kann die dargestellte Aufgabe inhaltlich dem Arbeitsfeld Geometrie zugeordnet werden. Bereits in Klassenstufe 3 gehört zu diesem Inhaltsgebiet: Räumliche Gebilde (z.b. Würfelberge) nachbauen und Grundformen in/an Gegenständen der Umwelt erkennen: [...] Körper: Würfel, Quader, Kugel, Zylinder, Pyramide, Kegel (S. 85) Rheinland-Pfalz Der Rahmenplan Grundschule mit dem Teilrahmenplan Mathematik setzt bezüglich des alten Lehrplans neue Akzente im mathematischen Bereich der Geometrie. Neben dem anschlussfähigen Wissen (geometrische Grundkenntnisse und räumliches Vorstellungsvermögen) wird auch ein Schwerpunkt auf das anwendungsfähige Wissen (u.a. Bauen, Konstruieren, Zeichen) gelegt. Diese Aufgabe passt zu dem Bereich Bewegung und Orientierung im Raum, sowie zu dem Bereich Körper Kugel, Pyramide, [...] verschiedene Ansichten (S. 34). Im Bereich der Kompetenzen geht es um folgende Themen: Sammeln von Raumerfahrungen und die Entwicklung von Vorstellungsvermögen beim Bauen, Konstruieren und Zeichnen (S. 37) kreatives Arbeiten an komplexen, die Kinder herausfordernden Problemen (S. 37) Kennen und Benutzen von Fachbegriffen (S. 38) (Kugel, Pyramide) Nutzen von graphischen Mitteln und Medien (S. 38) (das Bild als dreidimensionale Baukonstruktion begreifen). 7

9 3 Sachrechnen 3.1 Zentrale Aufgabe 10 Im Supermarkt gibt es verschieden große Gläser mit Schokoladencreme. Welches Glas ist am preiswertesten? 400 g 1, g 2, g 8 A B C # Glas A # Glas B # Glas C # A und B sind gleich preiswert. # B und C sind gleich preiswert. Korrekte Lösung Glas B F1 F2 Glas A (die Menge nicht in Bezug zum Preis gesetzt, das billigste angegeben) Glas C (die Menge nicht in Bezug zum Preis gesetzt, das mit dem meisten Inhalt angegeben) F3 F4 A und B sind gleich preiswert B und C sind gleich preiswert VERA-Fähigkeitsniveau 2 (erweiterte Fähigkeiten) Allgemein: Sachrechnen: Aufgaben mittleren Anforderungsniveaus werden hinreichend sicher gelöst. Entwickelte Fähigkeiten im Umgang und Rechnen mit Größen Im Umgang mit vertrauten Maßeinheiten (Längen-, Zeit- Gewichts- und Geldeinheiten) können Aufgaben bis in den Tausender-Zahlenraum gelöst werden. Lösungen von authentischen Aufgaben, die Umrechnungen von Maßeinheiten erfordern, gelingen. 8

10 3.1.1 Berlin, Brandenburg, Bremen, Mecklenburg-Vorpommern Inhaltlich fällt die dargestellte VERA-Aufgabe im Lehrplan in den Bereich Größen und Messen. Es heißt dort: Sachprobleme veranlassen die Schülerinnen und Schüler, [...] mit Größen zu rechnen und Größenangaben umzuwandeln. [...] Der Umgang mit Größen bietet viel Raum zum Erfassen funktionaler Zusammenhänge, die sprachlich beschrieben und in unterschiedlichen Darstellungsformen festgehalten werden (S.30). Im Bereich Größen und Messen wird bereits für die Klassenstufen 1/2 u.a. folgende Anforderung genannt, mit der sich die Schülerinnen und Schüler im Unterricht auseinander setzen sollen: Größen schätzen und messen, vergleichen, ordnen. Mit folgenden Inhalten soll sich der Unterricht befassen: Repräsentanten von Größen [vermitteln]: Geldwerte und [...] Masse, Geldwert: Euro ( ), Cent, 1 = 100 Cent [...], Masse: Gramm (g), Kilogramm (kg) (S. 30). Hinzu kommen in der Klassenstufe 3/4 folgende Anforderungen: Größenangaben umwandeln und die Beziehungen zwischen auftretenden unterschiedlichen Größen erkennen und untersuchen (S. 37) Nordrhein-Westfalen Die dargestellte VERA-Aufgabe fällt in den Bereich Sachrechnen (3.3). Zu diesem Bereich wird einleitend bemerkt: Zentrales Anliegen eines sachbezogenen Mathematikunterrichts ist die Erschließung der Lebenswirklichkeit. Das erfordert eine kontinuierliche Auseinandersetzung mit authentischen, herausfordernden Aufgaben. [...] In den Größenbereichen Länge, Geld, Zeit, Gewicht und Rauminhalt entwickelt und festigt der Unterricht realistische Größenvorstellungen und sachrechnerische Kompetenzen (S. 81f.). Als ein Aufgabenschwerpunkt des Bereichs Sachrechnen wird das Stichwort Sachzusammenhänge genannt. Ein Unterrichtsgegenstand dieses Schwerpunktes ist es, Mathematik als Mittel zur Beschreibung und zur Lösung von Sachproblemen systematisch ein[zu]setzen (S. 82). Im Aufgabenschwerpunkt Umgang mit Größen sollen Schülerinnen und Schüler Grundeinheiten der fünf Größenbereiche kennen lernen und zwischen ihnen umwandeln (ct, ; [...]; g, kg, t; ml, l) (S. 83) Schleswig-Holstein Im Lehrplan Schleswig-Holsteins kann die dargestellte Aufgabe zwei inhaltlich verwandten Arbeitsfeldern zugeordnet werden: Dem Bereich Größen und dem Bereich Sachrechnen. Beide Felder sind bereits in den Klassenstufen 1/2 unterrichtsrelevant: Im Bereich Größen lernen die Schülerinnen und Schüler mit Geldbeträgen [zu] rechnen; Erfahrungen auf Rechenoperationen [zu] übertragen (S. 82). Im Arbeitsfeld Sachrechnen lernen sie aus Texten, Bildern und einfachen Tabellen die lösungsrelevanten Daten [zu] entnehmen (S. 83). 9

11 In der Klassenstufe 3 werden beide Felder vertieft. Im Bereich Größen sollen die Schülerinnen und Schüler die Kommaschreibweise in allen Größenbereichen verwenden lernen (S. 84). Weitere Kenntnisse, die Schülerinnen und Schüler in diesem Bereich erwerben, sind: In Sachzusammenhängen mit Geldwerten rechnen, Gegenstände bzgl. ihres Gewichtes vergleichen, gefundene Beziehungen darstellen, Gewichte in den Maßeinheiten kg und g bestimmen, Vorstellungen zu den Maßeinheiten entwickeln und Gewichtsangaben umwandeln, mit Gewichtsangaben rechnen (S. 84). Im Arbeitsfeld Sachrechnen soll erlernt werden, wie errechnete Werte bezogen auf die Fragestellung und die Sachsituation [zu] interpretieren sind (S. 85). In der Klassenstufe 4 sollen im Arbeitsfeld Größen die Schülerinnen und Schüler Kenntnisse in den eingeführten Größenbereichen vertiefen und erweitern, insbesondere im Zusammenhang sachbezogener Fragestellungen Rheinland-Pfalz Eine wichtige Neuorientierung im Rahmenplan Grundschule mit dem Teilrahmenplan Mathematik in Bezug auf Sachrechnen ist das Arbeiten an komplexen, herausfordernden Aufgaben. Es geht nicht mehr nur darum, Sprachschemata von Texten in so genannten Textaufgaben in mathematische Simplexe zu übersetzen, sondern mathematischen Gehalt mit Hilfe von heuristischen Problemlösestrategien (Polya) in vielfältiger Weise zu extrahieren oder aus (nahezu) originären Sachsituationen zu gewinnen. Diese Aufgabe bezieht sich im Teilrahmenplan Mathematik auf die Bereiche Grundvorstellungen zu Größen, Geldwerten und Gewichten. Ferner zu Größenvergleich, Schätzen von Größen, Maßbeziehungen und Umrechnungen (S. 34). Im Bereich der Sachaufgaben: Lösungsrelevante Daten in Texten, Bildern herauslesen, Übersetzen von Sachproblemen in einfache mathematische Modelle, sowie Sachprobleme erkennen. Die hier angesprochenen Kompetenzen beziehen sich auf das Gewinnen von relevanten Informationen aus lebensweltlichen Situationen (S.37), das Schätzen und damit das Abschätzen von möglichen Lösungen sowie das Anwenden von graphischen Mittel bzw. das bildliche Skizzieren zum Auffinden eines Lösungsweges. 10